Материал:

Вводя этот принцип, Лагранж ссылался на данные опыта. Он указывал на общий закон равновесия машин: отношение сил обратное к отношению скоростей точек, в которых они приложены, причем скорости должны измеряться в направлении действия сил. Это положение, взятое в общем виде, и является принципом виртуальных скоростей, который "можно рассматривать как своеобразную аксиому механики. Впрочем, Лагранж привел и два доказательства принципа виртуальных скоростей, один из которых основан на" принципе блоков ".

В динамике Лагранж опирается на два закона: закон инерции и закон сложения движений (по правилу параллелограмма). Второй закон механики Ньютона Лагранж выводит из этих двух законов.

Аналитическая динамика Лагранжа основывается на общей формуле, которую в наше время называют уравнением Даламбера - Лагранжа, или общим уравнением динамики. "Развитие этой формулы, если при этом принять во внимание условия, которые зависят от природы системы, дает все уравнения, необходимые для определения движения каждого тела, после этого нужно эти уравнения только интегрировать, что является уже задачей анализа".

Опираясь на свое общее уравнение динамики, Лагранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующие двум видам уравнений статики. Это известные уравнения движения Лагранжа первого и второго рода. Уравнения движения второго рода можно составить, зная общее выражение только для двух величин: кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Количество этих уравнений минимальная, она равна числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа очень общими; их можно использовать для различных физических систем, если состояние таких систем можно описать с помощью значений их кинетической и потенциальной энергий. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют определенную структуру с математической точки зрения. Поэтому задача их решения (интегрирования) в общем виде является достаточно определенным, чтобы исследовать его чисто математически.

В первые годы своей научной деятельности в связи с работами по вариационным исчислением, Лагранж много внимания уделял принципу наименьшего действия. Он формулирует этот принцип с полной определенностью как чисто механическую теорему, справедливую при определенных условиях. Эта формулировка приводит к уже знакомому записи: обращается в нуль вариация суммы величин вида

где - масса одной из точек системы,

V - ее скорость,

dS - элемент пути, или, иначе говоря, бесконечно малый отрезок траектории точки.

К этому Лагранж добавляет, что dS = V * dt, поэтому вместо можно написать или Здесь под знаком интеграла мы видим (удвоенную) живую силу точки, а так как нам нужно взять сумму таких величин для всей механической системы, которая рассматривается, то в итоге под знаком интеграла окажется (удвоенная) живая сила всей системы в любой момент. Таким образом, считает Лагранж, рассмотрен принцип сводится, собственно, к тому, что сумма живых сил всех тел с момента, когда они выходят из заданных точек, до того момента, когда они приходят в другие заданные точки, является максимумом или минимумом. Следовательно, этот принцип можно было бы с полным правом назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы. По мнению Лагранжа, такая формулировка должно то преимущество, что оно было бы общим как для движения, так и для равновесия.

Ирландский математик, механик и астроном В. Г. Гамильтон, оценивая вклад, сделанный Лагранжем в развитие механики после Галилея и Ньютона, писал: "Из всех последователей этих блестящих ученых Лагранж, пожалуй, больше, чем какой-либо другой аналитик, сделал для того , чтобы расширить и придать стройности подобным дедуктивных исследованиям, доказав, что самые последствия, касающиеся движения системы тел, можно вывести из одной основной формулы. При этом красота метода настолько соответствует достоинству результата, что эта большая работа превращается в своеобразную математическую поэму ". Этой поэмой завершился плодотворный период разработки основ теоретической механики. Механика становится зрелой, вполне сложившейся отраслью естествознания.

Развитие аналитической механики

Принцип Гамильтона

Руководствуясь идеей оптико-механической аналогии, видя ее прежде всего в единой математической форме законов движения лучей и материальных частиц, Уильям Роуан Гамильтон (1805-1865) использует в механике принцип наименьшего действия, применяя его для исследования конкретных явлений. Гамильтон исходил из того, что в условиях истинного движения тел величина, равная произведению энергии на время и называется у него "действием", должна иметь какое-то минимальное значение. Чуть позже Гамильтона и независимо от него принцип наименьшего действия развивает М.В.Остроградский, который распространил его на более широкий круг явлений. Этот принцип справедливо называется принципом Гамильтона - Острофадського. Он стал мощной математической оружием физики и широко используется в работах Максвелла, Гельмгольца, Условие, Эйнштейна, де Бройля, Шредингера и других ученых.

Перейдя к механике, Гамильтон показал значение своего нового вариационного принципа, а его характеристическая функция для задач механики («функция Гамильтона") оказалась тождественной энергии механической системы. Зная, как выражается функция Н через координаты и импульсы материальных точек, составляющих систему, можно сразу составить дифференциальные уравнения, определяющие координаты и импульс. Полученная система дифференциальных уравнений ("канонические уравнения") равносильна системе уравнений движения, в частности - системе уравнений Лагранжа второго рода, но имеет особые свойства, облегчающие ее исследования.

Наконец, Гамильтон связал свою каноническую систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим дифференциальным уравнением для частных производных, которое, как выяснилось, удовлетворяет его характеристическая функция Н. Возникла большая теория, благодаря которой была создана новая удобную форму уравнений движения, новый подход к проблеме их решения (интегрирования). Она осветила более полно и глубоко аналогии между механикой и оптикой, обнаружила новые возможности геометрической интерпретации, наконец, она привела к установлению связи между волновыми и корпускулярными представлениями - но последнее достаточно полно оказалось лишь через века.

Необходимо отметить, что описанную выше теорию Гамильтон еще не смог сформулировать в общем и законченном виде. Обобщение результатов и методов Гамильтона, устранения излишних ограничений, тщательная разработка математических методов является заслугой К. Г. Якоби и М. В. Остроградского.

К. Г. Якоби

Карл Густав Якоби (1804-1851) - один из самых известных немецких математиков и механиков первой половины XIX в. Основная работа Якоби по механике - его замечательные "Лекции по динамике". Эти лекции представляют собой развитие классической аналитической механики Лагранжа и содержат много новых идей как по математике (теория дифференциальных уравнений в частных производных, вычисления геодезических линий на эллипсоиде), так и по механике.

Исходным моментом исследований Якоби по механике является принцип Гамильтона-Остроградского. В своих "Лекциях" Якоби развил теорию канонических уравнений Гамильтона, существенно расширив класс механических систем, к которым она применялась. Важнейший результат К. Якоби - его теорема о том, что канонические уравнения являются уравнениями характеристик определенного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, то есть интегральные поверхности указанного уравнения в частных производных состоят из интегральных кривых системы канонических уравнений, определяющих движение механической системы. Тем самым интегрирования канонических уравнений сводится к определению полного интеграла уравнений в частных производных.

М.В.Остроградский обобщил метод Гамильтона-Якоби.

М.В.Остроградский

Михаилу Васильевичу Остроградскому (1801-1861) принадлежат первоклассные исследования из методов интегрирования уравнений аналитической механики и разработки обобщенных принципов статики и динамики. Наиболее известные исследования Петроградского касаются обобщения основных принципов и методов механики.

Он внес существенный вклад в развитие вариационных принципов, как частный случай включают и динамику. Остроградский, рассматривая вариационную задачу, в которой подынтегральная функция зависит от произвольного количества неизвестных функций и их производных как угодно высокого порядка, доказывает, что задача сводится к интегрированию канонических уравнений Гамильтона, которые можно рассматривать как форму, в которую можно превратить любые уравнения , возникающих в вариационной задачи. Он также показал, что и в более общем случае, когда связи силовая функция содержат время, уравнения движения также могут быть преобразованы в форму Гамильтона. Работы Остроградского по механике стали источником для дальнейших исследований с целью выяснения оснований вариационных принципов механики.

В 1866 г.. Остроградский выразил сомнение относительно справедливости принципа наименьшего действия Лагранжа. Основные возражения Остроградского сводятся к тому, что для Эйлера и Лагранжа принцип наименьшего действия и простейшая задача вариационного исчисления представляли собой одну и ту же математическую проблему. Остроградский же замечает, что в принципе наименьшего действия переменные связаны законом живых сил и поэтому не являются независимыми, в отличие от переменных обычной вариационной задачи. Отсюда следует также, что вариации переменных подчиняются определенному условию не могут быть совсем произвольными. Поэтому Остроградский считает формулировку принципа в Лагранжа и его выводы ошибочными и дает собственно формулировка: в случае консервативной системы истинная траектория движения между двумя точками имеет такое свойство, что преобразования уравнений движения приводит к условию:

где U - потенциальная функция,

Т - кинетическая энергия системы.

И, наоборот, с минимальности интеграла можно получить уравнения движения.

Принцип Остроградского, таким образом, отличается от принципа наименьшего действия Лагранжа, в котором экстремума достигает.

Источник: https://studbooks.net/7244/estestvoznanie/kontseptsii_sovremennogo_estestvoznaniya

Смотрите также:








ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы