Документ: Функциональный анализ, страницы 491-495

§ з. ф ун кц и и нескольких перем енн ы х

491

При любом п справедлива формула
	6 М * п ё р - аJ(t0l*‘ +	• • •	+ <“«*« ~	ЮГ" л *
	Из первой формулы для 8(х)	вытекает, что
	(_ 1)(И-1)/2		д" '<р (л:)		dotl,
	Ф (0) =		д" '<р (л:)		dotl,
	2 (2 я)"-1		av"-1
	Q	2<оЛ =о
		2<оЛ =о
где	doo — элементарная площадка		в плоскости		S®fc^ft = 0,
а	— дифференцирование по	направлению		ортогонального

к ней вектора ю. Аналогично из второй формулы следует, что

Ф(0)=—^ П п )п—“ J		+ ••• + ®х ) ",
	Q	ф((0 , х, +	... +	а пх п)) d a ,
где положено
	Ф (0 =	{x)dot,J	Ф

dot — элементарная площадка в плоскости 2			=	t.

Ли т е р а т у р а : [12].

2.Обобщенные функции, связанные с квадратичными фор-

мами. Пусть		п
мами. Пусть	Р =	2	§авхахв 1— положительно	определенная
квадратичная		а, &=\	р р		линейного
квадратичная	форма. С		помощью невырожденного		линейного
преобразования эта форма может быть приведена				к	виду Р =
п		рассмотрение обобщенных функций вида Р%
= 2 У\ • Поэтому		рассмотрение обобщенных функций вида Р%
<х=1

в случае положительно определенных квадратичных форм Р

сводится к	рассмотрению обобщенной функции г2\ проведенно
му в п. 1.	обстоит дело для неопределенных квадратичных
Сложнее	обстоит дело для неопределенных квадратичных
	п
форм Р —а,2 ёа$хах$> поскольку в этом случае функция Рк

не является однозначно определенной. Формы с комплексными коэффициентами можно записать в виде $? = Рi + ^ 2, где Р\ и Р2— вещественные квадратичные формы. Пусть «верхняя по

луплоскость» — множество всех квадратичных форм	Pi + *Р2,
для которых форма Р2 положительно определена, а	«нижняя

492	ГЛ. X ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

полуплоскость» — множество форм вида Pi — iPi, где Рг поло

жительно определена.

Если квадратичная форма ^ принадлежит верхней полу плоскости, то полагают

	брУ*	gh [In \| & \|+ / arg <^]
где 0 < arg^* <	я, и вводят обобщенную функцию
	{3х, ф ) = J 3 ХЧ (х) dx
(интегрирование	ведется	по всему пространству Rn). Функция

З х{х) однозначно определена, а интеграл сходится при Re А, > О и является аналитической функцией от А. Аналитически про должая эту функцию по А, определяют функционал '{3х, ф ) д л я

других значений А.

Рассматривая обобщенную функцию 3 х при Р\ = 0, полу чают обобщенную функцию (/Рг)*'. Поскольку форма Рг поло жительно определена, изучение этой обобщенной функции сво дится к проведенному выше изучению обобщенной функции г2Х. Аналитически продолжая выражение вычетов формы {1Рг)х по коэффициентам формы Рг, находят выражение вычетов для фор

мы 3 х. Результат			формулируется		следующим образом:
Если	3 =	П	Еалхахй— произвольная квадратичная форма
		2
		а, е=1	р	р		обобщенная
с положительно определенной мнимой частью, то
функция	3 х является			регулярной	аналитической	функцией от
А всюду, за исключением точек
	А =	— п/2,		— /г/2 — 1,	... , — п/2 — k ........
в которых эта функция имеет простые полюсы. При этом
	Выч 3 х=			______ е-я»»7у/2______
				4*61 Г (я/2 +	Lkb{x).
	X=*-n/2-k				k) V (—<)"I g I

Здесь через L обозначен дифференциальный оператор

L== V gqg — а2_ ,

дх<х дха г

а, р=1

коэффициенты которого связаны с коэффициентами квадратич ной формы 3 соотношениями

П

2 & aegPv = 6“ (б“ —символ Кронекера).

Через |g | обозначен дискриминант формы 3 .

	§ 3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ					493
Функция V { — i)n \g \ задается				формулой
	V ( - t ) n \ g \ =	V T b f (1 -		V)'/2... (1 - K it -
Здесь	\|6\| — определитель матрицы			\|\|6ар11 преобразования		с ве
щественными коэффициентами:
		П
		%а == 2	^ар
приводящего формы Pi и Р2, & — Pi + iP2, к виду
	Р, =	^ +	... + Х Х ,
	Р2 =	У21+		+ У 2п>
а значения квадратных корней задаются формулами
	У г — \| z \|'/ге 2 argг,		— я < arg г < я .
Если форма & = Pi — iP2 принадлежит нижней полуплоско
сти, то ее вычеты в точках X — —о/2, . . . ,					—га/2 — k, ... зада
ются аналогичными формулами с заменой i					на —i.
Л и т е р а т у р а : [12].
3.	Обобщенные функции (Р + *0)л и (Р — «0)\ Пусть
		П

— невырожденная квадратичная форма с вещественными коэф фициентами, в каноническую запись которой входят р положи тельных и q отрицательных членов. Рассматриваются квадра тичные формы Pi + teP2, где Р2 — положительно определенная квадратичная форма с вещественными коэффициентами, а е > 0. Полагают

(Р iOf = lim (Р + г е Р /

е-*+0

(обобщенная функция (Р + /еР2)л определена в п. 2). Анало гично

(Р _ io f = lim (Р - teP2)\ 8-*+0

Обобщенная функция ■(Р + г0)\ рассматриваемая как функ ция от X, имеет простые полюсы в точках X — —га/2, —га/2 — 1, .. . , —га/2 — k, ... с вычетами

Выч (P + i0)x = —— — —		Lk6(x),
Я=-я/2-А V	4ftfe! Г («/2 + fc) Y \ Д \|

где Д — дискриминант формы Р.

494 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Функция	(Р — Ю)х имеет полюсы в тех же точках с выче
тами, получаемыми из последней формулы заменой i на —i.
Полагают
	р \ _ e~nU (Р +	iO)K - ем	(Р -Г iO)K
	+	— 2/ sin яЯ	9
	р \ _ (Р + М? -	(Р - <0)Л	^
	2/ sin яЯ
При Re Я >	—п обобщенная функция		Р+ совпадает с регуляр
ной обобщенной функцией, задаваемой формулой
	(Р+, ф )=	f Рх<р (х) dx,
		р> о

a P i - с регулярной обобщенной функцией, задаваемой форму лой

(P i, Ф) =

f \P(x)\x<p(x)dx.

Р < 0

Ли т е р а т у р а : [12].

4.Обобщенные функции вида g>Kf(g>, Я). Пусть f(z, Я) —це

лая функция от 2 и Я.		Если	9*— комплексная квадратичная
форма	с положительно	определенной мнимой частью, то при
Re Я >	0 полагают
	(g>Kf(g>, я),	ф(х» =	J д>Ч(д>, я)Ф(х) dx.

С помощью аналитического продолжения определяется обоб щенная функция g>^f(g>, Я) для других значений Я. Аналогично определяется обобщенная функция

д>Чпmg>f(g>, я).

Обобщенная функция (Р + iO)^f(P + ДО,Я) задается равен ством

(Р + iOf f (Р + <0, Я) = lim (Р + ieP2f f (Р + /еР2, Я),

8-> +0

где Рг — положительно определенная квадратичная форма. Ана логично

(Р - i0)xf (Р - lO, Я) = liш (Р - izP2f f (Р - ieP2, Я).

8 -»+ 0

Если форма Р положительно определена, то

(Р + iOf f (Р + /0, Я) = (Р — Ю)х / (Р - Ю, Я) = Рх/ (Р, Я).

Далее

/ (Р + ю , Я) = /(Р - Ю, Я) = f(P, Я).

§ 3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

495

Справедливы равенства

(Р + io f f (Р, Я) = Px+f (Р+, Я) + eanP \f (Р_, Я)

(Р - Ю)л f (Р, Я) = Р+f (Р+, Я) + (Р-, Я),

дающие выражения наших обобщенных функций через аргумен

ты P+, Р—

К рассмотренному классу обобщенных функций относятся, например,такие функции, как

Zx[(Р + i0)'/2], (Р + ЮГШ Zx[(Р + *-0)Ч

где Z%{x) — цилиндрическая функция.

Каждой вещественной невырожденной квадратичной форме

р =

П

ёакхахь соответствует сопряженная с ней форма

2

a, р=1

Р

Q =

2

gaps.asp,

п

а, Р=1

Р

где

=

(а > Y — 1»

2.........п)- в

дальнейшем

будет

p=i

р

использована обобщенная функция

Кп/2+х IciQ + iO)*]

«в + » .т(-Ь » )

'

где с — положительное

число. Она

определяется при

нецелых

Я разложением

Kn/2+x[c(Q+iO)4

л (с/2)п12+1

Г VI

(с/2)~2Х~п+2т (Q + iO)-x~nl2+m^ _

2 sin (п/2 +

Я) я

Z A

ml Г (— К — лг/2 + пг + 1)

Lm=о

(с/2)2т (Q + ГО)”

т=0

Г (Я -Ь п/2 “Ь ш “I**1)

При Я =

s, s > 0, эта функция имеет полюс с вычетом

Выч К»/2+Я [с (Q +

<0)1/г1

К

(Q + i„,T (■?■«)

( _

1)* яп/2 (c/2)s-n/2

е- я<?;/2 / I

Д |

у

( - 1 ) т (с/2)—2т

Lm6 (х),

2

^

4т т! (s — т)|

ftt=0

Материал: Функциональный анализ

Смотрите также: