Документ: Функциональный анализ, страницы 501-505

§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

501

из

л и <г£; А — целые

аналитические, причем

| <р (z) | < С

ехр

__

а

X 1/a

+

i - р

Bey |'-P

т

Л

z = X + iy

_+

ПриР=1

эти функции аналитичны в полосе \у\< 1/В е,

причем

|ф(г)|<Сехр(+

- j |

)(1 — Веу)~\

Если В\> В

и

А{> А,

то существует

непрерывное

вложе

ние

So, а

So. л',>

а

если

В \> В , A i< A ,

то

вложение

&а’,а ~*

о n

есть непрерывное

вложение

В

Q р

Всегда

So, а -* &а,л-

Пространства

типа & определяются так:

#%+ =

lim

ind Jfa, л,

a> 0 ,

В->ОО

л->о

гг8==Н т

рг

гг£3,

Р>о,

В->0

Л ->оо

S’a, -

—

Пт

pr lim ind S’a'.A,

А->ОО

В->ОО

« t t =

Пт

ind

Пт рг #«, л»

В->ОО

Л-> ОО

<?fa, + =

lim pr lim ind S’a, л>

a > 0,

p> 0,

в->о л->o

S’a, +=

lim ind lim pr Sa, A>a > 0,

0 > 0.

Л->0

B~>0

Здесь lim ind — индуктивный

предел

пространств

(см.

гл. II,

§ 1,

п. 2),

а lim рг — проективный

предел.

на S,

В определении пространств типа S надо заменить S

lim ind на

lim ind, а limpr

на limpr.

Л->0

Л->оо

Л-> оо

л ->о

есть соотношения, выражае

Между пространствами типа S

мые схемой:

4

t

4

Здесь стрелка означает вложение. Аналогичная

схема

имеет

место для пространств типа S.

Пространства типа S нетривиальны в следующих случаях:

а)	S„+:	если	исключая случаи а = 0, Р = 1 и
а = 1,	Р =	0;

502		ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
б) S ai.	S ai:	если	а + р > 1	и а > 0 ;
в) 5а+,	Sa+:	если	а + р> 1	и 0>О;
г) S al:	если	а + р > 1 , а > 0 , р > 0 .
В остальных случаях эти пространства состоят лишь из ну
левого элемента.
Пространства типа & всегда нетривиальны' (все они содер
жат, например, функцию <р(х) =				1). Но при a + р < 1 они вы

рождены в том смысле, что имеют место «лишние» изоморфиз мы, а именно

	( V )	р<±>	( V )	ОРр (±)
	( Л ) ,	р<±>	Р ( ± )	ОРр (±)
	( Л ) ,	а—	Щ
		а—	СХ+
При a	р = 1 имеет место вырождение

v«	РР-
	>а+

СрВ —

Во всех пространствах типа S и ^ определены и ограниче ны операторы дифференцирования, умножения на независимые переменные, сдвига и умножения на expi(e, х)> где a — веще ственное число.

Пространства <Их+> <^a-> Sa+> Sol и сильно сопряженные к ним обладают следующими свойствами: они полны и ядерны (гл. I, § 4, п. 11). Чтобы получить для них сильно сопряженные пространства, надо заменить lim ind на Пт рг, а банаховы про

странства <2?a, л — на сильно сопряженные к ним про странства. Например,

lim рг (Я**})*.

«В -»оо, Л - » 0 4

Чтобы получить пространство М(Ф) для пространства Ф ти па S, надо:

1)Заменить S на &.

2)Сохранить знак наверху и поменять его внизу; если при

этом получатся одинаковые знаки, то добавить сверху знак V; если же получатся разные знаки, то сверху никакого знака не писать. Например,

м (sSt) ~ й±, м(sit) ~

Чтобы получить для любого пространства Ф типа S про странство С(Ф), надо:

1) Заменить S на & и добавить знак * (переход к сильно сопряженному пространству).

§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

503

2) Сохранить знак наверху и поменять его внизу; если при этом получатся разные знаки, то добавить сверху знак Д, а если одинаковые знаки, то сверху не писать ничего. Например,

с(+)

Чтобы получить пространство Ф для пространства типа S, надо поменять местами а и р вместе со знаками. Например,

оР+	oCt—	оР+		r»Ct+
Оа- ~	ор+,	Ъа+=
Аналогичное правило верно		для	пространств, сопряженных
с пространствами типа 5.

Чтобы получить пространство Ф для пространств Ф типа £Р, надо:

1) Поменять местами индексы и знаки, заменив после этого знаки на обратные.

2)Заменить V на А и обратно.

3)Перейти к сопряженному пространству.

Например, при

р ^ 1 имеем:

~ ($£:)*.

Таким образом, система пространств S и & и их сопряжен ных замкнута относительно перехода к пространствам преоб разований Фурье, пространствам мультипликаторов и свертывателей.

Л и т е р а т у р а : [13], [308].

3. Предельные случаи пространств типа S и S . Наряду с пространствами типов S и ё вводятся их предельные случаи.

Через	обозначают	банахово		пространство с нормой
	II ф II — sup (\| х \| +			l)-ft
	х, q
а через е й ,	а — пространство с нормой
	IIФ11=	sup	е ~ 1А () \| ф</> () \|
		х, \|/Г<<7	’
и через 8% — с нормой
	IIФII= sup (11+ 1)-\|ф</>(лг)\|.
	x.\l\<q
Аналогично определяются			пространства		S(k)B,	а, 5$).
Беря индуктивные пределы при k - * o o t 4-»-0,					В ~ * о о	и проек

504 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

тивные пределы при q —►оо, А —►оо, В -> 0, получают про странства

=	lim	ind гг?&
	k->oo, В-+ ОО
<2?а—=	Пт	рГ
	q, А->оо
<$= lim pr lim ind
	q->oo	k->oo

и т. д. Беря индуктивные пределы при Л -> оо, В оо и проек тивные пределы при q->- оо, £->оо, Л->0, В->0, получают пространства

Sp- =	lim	pr S&A
	B->0, k->oo
S a- =	lim	pr
	q->oo, Л->0

Sp+ == lim pr lim ind 5<%в,

k-> OO B-> OO

5 = lim pr

q->oo, k->oo

Для введенных здесь пространств имеют место утверждения, аналогичные утверждениям о пространствах типа S и <§, их пространствах мультипликаторов, свертывателей и преобразова ний Фурье. Эти утверждения можно получить предельным пе реходом из соответствующих утверждений о пространствах ти пов S и <ЁГ, если принять во внимание, что

< Х ) _	(X ).,.,	(X)	_	( X )
SpP(±)_ Ор Р (±) -		ор	_	ое>00
(О	— © о о + >	О а (=р ) — 0 а (+ )>
(X)	с о . .	(X)		(X L .,
(X)	^ оо +,	S P W =
(X)	оо._		s = sZi.
5a(qp) — 5 a(=F)>			s = sZi.

Описанные в пп. 2, 3 пространства охватывают наиболее важ ные в приложениях функциональные пространства. Например,

^a+ a)+ — пространства целых функций порядка не выше, чем 1/а, и конечного типа, а а) — пространства целых функций порядка не выше, чем 1/а, минимального типа; <§\l —- простран-

Л 1 .

ство всех целых функций; «^- — пространство функций, каждая

из которых аналитична в некоторой полосе вида | у | ^ С ; — пространство функций, аналитичных в /?п; S — пространство

§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

505

функций, быстро убывающих вместе с производными любого порядка; S0+— пространство D финитных бесконечно дифферен

цируемых функций; 50+— пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций с более слабой топологией, ч*ем в D\ <§ъ— пространство С°° всех бесконечно дифференцируемых функций; Sa ч=(<§?а+) — пространство бесконечно дифференцируе мых функций, которые вместе со всеми производными убывают

не медленнее,	чем	ехр (— Ххш) (возрастают	не быстрее, чем
ехр (Ях1/а));	+	+) — пространство функций	класса Жеврея

порядка р, быстро убывающих вместе со всеми производными (медленно растущих вместе со всеми производными).

Л и т е р а т у р а : [13], [308].

4. Таблица преобразований Фурье обобщенных функций од ного переменного. Значения функций А(Х), В(Х), С(Х), D(X) и коэффициентов а("} и т. д. приведены в конце таблицы 1.

Здесь и в дальнейшем приняты стандартные обозначения:

	Nx(z) =		tcosXn}x(z) ~ J- x (г)1.
где	№ =	2 sin A,it		^	~	^
		—nM

	h(z) =	e	2 Jx(iz),
	tf (Z ) —	J% (z)		iN \ (z),
	#[2)(г)= У к(Z) — iN*.(z),					X — не целое.
Функции A{X), В (К),			С (Я), D(X)		задаются равенствами:
A(X) = ie	2Г(Я+1) =		Т ^	Г + <	) + < )(Я + « )+ ....
B(X) = - i e	.. л		1) =	м	+	bin) + Ь?](Я + п) + ....
	2 Г (Д. +
	ы			с("!	+ 4 л) + с(1П)(Я+ « ) + ....
С (Я) == — 2 sin — Г'(Л, + 1) =

Е>(X) = 2 cos ^ г (Я + 1) - - Ц - + dV + d\n)(X + « ) + . . .

Материал: Функциональный анализ

Смотрите также: