Материал: Функциональный анализ

Техн. редактор И. Ш. Аксельрод

Корректор Л . Я. Боровина

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора ко второму изданию .................................................

10

Г л а в а I. Основные понятия функционального анализа..........................

13

§ 1. Линейные систем ы .......................................................................................

13

1. Понятие линейной системы (13). 2. Линейная зависимость и не­

зависимость (14). 3. Линейные многообразия и фактор-системы

(15).

пространства ..................................................................................................

пространство

19

1. Линейное топологическое

(19). 2. Локально выпу­

клое пространство (21). 3. Линейное метрическое пространство (22).

4. Линейное нормированное

пространство (24). 5. Примеры линей­

ных нормированных пространств (26). 6. Полнота метрических про­

странств,

банахово

пространство

(30).

7.

Компактные множе­

ства (31). 8. Сепарабельные

пространства (34). 9. Изометрия, изо­

§ 3.

морфизм,

гомеоморфизм (34).

36

Линейные

функционалы...............................................................................

1. Понятие линейного

функционала. Гиперплоскость (36).

2. Непре­

рывные линейные функционалы (36). 3. Продолжение линейных не­

прерывных функционалов (37). 4. Примеры линейных функциона­

лов (38).

39

§ 4. Сопряженные пространства

.......................................................................

1. Двойственность линейных систем (39). 2. Сопряженное простран­

ство к линейному нормированному пространству (40). 3. Слабая схо­

димость,

слабые топологии

(43).

4. Выпуклые множества, крайние

точки

(46). 5. Фактор-пространство и ортогональные дополнения (47).

6. Произведения нормированных пространств (47). 7. Рефлексивные

банаховы

пространства (49).

8. Геометрия сферы банахова

простран­

ства (51). 9. Универсальные

пространства (52). 10. Вложения про­

странств (52). 11. Нормированные

пространства,

связанные с ло­

§ 5.

кально выпуклым пространством. Ядерное пространство (53).

Линейные

операторы

. ............................................................................... 55

1. Линейные ограниченные операторы (55). 2. Примеры линейных

ограниченных операторов (57). 3.

Сходимость

последовательностей

операторов (58). 4. Обратный оператор (59). 5. Пространство опера­

торов.

Алгебра операторов

(60).

6. Сопряженный оператор (61).

7. Вполне

непрерывные операторы

(61). 8. Операторы в произведе­

нии пространств (63). 9.

Замечание

о

комплексных

простран­

§ 6

ствах

(65).

65

Пространства с базисом...............................................................................

элементов

(65). 2.

1. Полнота и минимальность системы

Понятие

базиса

(66). 3.

Признаки базисов (68).

4. Безусловные базисы (69).

5. Устойчивость

базиса

(70). 6. Базисы

суммирования (71).

4

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а

II. Функциональные пространства.................................................

72

§ 1. Пространства дифференцируемых функций..............................................

72

1. Обозначения (72). 2. Пространства бесконечно

дифференцируемых

функций, (72).

3.

Обобщенные

функции

(74). 4. Преобразование

Фурье (76).

5.

Банаховы

пространства

обобщенных дифференцируе­

мых функций. Теоремы вложения (79).

83

§ 2. Пространства аналитических функций.....................................................

1. Пространства функций, аналитических в области (83). 2. Про­

странства

локально

аналитических

функций

(84).

3.

Простран­

ства Нр (85).

88

§ 3. Банаховы пространства измеримых функций..........................................

1. Пространство измеримых функций (88). 2. Примеры банаховых

пространств

измеримых

функций

(89). 3. Идеальные простран­

ства (91). 4. Двойственные пространства (93). 5. Симметричные и

однородные пространства (94).

96

§ 4. Векторнозначные функции...........................................................................

1.

Непрерывность,

дифференцируемость (96). 2. Интеграл

Ри­

мана (97). 3. Аналитические функции (98). 4. Интеграл Брхнера.

Суммируемые функции (99).

Г л а в а

III. Линейные

операторы в банаховом пространстве...............

103

§ 1. Теория линейных уравнений ....................................................................

103

1. Уравнения в конечномерных пространствах (103). 2. Основные

понятия (104). 3. Уравнение с замкнутым оператором (105). 4. Сопря­

женное уравнение (106). 5. /г-нормальные

и ^-нормальные уравне­

ния (107). 6. Априорные оценки (1С8). 7. Нетеровы уравнения (109).

8.

Фредгольмовы уравнения (110).

9. Линейные преобразования урав­

нений (111).

10. Линейная замена

переменного (112).

И.

Устойчи­

вость свойств уравнения (ИЗ).

114

§ 2. Линейные уравнения с параметром, спектральная теория...................

1. Спектр и резольвента оператора (114). 2. Спектральное разложе­

ние замкнутого оператора (118). 3. Классификация точек спектра (120).

4.

Вполне

непрерывные

операторы

(122).

123

§ 3. Функции от операторов, операторное исчисление..................................

1.

Функции

от ограниченного оператора (123). 2. Функции от неогра­

ниченного

оператора

(125). 3. Дробные степени

операторов

(127).

4.

Экспоненциальная

функция, группы операторов

(131). 5. Экспо­

ненциальная функция,

полугруппы операторов (133). 6. Эргодическая

теория (137).

141

§ 4. Интерполяция линейных операторов........................................................

1. Интерполяционные

пространства

(141). 2. Вещественные методы

конструирования интерполяционных пространств

(142). 3. Комплекс­

ные методы (145). 4.

Интерполяционные

семейства

и

шкалы

про­

странств (147). 5. Интерполяция

в

пространствах

суммируемых

функций (149). 6. Интерполяция в

пространствах дифференцируе­

мых функций

(153).

154

§ 5. Линейные интегральные операторы ........................................................

1. Общие свойства линейных интегральных операторов (154). 2. Ли­

нейные ^/-ограниченные и //-неограниченные операторы (156). 3. Ре­

зольвента

(Фредгольма)

линейного

интегрального оператора

(158).

4. Интегральные операторы с симметричным ядром

(160). 5. Инте­

гральные

операторы

в

пространстве

непрерывных

функций

(161).

6.

Важные

примеры

линейных

интегральных

операторов

(162).

7. Сингулярный интегральный оператор (164).

165

§ 6. Операторы, порожденные краевыми задачами......................................

1. Эллиптическое дифференциальное выражение (165). 2. Граничные

дифференциальные

выражения. Регулярная эллиптическая краевая

ОГЛАВЛЕНИЕ

5

задача (166).

3. Формула

Грина

и формально сопряженная

за­

дача (167). 4. Неравенства

коэрцитивности. Нетеровость эллиптиче­

ских

задач (169). 5. Полный набор

гомеоморфизмов, осуществляе­

мых эллиптическим оператором (170). 6. Спектр и резольвента

эллиптического

оператора

(172). 7. Эллиптические системы (175).

8. Индекс эллиптического

оператора (176).

Г л а в а

IV. Линейные операторы в гильбертовом пространстве . .

. .179

§ 1. Абстрактное гильбертово пространство .................................................

179

операторы (191). 6. Вполне непрерывные операторы (193).

7.

Ядер-

ные операторы и операторы

Гильберта — Шмидта

(198).

8.

Проек­

ционные операторы (201). 9.

Алгебры операторов

(203).

10. Опера- '

торы во внешнем произведении гильбертовых пространств

(203).

§ 3. Спектральное разложение самосопряженных операторов

...................

204

непрерывная

и сингулярная

части оператора (214). 8. Обобщенные

собственные элементы (215).

217

§ 4. Симметрические операторы........................................................................

1. Понятие

симметрического

оператора, индексы дефекта (217).

§ 5.

операторов. Обобщенные резольвенты (222).

224

Теория возмущений

...................................................................................

1. Общие свойства (224). 2. Конечномерные,, вполне непрерывные

и

ограниченные возмущения (226). 3: Возмущения полуограниченных

операторов (228). 4. Абсолютно непрерывный спектр. Волновые опе­

раторы (229). 5. Абсолютно непрерывный спектр. Гладкие возмуще­

§ 6.

ния (230).

232

Диссипативные операторы............................................................................

1. Максимальный диссипативный оператор (232). 2. Полуторалиней­

ные формы и неограниченные операторы (233). 3. Диссипативные

§ 7.

расширения консервативных операторов (234).

235

Обыкновенные дифференциальные

операторы...................................

1. Самосопряженные

дифференциальные выражения (235).

2. Регу­

лярный случай (236). 3. Сингулярный случай (237). 4. Критерии

самосопряженности

оператора Л0 на

(— оо, оо) (239). 5.

Характер

спектра самосопряженных расширений (240). 6. Разложение по

собственным функциям (241). 7. Примеры (243). 8. Обратная задача

Штурма — Лиувилля (245).

246

§ 8. Эллиптический дифференциальный оператор второго порядка . . . .

1. Самосопряженное

эллиптическое

дифференциальное

выраже­