ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ |
11 |
лиза, так и монографии, посвященные специальным его вопро
сам.
Настоящее издание отличается от первого большим объемом материала и его большей специализацией. Введены две новые главы и содержание оставшихся глав существенно переработано и дополнено. В ряде мест изложение доведено до уровня совре менных исследований. Естественно, что при этом стали больше сказываться вкусы авторов, так как изложение всех вопросов функционального анализа на современном уровне является не
выполнимой задачей. |
|
К адец, |
В написании гл. I принимали участие М. И. |
||
С. Г. К рейн, Ю. И. П етуни и , Э. С. Ц и т л а н а д зе ; |
гл. II — |
|
П. П. За брей ко, С. Г. К рейн, Я. Б. Р у ти ц к и й , |
Е. М. Се |
|
м ен ов; гл. III — П. П. За брей ко, С. Г. К рейн, |
Ю. И. Пе- |
|
т у н и н, Е. М. С е м е н о в; гл. IV — М. Ш. Б и р м а н, |
И. С. И о х- |
|
видов, А. Г. К остю ч ен ко, С. Г. К рейн, В. И. С о б о л е в ; гл. V — С. Г. К р е й н; гл. VI — П. П. 3 а б р е й к о, М. А. К р а с-
н о сел ьск и й , Я. Б. Р у ти ц к и й ; VII — Е. А. |
Г о р и н и |
Б. С. М и т я г и н; VIII— М. А. К р а с н о с е л ь с к и й |
и В. Я. Сте- |
ц е н к о; IX — М. Ш. Бирма н, Л. Д. Ф а д д е е в ; X.— Н. Я. В и- л е н к и н .
Читатель, знакомый с содержанием первого издания, заме тит, что во втором больше внимания уделено линейным тополо гическим пространствам и геометрии банаховых пространств. Детально рассмотрены важнейшие классы функциональных про странств. Достаточно полно изложена теория линейных уравне ний, спектральная теория и операторное исчисление в банахо вом пространстве. Приведены основные факты эргодической теории. Исследованы дифференциальные и интегральные опера торы.
Шире развернута теория вполне непрерывных несамосопря женных операторов в гильбертовом пространстве, изложена тео рия расширений симметрических операторов, теория возмуще ний. Включен новый раздел об операторах в пространствах с индефинитной метрикой.
Заново написана глава о коммутативных банаховых алгеб рах, при этом описано современное состояние почти всех вопро сов из этой области (пожалуй, не охваченной осталась лишь тео рия однородных алгебр).
Много результатов, полученных в последнее время, включено в главу об операторах в пространстве с конусом.
Значительно переработано содержание главы по квантовой механике. Здесь больше внимания уделено спектральной теории операторов квантовой механики.
Авторам кажется, что расширение и осовременивание мате риала справочника не слишком испортило стиль его изложения.
12 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Читатель, который интересуется лишь основами функциональ ного анализа, найдет их изложенными достаточно популярно.
По-прежнему в справочник не вошли такие разделы как тео рия представлений групп, теория некоммутативных операторных алгебр, теория банаховых многообразий, приближенные методы решения операторных уравнений и дрГЛишь частично затронута общая теория полуупорядоченных пространств.
При пользовании справочником следует иметь в виду, что в нем отсутствуют леммы и теоремы и нет занумерованных фор мул. Элементарными частицами изложенного материаяа следует считать пункты, отмеченные в оглавлении. Для получения справ ки рекомендуется разыскать пункт по оглавлению, либо по ал фавитному указателю и прочитать весь пункт. В нем обычно содержится связное и относительно замкнутое изложение цикла вопросов.
Идя навстречу критике, авторы изменили методику составле ния списка литературы. Все утверждения, имеющиеся в книге, можно найти в учебной и монографической литературе или в спе циальных статьях, при этом ссылки на соответствующую литера туру, помещенную в библиографии, даны в конце каждого пунк та. Если результаты какой-либо статьи уже помещены в учебнике или монографии, то в список литературы она не вносится, по этому литературные ссылки ни в какой степени не могут служить для выяснения исторических и приоритетных вопросов. Мы при носим извинения тем читателям, которых больше всего интере суют эти вопросы.
Всем лицам, помогавшим созданию этой книги, мы выражаем глубокую благодарность. Особенно полезной была критика и по мощь, которую оказал редактор обоих изданий справочника В. Ф. Гапошкин.
С. Крейн
Г Л А В А I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
§1. Линейные системы
1.Понятие линейной системы. Понятие линейной системы является одним из основных в функциональном анализе.
Множество Е называется вещественной (комплексной) ли
нейной системой или векторным пространством, если для каж дых двух его элементов х н у определена их сумма х + у — эле мент того же множества — и для любого элемента х и вещест венного (комплексного) числа % определено произведение Хх, являющееся также элементом множества £, причем эти опера ции удовлетворяют следующим условиям (аксиомам):
1) |
(х + |
у) + z = x -\-(у + z) (ассоциативность |
сложения); |
2) |
х + |
у = у + х (коммутативность сложения); |
любого х е £ |
3) |
в Е существует такой элемент 0, что для |
||
будет Ох—0;
(дистрибутивность);
6)(Яр,)х=Я(рх) (ассоциативность умножения);
7)1х=х.
По своей природе линейная система является алгебраической структурой, в которой отражены свойства, связанные со сложе нием и умножением на числа векторов евклидова пространства.
В |
линейной |
системе Е |
можно |
ввести операцию, |
обратную |
|||
к операции сложения элементов, которую естественно назвать |
||||||||
вычитанием: под разностью |
х — у |
понимают |
выражение x-j? |
|||||
П р и м е р ы |
л и н е й н ы х |
систем. |
векторов «-мерного |
|||||
а) |
Пусть |
Еп есть |
совокупность всех |
|||||
евклидова пространства. |
Операции |
сложения |
двух |
векторов |
||||
х = {Еь ъ ........ in) И у — {тц, Т]2, .... |
Т]и} из множества Еп и умно |
|||||||
жения |
вектора x = { |i,|2. •••, |
Еп} |
на |
вещественное число Я вво |
||||
дятся естественным образом: |
|
|
|
|
|
|||
|
х + У — {ll + |
Г),, |
| 2+ |
Л2> •••> In + |
Лп}> |
|
||
Ах = {Л£,, Я |2, . . . , Я|„}.
14 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я
Множество Еп, наделенное этими операциями, становится веще ственной линейной системой.
б) Примером комплексной линейной системы является мно |
||
жество А всевозможных комплексных последовательностей х = |
||
= {£ь £2, . . . , |
£п> • • .}, в котором операции |
сложения элементов |
*={§ь h , . . . , |
£n,...} И у={у\и Г]2, . . . , Г)п,.. |
} И умножения эле |
мента х на комплексное число К определяются аналогичным об разом:
X У =={ll + Ль |
?2 4“Л2> |
• • • > 1/г “Ь Л/г> • • •}> |
= |
ц |
я> ...}. |
в) Множество С (0, 1), состоящее из всевозможных непрерыв ных функций, определенных на отрезке [0, 1], становится веще ственной линейной системой, если ввести обычным образом опе рацию сложения функций и умножения функции на число.
2.Линейная зависимость и независимость. Система элемен
тов хи хъ . . . , хп называется линейно независимой, если соотно-
п |
|
шение вида 2 |
возможно лишь при %\= %2= ... =ХП= 0. |
k = \ |
элементы Хи *2, ..., хп называются ли |
В противном случае |
нейно зависимыми.
Бесконечная система элементов называется линейно незави симой, если любой конечный набор различных элементов этой системы линейно независим.
Линейно независимая система {ха} называется алгебраиче ским базисом или базисом Хамеля линейной системы £, если всякий элемент х ^ Е может быть представлен в виде линейной комбинации конечного числа элементов из {ха}:
п
X = 2 ^{Ха..
Так как алгебраический базис является линейно независимой системой, то указанное представление элемента х определяется единственным образом.
Всякая линейная система обладает алгебраическим базисом. Любые два алгебраических базиса линейной системы Е имеют одно и то же кардинальное число %. Это кардинальное число называется размерностью линейной системы Е.
Линейная система Е называется конечномерной, если ее раз мерность есть натуральное число п. В этом случае алгебраиче ский базис состоит из п элементов ей НУ. . . , еп и обычно назы вается просто базисом. Каждый элемент х ^ Е однозначно пред ставим в виде
п
х= 2 h ei- i=1
$ 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ |
15 |
Числа %г называются координатами элемента х в базисе |
{ej. |
В случае бесконечного % линейная система Е называется
бесконечномерной.
Пусть {еа} — произвольное множество символов еа. Рассмат
ривается совокупность символов вида ^ Х аеа, где числа Ха от личны от нуля лишь для конечного числа индексов а. Эта сово купность становится линейной системой £, если в ней опреде лить действия:
2 |
”f‘ 2 |
= 2 (Ла 4“ ^а)£а |
И |
Я2 ^а£а == 2 (^а) |
||
Каждому |
символу еао отвечает |
элемент системы |
2 ^ а , для |
|||
которого |
|
Ха = |
0 при а ф а0 и ? ч = 1 . |
Таким образом произ |
||
вольная система символов {еа} отождествляется с алгебраиче |
||||||
ским базисом линейной системы Е. Построенную систему Е на |
||||||
зывают свободной линейной системой, построенной по множе |
||||||
ству {еа}. |
|
|
|
|
|
|
Л и т е р а т у р а : [25], [29], [51]. |
|
|
|
|||
3. |
|
Линейные многообразия и фактор-системы. Непустое под |
||||
множество М линейной системы Е называется линейным много |
||||||
образием, если |
всякая линейная |
комбинация A,i*i + |
любых |
|||
двух элементов хи х2 из множества М также принадлежит М. Пусть S — произвольное подмножество элементов из Е. Со
вокупность всевозможных линейных комбинаций элементов S образует линейное многообразие, называемое линейной оболоч кой множества 5.
Линейное многообразие М называется максимальным, если оно не совпадает со всей системой £ и не содержится ни в каком другом линейном многообразии, кроме Е. Линейная оболочка максимального линейного многообразия и любого не принадле жащего ему элемента совпадает с Е.
Если S и Т — два подмножества линейной системы, то под алгебраической суммой S 4- Т множеств S и Т понимается мно
жество, состоящее из всех элементов вида х + у, |
где X G S и |
у ^ Т . Два линейных многообразия М и N называются алгебраи |
|
чески дополнительными, если М f| N = 0 и М |
— Е. В этом |
случае говорят, что Е разложено в прямую сумму М и N. Для |
|
всякого линейного многообразия линейной системы Е сущест вует алгебраически дополнительное линейное многообразие.
Классом смежности по линейному многообразию М назы вается совокупность элементов X = х М, где х — фиксирован ный элемент из Е. Два класса смежности либо совпадают, либо не пересекаются. Совокупность классов смежности будет линей
ной системой, если под суммой классов X и |
Y понимать класс |
|
$ |
Уу построенный по элементу х -f у, где х |
и у —■какие-либр |