Материал: Функциональный анализ

элементы классов X и У. Аналогично класс XX строится по эле­ менту Хх, где х е X. Эта линейная система называется фактор- системой Е/М линейной системы Е по линейному многообра­ зию М. При переходе к фактор-системе все элементы каждого класса смежности отождествляются и рассматриваются как один новый элемент.

С помощью понятия фактор-системы решается следующая за­ дача: дано произвольное множество символов {еа}. Требуется отождествить эти символы с элементами некоторой линейной системы так, чтобы элементы <Sa удовлетворяли заданной си­ стеме линейных соотношений

ству {еа} строится свободная линейная система Е. В ней рас­ сматривается линейное многообразие М всех линейных комби­

ветствие еа ‘->е?а решает поставленную задачу. При этом суще­ ственным является то, что между элементами <Sa не будет ника­ ких линейных соотношений, кроме заданных и получающихся из них линейными комбинациями. (Если заданных соотношений «слишком много», то система £4 может состоять только из 0).

Л и т е р а т у р а : [27], [29], [30], [39], [78].

4. Произведения линейных систем. По двум заданным ли­ нейным системам Е и F различными способами можно строить линейную систему G так, чтобы каждой паре элементов i e £ и и е £ отвечал бы некоторый элемент из G, называемый произве­ дением х и и. Самый простой способ состоит в рассмотрении формальных символов хи (х <= Е, и е F) и построении по ним свободной линейной системы G. Однако получающееся при этом произведение хи не обладает никакими алгебраическими свой­ ствами, при построении G алгебраические операции в Е и F никак не учитываются. «Разумные» определения произведения получаются, если потребовать, чтобы эта операция удовлетворяла определенным алгебраическим соотношениям. Этого можно до­ биться, производя факторизацию G по некоторым линейным многообразиям, как это описано в предыдущем пункте.

Оказывается, что каждый класс смежности при этом содержит один и только один элемент хи и поэтому обозначается {х, и). Алгебраические операции над классами определяются равен­ ствами

{Х[у U]} "4" {-^2> ^2} === {^1 ”1“ Х2>^1 ”1“ ^2}» Я {Х(>

Под прямым произведением £ X F линейных систем Е и F и

понимают совокупность пар fcu} ( n e E . u e f ) , для которых алгебраические операции определены указанным выше способом.

Совокупность Е' элементов вида {х, 0} может быть отожде­

мерностей Е и F.

Аналогично определяется прямое произведение конечного числа линейных систем.

2) Т е н з о р н о е п р о и з в е д е н и е . Факторизация G про­ изводится по многообразию Mi, состоящему из всех линейных комбинаций элементов вида

Класс, отвечающий элементу хи, обозначается через х<8>и. Однако теперь такого вида классы не исчерпывают всю сово­

купность классов смежности. Любой класс смежности предста-

k

вим неоднозначно в виде 2 xt ® «г (*г- ^ Е, щ e f , k =

«=1

= 1, 2, ...). Справедливы соотношения

xi + х2) ® щ = Xi ® «1 Ч- х2®щ, Xi ® (ы, + и2) — Xi ® «1 + хх® ы2,

Я (х! ® «,) = (Ях,) ® ил = хх® (Яи,).

Полученная линейная система называется тензорным произ­ ведением E®F линейных систем Е и F.

Аналогично определяется тензорное произведение конечного числа линейных систем.

3) В н е ш н е е п р о и з в е д е н и е . Пусть линейные системы Е п F совпадают. К многообразию Mi, рассмотренному в 2), до­ бавляются еще элементы вида хх ( х е £ ) и их линейные комби­ нации с элементами Mi. Фактор-система по полученному мно­ гообразию М2 называется внешним произведением Е Л Е . Клас­ сы смежности, отвечающие элементам ху, обозначаются х А у,

А х2А .:. А хт (Х{ е £). Произведение Xi А х2 А . • • А хг адди­ тивно и однородно по каждому множителю при фиксированных остальных и равно нулю, когда какие-либо два множителя оди­ наковы. Как следствие получается, что произведение Xi А х2А . ..

минор порядка г матрицы Ягл, составленный из строк этой ма­

5. Выпуклые множества. Под отрезком, определяемым эле­ ментами х и у линейной системы, понимается совокупность всех элементов вида о а + ( 1 — а)у, где O ^ a ^ l . Множество S линейной системы Е называется выпуклым, если оно целиком содержит отрезок, определяемый любыми двумя его элемен­ тами. Простейший пример выпуклого множества представляет собой любое линейное многообразие М а Е .

Для произвольного множества S а Е существует наименьшее

выпуклое множество S, содержащее S, называемое выпуклой оболочкой множества S. Выпуклая оболочка S состоит из

преднормой. Полунорма, построенная по абсолютно выпуклому поглощающему множеству, называется его калибровочной функ­ цией или функционалом Минковского.

ибанаховы пространства

1.Линейное топологическое пространство. Линейное тополо­ гическое пространство является сложной структурой. Порож­ дающие ее структуры — линейная система и топологическое про­ странство. В понятии топологического пространства отражены свойства, связанные с интуитивными понятиями окрестности, предела и непрерывности в обычном евклидовом пространстве.

Влинейном топологическом пространстве обе структуры связа­ ны между собой. Эта связь отражает свойства непрерывности

алгебраических операций над векторами в евклидовом прост­ ранстве.

В функциональном анализе в основном изучаются бесконеч­ номерные линейные топологические пространства, которые на­ ряду со свойствами, общими с евклидовым пространством, имеют ряд качественно новых свойств.

Пусть ZT— линейная система, наделенная отделимой (хаусдорфовой) топологией, задаваемой системами окрестностей {Vx}

пространством, если алгебраические операции непрерывны в то­

В линейном топологическом пространстве задание системы {Vea)} окрестностей нуля полностью определяет топологию этого пространства — любая окрестность К*а) элемента х получается

из некоторой окрестности нуля Vea) путем ее «сдвига» на эле­ мент х:

V(xa) = xA -V ea\(

Всякая окрестность нуля является поглощающим множест­ вом. В ней содержится уравновешенная окрестность нуля.

Простейшим примером линейного топологического простран­ ства является конечномерное евклидово пространство Rn с обыч­ ной топологией.

Д р у г и е п р и м е р ы л и н е й н ы х т о п о л о г и ч е с к и х