Материал: Функциональный анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

26 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я

Если подпространство является максимальным линейным многообразием (см. § 1, п. 3), то оно называется гиперподпро странством.

Говорят, что пространство Е разложено в прямую сумму

своих подпространств Mi и М2, Е =			Mi ® М2, если	любой эле
мент	х е Е	допускает единственное	представление	х — Xi -f- х2,
Xi е	Ми х2е	М2.

В этом случае М2 называется замкнутым дополнением к Mi. Не всякое подпространство линейного нормированного про странства имеет замкнутое дополнение. Так, например, под пространство Со не имеет замкнутого дополнения в простран

стве пг (см. п. 5 примеры 4 и 6).

Л и т е р а т у р а : [23], [25], [39], [97].
5.	Примеры линейных нормированных пространств.
1.	Е в к л и д о в о п р о с т р а н с т в о	Rn. Пусть Еп — линейная
система, состоящая из всевозможных		n-мерных векторов х =
= Ни	• • • > £п}- В Еп можно ввести норму по формуле

ll*ll=

Линейная система Еп с этой нормой называется евклидовым пространством Rn. Неравенство треугольника (3-я аксиома) следует из известного неравенства Минковского для конечных сумм

Чр

II* + Л/ f		<	[	\|	IS, г ]		+			(р > и
при р — 2.				шп■ Для				вектора	х — {\|i,	\| 2,	\| п}
2. П р о с т р а н с т в о
из Еп можно определить норму другим образом:
			11*11=			max		\| \i \|.
						l<i<n
Линейная система Еп с этой нормой называется простран
ством т„.	П р о с т р а н с т в а				lp	( р ^ 1). Элементами				пространства
3.
lp(P75* 1)	являются		все		такие числовые				последовательности
									оо
х = {£l,	..., Ъп,	...}, ДЛЯ которых сходится ряд 2								I h	\Р*

i=l

Из неравенства Минковского следует, что 1Р образует ли нейную систему. После введения нормы

11*11 =

lv становится линейным нормированным пространством.

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

4. П р о с т р а н с т в о			т	(или loo). Пусть т — множество, со
стоящее	из	всевозможных		ограниченных последовательностей
X = {Ъи h f		• • • > Sn, • • •}•	Е сЛ И ПОЛОЖИТЬ
			II X1= sup I h I,
				i
rro m становится линейным нормированным пространством.
5. П р о с т р а н с т в о			с. Из пространства т выделяется про
странство	с, элементами			которого являются все сходящиеся

последовательности. Норма в с определяется так же, как и в т. Пространство с является линейным подпространством простран

ства т.

6. П р о с т р а н с т в о со. Линейное подпространство про странства с, состоящее из всех последовательностей, сходя

щихся к нулю, называется пространством с0.
7. П р о с т р а н с т в о		Lv (0,1). Аналогом пространства 1Р
среди	функциональных	пространств	является	пространство
Lp(0, 1)	(р ^ si), состоящее из всех		функций*),	суммируемых

с р-й степенью в промежутке [0, 1], т. е."таких измеримых функ
ций x(t), что			1
			1
			J \x(t)\p dt <		ОО.
			о
Из интегрального неравенства Минковского
					-jUP			UP
				\x(t)\p dt\		+ [ IУ if) \p dt
следует,	что Lv {0,1)		становится нормированным,				если поло-
жить			г	1	UP
			г	1	UP
		\Х	=	J 1*(01 'dt
Сходимость в		Lp(0, 1)		является	сходимостью		в	среднем
с показателем р. Именно, хп -+Хо означает, что
		1
		I \|„(0 — o(0 \Р d t- * 0.
		о
8.	П рюст р а н ство			С(0,1).	В	линейной	системе С(0, 1)
(см. § 1,	п. 26))	состоящей из всех			непрерывных		на	отрезке

*) В пространствах Lp, а также в пространствах М и L*M (см. приме

ры 10 и 14) функции, совпадающие друг с другом почти всюду на [0, 1], отождествляются.

28	ГЛ.	I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[0,1] функций,	норма	функции x(t) определяется следующим
образом:

11*11= max U (0 |.

0 < t < l

Расстояние между двумя функциями

р(*. у ) = шах |*(0 — y(t)\

есть максимальное расстояние между их графиками. Сходи мость последовательности {хп} точек пространства С(0, 1) к точке Хо означает равномерную сходимость последовательно сти функций xn(t) к функции x0(t).

9. П р о с т р а н с т в о С^(0, 1). Элементами этого простран ства являются всевозможные функции, определенные на отрезке [0,1] и имеющие на этом отрезке непрерывные производные до l-й включительно. Алгебраические операции — операции сложе ния и умножения функции на число — определяются обычным образом. Норму элемента x(t) eCW(0, 1) можно определить по формуле

\|\| х \|\| =	/	т ах	\| x{k) (t) \|	(x(0) (/) = x (t)).
	2
	/2=0	0 < f < l
Сходимость в	CW(0, 1)		означает	равномерную сходимость

как последовательности самих функций, так и последовательно

стей их производных k-vo порядка	(k = 1,2, ...,	/).
10. П р о с т р а н с т в о М (0, 1)	(или Loo(0,1)).	Еще один при

мер функционального линейного нормированного пространства представляет множество Af(0, 1) всех измеримых и ограничен ных почти всюду на отрезке [0, 1] функций x(t)y в котором ал гебраические операции определяются обычным образом, а нор ма определяется равенством

\|\|*\|\| =	vraimax\| *(f)l= inf		{	sup	U(0l}-
	0 < * < 1	m £=0	*€=[0, l ] \E
Сходимость в	Af(0, 1)	есть равномерная			сходимость	почти
всюду.		У(0,1). Пусть		x ( t ) — конечная		функ
11. П р о с т р а н с т в о

ция, заданная на отрезке [0, 1]. Рассматривается произвольное

разбиение т отрезка [0,1] (0 =	to < ti < ... <J n = 1) и обра
зуется выражение
= 2 \|* ( У	— (f-i)\|.
k=\

Если совокупность сумм vx, отвечающих всевозможным подраз делениям т отрезка [0,1], ограничена, то функция x(t) назы

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

вается функцией ограниченной вариации на отрезке [0, 1], а ве

личина

V (*) = sup vx

О Т

называется полной вариацией функции x(t).

Пусть V(0,1) — множество всех функций ограниченной ва риации. Если в множестве У(0, 1) ввести обычным образом ал гебраические операции, то оно станет линейной системой; если, кроме того, положить для х е V (0,1)

IUII= U(0)|+ V (*),

то F(0, 1) становится линейным нормированным пространством. 12. П р о с т р а н с т в о См(— оо). Элементами его яв ляются непрерывные и ограниченные на всей числовой прямой

функции. Норма x(t) в См (— оо, оо) вводится формулой

11*11=		sup		\|х(/)\|.
		— оо < t < 00
Сходимость последовательности			в См(— °о, обозначает равно
мерную сходимость на всей числовой прямой.
13. П р о с т р а н с т в о	Г е л ь д е р а				Са(0,1). Пусть Са(О, 1) —
множество всех функций x(t), заданных на						отрезке [О, 1]		и
удовлетворяющих условию Гельдера					(или Липшица) с показа
телем а (0 < а ^ 1)
\x(tl) - x ( t 2) \ ^ C \ t l -			t	2\a	(/„	О, 1]).
Норма x(t) е С а (0,1) определяется с помощью формулы
iiii=i(o)i+		sup			Mi —^2 I
		<1, fee[0.1]
14. П р о с т р а н с т в о	A(D)		всех		аналитических		в единич
ном круге D функций, непрерывных					в замкнутой		области	D.
Норма определяется формулой

|| * || = max | * (z) \. I г1=1

Выше для простоты были приведены примеры функциональ ных пространств, состоящих из функций, определенных на от резке [0,1]. Аналогично определяются пространства LP(Q) и M(Q) функций, заданных на множестве Q с абсолютно адди тивной мерой; пространство C(Q) непрерывных ограниченных функций на топологическом пространстве Q; пространства C(l)(G), Ca (G) и A(G) функций, определенных в области G «-мерного евклидова пространства.

Литература: [19], [23], [25]. [27], [29], [39].

30 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я

6. Полнота метрических пространств, банахово пространство.

Последовательность точек {хп} метрического пространства Е на зывается фундаментальной (или сходящейся в себе), если для

любого е >	0 найдется	натуральное число N = N (е) такое, что
р(хт, Хп) <	е при т ,	N.

Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна, од нако обратное утверждение, вообще говоря, неверно. В самом деле, пусть в метрическом пространстве R, состоящем из ра циональных чисел с метрикой р{х,у) = \х — у |, последова тельность {хп} сходится к некоторому иррациональному числу. Последовательность {хп} фундаментальна в метрике R, одна ко в R не существует элемента, который бы являлся ее пре делом.

Если в метрическом пространстве Е каждая фундаменталь ная последовательность сходится к некоторому элементу того же пространства, то Е называется полным пространством.

Метризуемое полное локально выпуклое пространство назы вается пространством Фреше. Пространство Фреше является бочечным.

Полное линейное нормированное пространство называется

банаховым пространством.

В терминах нормы тот факт, что последовательность [хп] фундаментальна, означает, что II хп •—xmII ~т; п->оо^ 0- Поэтому условие полноты линейного нормированного пространства Е вы

глядит так: из того,	что II хт— хп \|\| т	0, вытекает суще
ствование такого хо е	Е, что \|\| хп — х01\|	n_>00J^ 0.

Все нормированные пространства, описанные в примерах 1—14, являются полными, а поэтому — банаховыми простран ствами.

Любое конечномерное линейное нормированное простран ство полно и, следовательно, является банаховым. Бесконечно мерное банахово пространство имеет размерность не меньше континуума.

В банаховом пространстве справедлив принцип вложенных стягивающихся шаров: пусть дана последовательность вложен ных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю, тогда эти шары имеют единственную общую точку.

Этот принцип играет важную роль при доказательстве раз личных теорем существования. В неполных пространствах этот принцип несправедлив, в связи с чем ряд теорем существования в таких пространствах не имеет места.

Аналогично тому, как множество рациональных чисел по полняется до множества всех вещественных чисел, всякое мет рическое пространство может быть расширено до полного про странства.

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: