Материал: Функциональный анализ

проблема Банаха: все сепарабельные бесконечномерные бана­ ховы пространства гомеоморфны. Проблема гомеоморфизма не­ сепарабельных банаховых пространств данного веса (вес — минимальная размерность всюду плотного множества) еще не решена.

Единичная сфера и единичный шар бесконечномерного ба­ нахова пространства Е гомеоморфны Е.

Л и т е р а т у р а : [2], [9], [23], [72], [74], [80], [81], [84], [85], [87], [88], [89], [93].

§3. Линейные функционалы

1.Понятие линейного функционала. Гиперплоскость. Пусть

Е— вещественная (или комплексная) линейная система. Если каждому элементу х ^ Е поставлено в соответствие некоторое вещественное (комплексное) число f{x), то говорят, что на Е определен функционал f(x).

Функционал f(x) называется линейным, если

f{ax + ру) = af (х) + Рf (у) (х, у <= Е).

Если f{x) — линейный функционал, то совокупность элемен­ тов, для которых f'(x) = 0, образует максимальное линейное многообразие. Всякое максимальное линейное многообразие имеет уравнение f(x) = 0, где f(x) — линейный функционал. Ги­ перплоскостью называется совокупность элементов, для кото­ рых f ( x ) = c . Каждая гиперплоскость L получается из неко­ торого максимального линейного многообразия М сдвигом на некоторый элемент L = х04- М.

Ли т е р а т у р а : [23], [25], [39], [51].

2.Непрерывные линейные функционалы. Функционал f(x),

определенный на линейном нормированном пространстве Е, на­

зывается непрерывным в точке х0е Е, если f (хп)-*>f (х0) при

Хп ►XQ.

Функционал f(x) называется непрерывным линейным функ­ ционалом, если он одновременно является линейным и непре­ рывным на Е.

Из непрерывности линейного функционала в одной точке следует его непрерывность всюду.

Говорят, что линейный функционал ограничен на Е, если существует такое неотрицательное число с, что для всех

\Н х)\<с\\х\\.

Наименьшее из чисел с, удовлетворяющее этому неравен­ ству, называется нормой ограниченного линейного функционала f (x) и обозначается ||/||. Справедлива формула

3.Пусть Т — непустое выпуклое открытое множество в ли­ нейном нормированном пространстве Е и М — линейное много­ образие, не пересекающееся с Т. Существует замкнутая гипер­ плоскость, содержащая М и не пересекающаяся с Т.

Ли т е р а т у р а : [23], [25], [39].

4.Примеры линейных функционалов. Математический ана­ лиз дает много примеров линейных функционалов. Функционал

/(*) = 2 akh

/2 = 1

является непрерывным линейным функционалом на простран­ ствах /р, т , с, с0, элементами которых являются последователь-

Его норма равна единице.

На функциональных пространствах Ьр(0, 1), М(0, 1), С(0,1) примером непрерывного линейного функционала служит опре­ деленный интеграл

f (х) = Jx{t)dt.

о

При этом интеграл Лебега, определенный на Li(0, 1), можно рассматривать как продолжение функционала, порожденного интегралом Римана на пространстве С(0, 1) c=Li(0, 1).

Более общий вид имеет линейный функционал

Если а ( 0 — ограниченная измеримая функция, то он также не­ прерывен в пространствах Ьр(0, 1), М(0, 1), С(0, 1).

вследующем параграфе.

Ли т е р а т у р а : [39], [53].

§4. Сопряженные пространства

1.Двойственность линейных систем. Функционал В(х,у)

Определенный на прямом произведении Е X F линейных систем £ и F, называется билинейным, если он линеен относительно каждой из переменных х, у, т. е.

В (а{х{ + а2х2, у) = а{В(хи у) + а,2В{х2, у),

В {хи ахух+ а2у2) = а{В (х, у{) + а2В (х, у2).

Говорят, что билинейный функционал В(х,у) приводит ли­ нейные системы Е и F в двойственность или что £ и F нахо­ дятся в двойственности (относительно В), если выполнены сле­

налов f(x), определенных на Е. В Е можно ввести операций сложения^ элементов f и g и умножения элемента f на число Я следующим образом:

1) h = f -f- g есть функционал на Е такой, что

h(x)— f (х) + g (х) (х <=Е),

2) fi = Xf (Я — числовой множитель, f<=E) означает:

U (x) = U {х).

Множество Ё становится при этом линейной системой, ко*

ного функционала в двойственность.

Ли т е р а т у р а : [5], [25], [51].

2.Сопряженное пространство к линейному нормированному пространству. Множество Е' всех непрерывных линейных функ­ ционалов, определенных на линейном нормированном простран­ стве £, является линейным многообразием алгебраически сопря­

женного пространства Е поскольку сумма двух непрерывных линейных функционалов и произведение непрерывного линейного функционала на число являются непрерывными линейными функ­ ционалами. За норму элемента f ^ E ' принимают норму ||f|| функционала f(x)\ при этом Е' становится линейным нормиро­ ванным пространством, которое называется сопряженным про­ странством к пространству Е.

Пространство Е' полно, так что сопряженное пространство к линейному нормированному пространству всегда является ба­ наховым пространством.

Понятие непрерывного линейного функционала для линей­ ных метрических пространств можно определить точно так же, как это сделано для линейных нормированных пространств. Од­ нако здесь нет утверждения типа следствия 2 п. 3 § 3, гаранти­ рующего существование нетривиального непрерывного линей­ ного функционала. Более тогр, существуют примеры линейных метрических пространств £, для которых сопряженное простран­ ство Е' состоит всего лишь из одного непрерывного линейного функционала, тождественно равного нулю на Е.

Необходимым и достаточным условием существования не­ тривиального функционала в Е является наличие в Е выпуклой окрестности нуля.

Для конкретных линейных нормированных пространств ча­ сто возникает задача об описании их сопряженных пространств. Постановку этой задачи следует уточнить. Дело в том, что само определение сопряженного пространства уже дает его описа­ ние. В узком смысле под описанием сопряженного простран­ ства понимают указание конкретного банахова пространства, изометричного пространству Е'у сопряженному к данному про­