46 |
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ |
элементов можно было выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу Е (В. Ф. Э б е р л е й н — В. Л. Ш м у л ь- ян). Таким образом, несмотря на то, что Е в ослабленной топо логии неметризуемо, компактность множества можно проверять так же, как в метрическом пространстве.
Л и т е р а т у р а : [2], [5], [23], [27], [30], [39], [51], [58], [73].
4. Выпуклые множества, крайние точки. Выпуклое множе ство в линейном нормированном пространстве Е имеет рдно и
то же замыкание как в исходной топологии |
пространства, так |
||||
и в ослабленной топологии. |
|
|
|
||
Отсюда, в частности, вытекает, что для слабо сходящейся |
|||||
последовательности |
хп — ->х0 |
найдется последовательность |
|||
Xnk (^nk ^ |
1J Kk — 1j такая, |
что |
|
|
|
|
|
rtП-> т°o k=lkn |
|
= |
% |
Для |
пространств |
Lp(0, 1) (p > 1), lp (p > |
1) можно |
утвер |
|
ждать даже больше: из всякой слабо сходящейся последова
тельности |
хп— ->х0 можно выделить последовательность |
xnk> |
||
для которой |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замкнутая выпуклая оболочка компактного в ослабленной |
||||
топологии |
множества банахова пространства |
сама компактна |
||
в этой топологии. |
множество в линейной |
системе |
Е. Го |
|
Пусть |
Т — выпуклое |
|||
ворят, что |
точка х е Г |
есть крайняя или экстремальная |
точка |
|
множества Г, если в Т нет, никакого открытого отрезка, содер жащего х.
В евклидовом пространстве Rn каждая граничная точка
единичной сферы крайняя, |
в пространстве |
С (0,1) |
единичная |
сфера содержит только две |
крайние точки |
x(t) = |
1 и x(t) == |
s= — 1, а единичные сферы |
в пространствах |
с0, Li(0, 1) вообще |
|
не содержат крайних точек.
Каждое компактное выпуклое множество в линейном тополо гическом локалшо выпуклом пространстве Е есть замкнутая
выпуклая |
оболочка |
множества |
|
своих |
крайних |
точек. |
|||
(М. Г. Кр е йн — Д. П. М и л ь м а н ) . |
к линейному |
нормирован |
|||||||
В |
пространстве |
£, |
сопряженном |
||||||
ному |
пространству |
каждый |
замкнутый |
шар |
компактен |
||||
в слабой |
топологии |
о{Е',Е). Если |
Е |
сепарабельно, то |
каждый |
||||
§ 4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
47 |
шар Е' в топологии в(Е',Е) является метризуемым компактным множеством.
Из предыдущего следует, что единичный шар S бесконечно мерного сопряженного банахова пространства Е' содержит бес конечное множество экстремальных точек; поэтому простран ства С(0, 1), г0, Li(0, 1) являются банаховыми пространствами, неизометричными никаким сопряженным банаховым простран ствам.
Ли т е р а т у р а : [23], [27], [30], [39].
5.Фактор-пространство и ортогональные дополнения. Пусть
М — подпространство (замкнутое!) банахова пространства Е. В фактор-пространстве Е/М (§ 1 п. 3) вводится норма
im i= mf n*ii.
Относительно этой нормы фактор-пространство Е/М является банаховым пространством.
Через М1 обозначается совокупность всех непрерывных ли нейных функционалов на £, обращающихся тождественно в нуль на М. Совокупность ML является слабо замкнутым (т. е. замкнутым в топологии о(Е',Е)) подпространством сопряженно го пространства Е' и называется ортогональным дополнением к подпространству М. Обратно, каждое слабо замкнутое под
пространство М' а Е ' является |
ортогональным |
дополнением |
к подпространству М а Е , состоящему из всех |
элементов, на |
|
которых обращается в нуль любой функционал из М |
||
Соотношение |
( х а Х ) |
|
f(x) = F(X) |
|
|
устанавливает взаимно однозначное соответствие между функ
ционалами / е |
М1 |
и непрерывными линейными функционала |
ми F на Е/М |
( F a |
(Е/М)'). При этом соответствии простран |
ство, сопряженное к фактор-пространству Е/М, изометрично пространству М1.
Каждый функционал из Е' естественно порождает непре рывный функционал на М\ функционалы из М1 порождают на М нулевые функционалы. Обратно, всякий непрерывный функ ционал на М может быть расширен без увеличения нормы на все Е. Пространство М \ сопряженное к пространству М, изо метрично пространству Е'/М1.
Л и т е р а т у р а : [27], [39], [58].
6. Произведения нормированных пространств. В прямое про изведение Е X F двух линейных нормированных пространств норму можно ввести, например, по формулам
. II {*> «} III = II * lip + IIU||р или II {х, и) ||2 = шах {|| * ||р, ■|| и ||р}.
48 |
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я ти я |
Обе эти нормы эквивалентны. Если Е и F — банаховы, то Е X F также банахово. Сопряженным к пространству Е X F будет пространство Е' X F\ ПРИ этом двойственность между £ X £ и £ ' X F' определяется функционалом
{/. &}({*> |
«}) = f(x)-\-g(u) |
(х(=Е, u<=F, |
fe= Е', |
g «=F'). |
Нормам |
|| Hi и || ||г соответственно отвечают нормы |
|
||
|| {f, g ) ||, = max {IJ f ||£„ || g ||£,} |
и || {/, g} ||2 = |
|| f ||£, + |
1| g \\F,. |
|
Пусть теперь E ® F —тензорное произведение нормирован ных пространств Е и F. Каждый элемент его z представим (не-
П |
® Щ- Норму в Е <8>F можно вве- |
однозначно) в виде z = 2 |
|
t;=i |
|
сти по формуле |
|
II z Hi = inf SlUHLsIl ui Ил.
где inf берется по всевозможнымпредставлениям z = |
П |
2 |
|
Эта норма обладает тем свойством, что \\х <8>'и\\ = |
i=\ |
\\x\\E\\u\\Ff и |
является максимальной из всех норм, обладающих этим свой
ством (скрещенных норм). |
|
приводятся в двойственность |
||||||
Пространства Е ® F и Е' ® F' |
||||||||
с помощью билинейного функционала |
|
|
||||||
|
|
|
(z, |
h) = |
2 f, (Х{) g j (щ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
i, } |
|
|
|
где z = |
2 * г О «г и А = |
/ |
® £/• |
|
|
|
||
|
t . |
|
|
|
|
и другая норма |
||
В пространстве Е ® F рассматривается |
||||||||
|| z llg = |
sup | (z, /® |
g)\ |
при |
\\f\\B,= 1, |
llgll£, = 1- |
|||
Норма II |
1Ь |
является |
также скрещенной, она слабее первой |
|||||
нормы: |
\\z\\2^ |
||z||i. Норма |
|| ||2 обладает |
тем |
свойством, что |
|||
она является минимальной из тех скрещенных норм, для кото рых двойственные нормы в £ ' ® F' являются скрещенными.
Двойственной |
нормой к || Hi в пространстве |
£ ® F является |
|
норма || ||2 в пространстве Е' ® £'. |
Е ® F в норме |
||
Сопряженное |
пространство |
к пространству |
|
II lb изоморфно |
пространству |
всех билинейных |
функционалов |
на Е X Ру непрерывных по совокупности переменных. |
|||
Пространство |
Е ® £, вообще говоря, неполно по каждой из |
||
введенных норм, даже если пространства Е и F банаховы. По
этому рассматривают пополнения Е ® F и Е ® F пространства Е ® F соответственно по нормам J|z||i и \\z\\&
§ 4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
49 |
Следующий |
пример показывает, что |
пространства Е |
® F и |
|||||
Е ® F, вообще говоря, не совпадают. Если F = |
/1, то простран |
|||||||
ство Е ® It |
изоморфно |
пространству |
всех абсолютно |
сходя |
||||
щихся рядов в Еут. е. таких рядов |
|
|
|
|
||||
с» |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
2 Х к |
(хк ^ Е ), |
для которых |
2 lUftIK °°- |
|
||||
*=1 |
|
|
|
|
|
fc=1 |
оо |
|
При этом |
нормой ряда |
является |
величина |
2 ll%JI- |
Про- |
|||
странство Е |
® F изоморфно |
пространству всех |
/2 = 1 |
|
||||
безусловно схо |
||||||||
дящихся рядов, т. е. рядов, сходимость которых не нарушается при любой перестановке их членов. Норма такого ряда опре
деляется как sup I S t e ||, где все \tk\ < 1.
Т е о р е м а Д в о р е ц к о г |
о — Р о д ж е р с а . Совокупность |
абсолютно сходящихся рядов |
совпадает с совокупностью безус |
ловно сходящихся рядов в банаховом пространстве Е тогда и только тогда, когда Е конечномерно.
Таким образом, если банахово пространство Е бесконечно мерно, то Е ® U Ф Е ® и.
Произведение £<8>С(0, 1) совпадает с пространством всех непрерывных на [0,1] функций со значениями в пространстве Е
с нормой [| х || = шах || х (t) \\Е. В частности, С(0, 1) ® С(0, 1) = 0<*<1
= С(/2) — пространство всех непрерывных функций на единич ном квадрате. _
Произведение £®Li(0, 1) дает пространство всех интегри руемых по Бохнеру (см. гл. II § 4) функций на [0, 1] со значе
ниями в Е . В частности, L \ (0, 1) ® Е\ (0,1) = L\ (I2).
Таким образом, тензорное произведение дает абстрактную схему для построения пространств функций нескольких пере менных по соответствующим пространствам функций одной пе ременной. Однако при этом существенно пополнять тензорное произведение по надлежащей норме.
В дальнейшем будут приведены и другие реализации тен зорных произведений пространств.
Л и т е р а т у р а : [25], [46], [90], [98]. |
|
|
|
||
7. |
Рефлексивные банаховы пространства. Пусть |
Е — линей |
|||
ное нормированное пространство и Е ' — пространство, |
сопря |
||||
женное к Е . Поскольку Е ' является банаховым пространством, |
|||||
то имеет смысл говорить о пространстве |
Е " = (Е')', |
сопря |
|||
женном'к Е' . |
порождает на |
Е ' |
непрерывный ли |
||
Каждый элемент х0е Е |
|||||
нейный |
функционал F Xo(f)y |
определяемый |
равенством F ХО(/) — |
||
~ f { x g). Таким образом, устанавливается |
взаимно однозначное |
||||
50 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
соответствие между элементами пространства Е и некоторым подмножеством я(£) пространства Е". Это соответствие яв ляется изометрией между пространствами Е и я (Е) и назы вается естественным отображением пространства Е в простран ство Е".
Подпространство я (Е) всюду плотно в Е" в слабой тополо гии пространства £", однако может с ним не совпадать.
Банахово пространство Е называется рефлексивным, если оно оказывается изометричным при естественном отображении
своему |
второму |
сопряженному |
пространству |
£", |
т. е. |
если |
я (£) = £". |
|
|
|
|
имеет |
|
Так |
как соответствие, осуществляющее изометрию, |
|||||
в данном случае |
специальный |
вид (элементу |
х ^ Е |
сопостав |
||
ляется элемент Fx(f) е Е"), то наличие изометрии между про странствами £ и Е" еще не позволяет сделать вывод о том, что пространство Е рефлексивно. Существуют так называемые ква-
зирефлексивные банаховы пространства £, для |
которых Е" = |
= я ( £ ')0 £ ,п, где Еп я-мерно. Эти пространства |
Е изоморфны |
пространствам £", но не являются рефлексивными. Существуют примеры нерефлексивных квазирефлексивных пространств Е, изометричных пространствам Е".
Всякое подпространство М рефлексивного (квазирефлексивного) пространства Е рефлексивно (квазирефлексивно); факторпространство Е/М рефлексивно (квазирефлексивно).
Рефлексивное пространство секвенциально слабо полно. Рефлексивность или нерефлексивность пространства связаны
с топологией единичного шара.
К р и т е р и и р е ф л е к с и в н о с т и б а н а х о в а п р о с т р а н с т в а . Для того чтобы банахово пространство было реф лексивным:
1) необходимо и достаточно, чтобы его единичный шар был компактен в ослабленной топологии а(£, Е') или, что то же, чтобы из всякой ограниченной последовательности элементов Е можно было выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся
кэлементу Е\
2)необходимо и достаточно, чтобы его единичный \шар был
замкнутым множеством в любой нормируемой топологии, срав нимой с топологией исходного пространства*).
3) необходимо и достаточно, чтобы всякий непрерывный ли нейный функционал f(x), определенный в £, достигал supremum’a на единичной сфере пространства £, т. е. чтобы существо вал элемент xf такой, что ||л:/|| = 1 и f(xf)=\\f\\.
Конечномерное пространство и пространства /р, Lp(0, 1) при р > 1 рефлексивны. Все остальные пространства, рассмотрен
*) Т. е. более слабой или более сильной.