Материал: Функциональный анализ

ные в п. 5 § 2, являются нерефлексивными банаховыми прост­ ранствами.

Л и т е р а т у р а : [23], [25], [27], [30], [82], [91], [92].

8. Геометрия сферы банахова пространства. Банахово про­ странство Е называется строго нормированным, если для любых его элементов х и у из условий

11*11 = 1М1=1 и Wx + y\\ = 2

следует, что х = у. Геометрически это означает, что единичная сфера не содержит прямолинейных отрезков. Каждая точка единичной сферы является крайней точкой единичного шара.

Строго нормированные пространства обладают следующим

inf ||*о — у || = ||*о — Уо II-

у&М

Элемент уо называется элементом наилуншего приближения к х0, а величина ||*о — Уо\\— наилучшим приближением к х0.

Банахово пространство называется локально равномерно вы­ пуклым, если из условий

II *11 = 11*» 11=1 и II * + *л ||-> 2 при п * оо

следует, что хп-> х.

Если пространство сепарабельно, то оно изоморфно локально равномерно выпуклому. Существует несепарабельное банахово пространство, которое не изоморфно строго нормированному.

Банахово пространство называется равномерно выпуклым,

следует, что || *„ — уп || -* 0.

Всякое равномерно выпуклое банахово пространство рефлек­ сивно. Однако имеются примеры рефлексивных банаховых про­ странств, не являющихся равномерно выпуклыми.

Если пространство Е'" строго нормированно или Е" локаль­ но равномерно выпукло, то Е рефлексивно.

Единичная сфера пространства Е называется гладкой, если норма пространства является функционалом, дифференцируе­ мым по Фреше (гл. VI, § 1, п. 2). Геометрически это означает существование в каждой точке сферы касательной гиперпло­ скости.

Если сопряженное пространство Е' локально равномерно выпукло, то сфера в пространстве Е гладкая. Если сфера сопря­ женного пространства гладкая, то пространство рефлексивно.

Л и т е р а т у р а : [5], [25], [27], [39], [73].

9. Универсальные пространства. Постр^нство G называется

Пространство С(0, 1) универсально в классе сепарабельных пространств. (Отрезок [0, 1] можно заменить любым несчетным компактным метрическим множеством Q.) Этим же свойством универсальности обладает пространство A(D ), хотя оно не изо­ морфно никакому C(Q).

В классе рефлексивных сепарабельных пространств универ­ сального пространства нет.

Можно ввести другое понятие универсального пространства, потребовав, чтобы для любого Е ^ Ш нашлось фактор-простран­ ство пространства G, изометричное Е. В этом смысле универ­ сальным в классе сепарабельных пространств является 1{.

Л и т е р а т у р а : [2], [86], [94], [96].

10. Вложения пространств. Говорят, что линейное топологи­ ческое пространство F вложено в линейное топологическое про­ странство £, если задано взаимно однозначное отображение (оператор вложения) F на линейное многообразие в £, непре­ рывное и сохраняющее алгебраические операции. Если прост­ ранства Е и F нормированы и х х ' (х е £, х' е £ ) , то из условия непрерывности вытекает, что

II*, IIE < C ||* ||f,

где С не зависит от х. Если С — 1, то вложение называется

нормальным.

Часто само пространство F и его образ в Е обозначают од­ ной и той же буквой. Если образ F всюду плотен в £, то гово­ рят, что F плотно вложено в Е. Если каждое ограниченное мно­ жество в F имеет образ с компактным замыканием в £, то' F компактно вложено в Е. Основные факты анализа часто удобно формулировать в терминах вложения пространств. Например, тот факт, что пространство Сб)(0, 1) плотно и компактно вложено (при тождественном отображении) в пространство С(0, 1), озна­ чает, что непрерывно дифференцируемые функции непрерывны, что каждую непрерывную функцию можно равномерно аппро­ ксимировать последовательностью непрерывно дифференцируе­ мых функций и, наконец, что последовательность функций с рав­ номерно ограниченными производными компактна в смысле равномерной сходимости.

Нормированное пространство F ядерно вложено в нормиро­ ванное пространство Е, если существуют последовательности

элементов х'п^ Е и функционалов fn F' такие, что для обра­ за х' любого элемента х F справедливо разложение

X ' ^ h f n(x)x'l,

причем

2 Ш И 1 * Л < ° о .

Ядерное вложение всегда компактно.

Пример . Пространство (0,1) ядерно вложено в С(0, 1). Действительно, для всякой функции x(s)i= № (0, 1) справедливо

разложение

оо

х (s) = х (0) (1 — s) + х (1) s — ^ - ^ 7 b'h sin THIS, l

где bn — коэффициенты разложения в ряд по синусам функции x"{s). Разложение обладает требуемыми свойствами, при этом роль функционалов на пространстве С<2)(0, 1) играют х(0), х(1)

s, —sin я ns.

Если нормированное пространство F вложено в нормирован­ ное пространство £, то сужение на образ F каждого непрерыв­ ного линейного функционала на Е естественно порождает не­ прерывный линейный функционал на F. Если при этом F плотно вложено в £, то функционалы, не равные на £, порождают не одинаковые функционалы на F. Таким образом, пространство Ег взаимно однозначно с сохранением алгебраических операций ото­ бражается в пространство F'. Это отображение непрерывно, т. е. Е' вложено в F'. Может случиться, что Е' не плотно вложено в F'. Если F компактно (ядерно) вложено в Е, то Е' компактно (ядерно) вложено в F'.

Л и т е р а т у р а : [23], [27], [47].

11. Нормированные пространства, связанные с локально вы­ пуклым пространством. Ядерное пространство. Пусть Е — ло­ кально выпуклое линейное топологическое пространство, U, V — замкнутые абсолютно выпуклые окрестности нуля этого про­ странства, а ри(х) и P v ( x ) — отвечающие им полунормы. Сово­ купность элементов, на которых ри(х) обращается в нуль, обра­ зует линейное многообразие Ми в Е. В фактор-системе Е/Мц можно ввести норму

II* 11=' inf Ри(х).

§5. Линейные операторы

1.Линейные ограниченные операторы. Пусть Е и F — две ли­ нейные системы. Говорят, что на множестве D с= Е задан опера-

тор А со значениями в F (оператор, действующий из D в F),

если каждому элементу х D поставлен в соответствие элемент

у= Ах е F. Множество D называется областью определения

оператора и обозначается через D (Л). Совокупность всех эле­ ментов у из F, представимых в виде у = Ах ( х ^ £ ( Л ) ) , назы­ вается областью значений оператора А и обозначается через

деления оператора служит все пространство С(0, 1), областью значений — совокупность всех неотрицательных функций из С(0, 1). Этот же оператор, рассматриваемый на пространстве L2(0, 1), будет отображать его в совокупность неотрицательных функций из Li(0, 1).

Оператор А называется линейным, если D (Л) — линейное многообразие в £ и для любых хь x2^ D ( A )

А (оС]Х| “f- СХ2Х2) — а{Ах{ “I- (Х2/4-^'2*

График линейного оператора является линейным многообра­ зием в Е X F-

Примерами линейных операторов в любой линейной системе Е служат: единичный или тождественный оператор /, ставящий в соответствие каждому элементу из Е сам этот элемент: /х = х ; оператор подобного преобразования: Ах = %х ( х е £ , Я — фик­ сированное число).

В конечномерном пространстве Еп примерами линейных опе­ раторов служат линейные преобразования пространства. Такие операторы могут быть заданы с помощью квадратной матрицы (aih) : если х = {£ь h> • • • >in} и у = {г]Ь х\2, • • •, ■%}, то

П

Лi ==2 ttik&k*

/г—1

Аналогами таких операторов в функциональных простран­ ствах являются интегральные операторы

1

у (t) = Ах (t) = JК (t, s) х (s) ds,

о