Материал: Функциональный анализ

6

ОГЛАВЛЕНИЕ

ческие функции (247). 3. Самосопряженные расширения, отвечающие

основным краевым задачам (248).

250

§ 9. Гильбертова шкала пространств

................................................................

1.

Гильбертова шкала

и ее свойства (250). 2.

Пример гильбертовой

шкалы.

Пространства

(252). 3. Операторы в

гильбертовой

шкале (253). 4. Теоремы о следах (254).

метрикой . . 255

§ 10. Линейные операторы в пространствах с индефинитной

1/ /-пространства (255). 2. Линейные операторы в /-простран­

ствах (257). 3. Примеры (262).

Г л а в а

V. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом про­

странстве ..........................................................................................................

265

§ 1. Линейные уравнения с ограниченным оператором ..............................

265

1. Линейные уравнения 1-го порядка. Задача

Коши (265). 2. Одно­

родное

уравнение с постоянным

оператором

(265).

3.

Случай гиль­

бертова

пространства

(267). 4.

Уравнение второго

порядка (267).

§ 2. Уравнения с постоянным неограниченным оператором.......................

273

1. Задача Коши (273). 2. Равномерно корректная задача Коши (276).

3.

Ослабленная

задача Коши (278). 4. Абстрактное

параболическое

уравнение

(280).

5. Обратная задача Коши (281).

6.

Уравнения

в гильбертовом

пространстве (282). 7. Неоднородное

уравнение

с постоянным

оператором

(284).

8. Возмущенное

уравнение (286).

§ 3. Корректные задачи для дифференциальных

уравнений.......................

286

1. Задача Коши для уравнений в частных

производных

с постоян­

ными коэффициентами (286). 2. Краевые задачи для параболических

систем (289). 3.

Симметрические

гиперболические

системы

(290).

4.

Уравнение

Шредингера (291). 5. Уравнение

с

запаздываю­

щим

аргументом

(291).

292

§ 4. Уравнение с переменным оператором.....................................................

1. Равномерно корректная задача Коши. Эволюционный

опера­

тор

(292).

2.

Устойчивая

аппроксимация

эволюционного

опера­

тора (293). 3. Ослабленная

задача Коши, корректная на D(A)

(294).

4.

Абстрактное

параболическое уравнение

с оператором, имеющим

уравнение в семействе подпространств (298).

300

§ 5. Уравнения второго порядка....................................................

2. Уравнение

..................

-1. Уравнение гиперболического типа (300).

эллиптиче­

ского типа (301). 3. Полное

уравнение

второго

порядка,

параболи­

ческий случай (304).

Г л а в а

VI. Нелинейные операторные уравнения.........................................

306

§ 1. Нелинейные операторы и функционалы.................................................

307

1. Непрерывность и ограниченность оператора

(307). 2. Дифферен­

цируемость

нелинейного

оператора

(308). 3.

Оператор Урысона

в пространствах С и Lp (310). 4. Оператор f

(312).

5. Оператор

Гаммерштейна (313). 6. Производные

высших

порядков

(313).

7. Потенциальные операторы (315).

317

§ 2. Существование решений ...........................................................................

1. Метод последовательных приближений (317). 2. Принцип сжатых

отображений (318). 3. Единственность решения

(319).

4. Уравнения

с

вполне

непрерывными

операторами.

Принцип

Шаудера

(320).

ОГЛАВЛЕНИЕ

7

§ 3. Качественные методы в теории

ветвления

решений

...........................332

1. Продолжение решений, теорема о неявной функции (332). 2. Точки

ветвления (333). 3. Точки бифуркации,

принцип линеаризации (334).

4. Примеры из механики (338). 5. Уравнения с потенциальными опе­

раторами (341). 6. Рождение больших

решений (341). 7. Уравнение

разветвления (342). 8. Построение решений в виде рядов (343).

Г л а в а VII. Коммутативные банаховы

алгебры ...................

,.....................346

§ 1. Основные п о н я т и я .......................................................................................

2. Группа

346

1. Определения и примеры (346).

обратимых элементов,

теорема о непустоте спектра (349).

3. Максимальные идеалы и муль­

типликативные функционалы (350).

4.

Пространство

максимальных

идеалов, гельфандов гомоморфизм (352).

353

§ 2. Общие свойства...............................................................................................

элементами

алгебры

1. Аналитические операции над

(353). 2. Алге­

странства максимальных идеалов (355). 4. Алгебры

с

инволю­

цией (357). 5. Регулярные алгебры (359).

361

§ 3. Алгебры с равномерной сходимостью..............................

свойства

(362).... 2...................

1. Симметрия,

антисимметрия

и близкие

Некото­

рые характеристические

свойства

алгебры

С (А)

(364).

3. Эквива­

лентность Глисона (365). 4. Компактные

расширения (337).

5.

Алге­

браические уравнения

в С (А)

(368).

370

§ 4. Максимальные подалгебры ........................................................................

(370).

2. Максимальные

1. Постановка задачи,

примеры

подалгебры

алгебры С (X) (371). 3. Максимальные подалгебры в алгебрах с ин­

волюцией (372).

а н а л и з

374

§ 5. Групповые алгебры. Гармонический

1. Групповая алгебра (374). 2. Характеры дискретной группы и мак­

симальные идеалы групповой алгебры (376). 3. Компактные группы.

Принцип двойственности (378). 4. Локально компактные группы (378).

5. Преобразование Фурье (379).

6.

Спектральный

синтез. Эндомор­

физмы групповых алгебр (380). 7. Гиперкомплексные системы (381).

§ 6. Несколько замечаний о неполупростых алгебрах..................................

382

1. Идеалы в алгебрах степенных

рядов (382).

2.

Структурные тео­

ремы (383).

Г л а в а

VIII. Операторы

в пространствах

с к о н у с о м ..............................

385

§ 1. Конусы в линейных пространствах.........................................................

2.

Полуупорядоченные

385

1. Конус в линейной

системе

(385).

про­

странства (386). 3. /С-линеалы,

миниэдральные

конусы

(387). 4. /(-

пространства

(387).

5.

Конусы

в

банаховом

пространстве

(389).

6. Правильные конусы (391).

7.

Теоремы

о реализации

полуупоря-

доченных пространств

(392).

393

§ 2. Линейные положительные функционалы.................................................

2.

1. Положительные функционалы

(393).

Продолжение линейных

положительных функционалов

(394). 3. Равномерно положительные

функционалы (395). 4. Ограниченные

функционалы на конусе

(395).

5.

Сходимость

последовательности

положительных

функциона­

лов (396).

397

§ 3, Линейные положительные операторы .....................................................

8

ОГЛАВЛЕНИЕ

8.

Сравнение

спектральных радиусов и собственных значений поло­

жительных операторов (410). 9.

Неоднородное

линейное

уравне­

ние

(411).

10.

Существование

положительного

обратного'

опера­

тора (413).

11.

Инвариантные функционалы и собственные векторы

сопряженных

операторов

(414). 12. Сходимость последовательности

положительных операторов (415).

418

§ 4. Нелинейные операторы ...............................................................................

1. Основные понятия (418). 2. Существование положительных реше­

ний (418). 3. Существование

ненулевого

положительного

реше­

ния

(419).

4.

Непрерывная ветвь положительных

собственных век­

торов (420).

5. Вогнутые

операторы

(421).

6.

Сходимость последо­

вательных

приближений

(422).

Г л а в а

IX. Операторы квантовой

м ехан и ки ..............................................

423

§ 1. Общие положения квантовой м еханики.................................................

2.

423

1. Состояния

и наблюдаемые

величины (423).

Совместно наблю­

даемые величины (424).

3. Примеры пространств

состояний

(425).

4. Развитие системы со

временем

(427).

5. Квантование классиче­

ской механики (428). 6. Основные задачи квантовой механики (429).

§ 2. Конкретные квантовомеханические системы ..........................................

430

1. Оператор Шредингера модельных задач (430).

2. Простейшие

свойства

спектра оператора Шредингера

(431). 3.

Многоэлектрон-

ный

атом

(433).

§ 3. Спектр оператора Шредингера и некоторых родственных диффе­

435

ренциальных операторов...............................................................................

§ 4. Непрерывный спектр оператора энергии и задача рассеяния

. . . . 443

1. Частица

во

внешнем

поле (443). 2. Система нескольких ча­

стиц (444).

3.

Волновые

операторы

(446).

4.

Стационарная

поста­

новка (447). 5. Интегральное уравнение

теории

рассеяния

(449).

6. Случай

сферической

симметрии (450). 7. Общий случай

(452).

8. Обратная задача теории рассеяния (452).

Г л а в а Х . Обобщенные ф ункции....................................................................

455

§ 1. Обобщенные функции и действия

над н и м и ..........................................

455

1. Вводные замечания (455). 2. Обобщенные функции (456). 3. Дру­

гие теории

обобщенных

функций

(458). А. Действия над обобщен­

ными функциями (458). 5. Дифференцирование и интегрирование

обобщенных функций (459). 6. Предел последовательности обобщен­

ных функций (461). 7.

Локальные

свойства

обобщенных

функ­

ций (463).

8. Прямое произведение обобщенных функций

(464).

9. Свертка

обобщенных функций

(465). 10. Общий

вид обобщенных

функций (466). И.

Теорема о ядре

(467). 12.

Аналитические

пред­

ставления обобщенных функций одного переменного (467).

13. Обоб­

щенные

функции

как граничные

значения

голоморфных

функ­

ций (468).

470

§ 2. Обобщенные функции и расходящиеся интегралы ...............................

1. Регуляризация расходящихся интегралов (470), 2. Регуляризация

функций

x i , х ~ п и их линейных комбинаций (472).

3. Регуля­

ОГЛАВЛЕНИЕ

9

функции л;^, х \

и им аналогичные как функции от параметра X (482).

8. Однородные обобщенные функции (485). 9. Таблица производных

некоторых

обобщенных

функций

(486).

10. Дифференцирование и

интегрирование

произвольного порядка (486).

11.

Выражение

неко­

торых специальных функций в виде производных дробного по­

рядка (488).

............... 489

§ 3. Некоторые обобщенные функции нескольких переменных

1. Обобщенная функция гк (489).

2. Обобщенные

функции,

связан­

ные

с квадратичными

формами

(491).

3.

Обобщенные

функции

(Р +

Я))*'

и (Р —- /0)^

(493).

4.

-Обобщенные

функции

вида

(&, Я) (494).

5. Обобщенные

функции

на

гладких

поверхно­

стях

(496).

Фурье

обобщенных ф ун кц и й ...................................... 499

§ 4. Преобразование

I. Мультипликаторы и

свертыватели (499).

2.

Пространств

типов

S и & (500). 3.

Предельные

случаи пространств

типа 5

и <§?

(503).

4. Таблица преобразований Фурье обобщенных

функций одного пе­

ременного (505). 5. Положительно определенные обобщенные функ­

ции (509). 6. Условно положительно определенные

функции (510).

7. Теорема Пэли — Винера — Шварца (511).

8.

Спектральные

функ­

ции для голоморфных функций (511). 9. Теорема об острие клина (512).

10.

Преобразование Радона

основных функций и его свойства

(515).

II. Преобразование Радона обобщенных функций (514).

................... 515

§ 5. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения

1. Фундаментальные решения (515). 2. Фундаментальные

решения

для

некоторых

дифференциальных уравнений

(518).

3.

Построение

фундаментальных решений

для

эллиптических

уравнений

(519).

§ 6. Обобщенные функции в комплексном пространстве...........................

525

1.

Обобщенные функции одного комплексного переменного

(525).

2.

Обобщенные функции т комплексных переменных (528).

Библиография..........................................................................................................

532