Материал: Функциональный анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§ 4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

имеет определенного ответа, так как конкретные пространства, изометричные пространству Е\ можно строить различными способами.

Например, пусть в Еп введена норма

i * u = i i i i	+	2 i i ft+1	■у
		*=1
Если линейные функционалы на Еп представлять в виде
		п—1
f (л;) = a f e i	+	2 a k Йл+i ““ Ы>
		k=\
то сопряженным пространством к Еп			будет пространство Е1п
с нормой

■л| = щах | ak |.

Если же линейные функционалы представлять в обычном виде

f(*) = 2 bklk,

k=\

то сопряженным пространством	будет пространство Еп с
нормой
	п
\|\|/ \|\|= max	2>ь{
1	i=k

Пространства Ехп и Е2п изометричны. Соответствие между

ними задается соотношением ak ■ 2 ьь

i= k

Задача об описании сопряженного пространства становится определенной, если заранее задаться аналитическим способом вычисления значений функционала или, как говорят, видом функционала. При этом по аналогии с линейными формами ли нейные функционалы обычно ищут в виде сумм произведений или интегралов от произведений.

Примеры .

1. П р о с т р а н с т в о 1Р ( р > 1 ) . Произвольный непрерыв ный линейный функционал, определенный в пространстве 1Р, может быть представлен в виде

f { x ) = 2 1f i h >

где {/,}<=/„ 1/,,+ 1/9 = 1 и II / 1|= (jS I f t \q

42	ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ				п о н я т и я
Пространство, сопряженное к пространству 1Р, изометрично
пространству lq, где 1/р +		1/<7 =		1.		непрерывный	линейный
2. П р о с т р а н с т в о		/ь	Всякий
функционал в Zi может быть представлен в виде
		f (х) — 2			fill*
где \|\|/\|\| = sup	\fi \| < oo.			i= 1

I<K OO				к	Zi	изометрично	простран-
Сопряженное	пространство
ству т.		с0.	Линейный			непрерывный	функцио
3. П р о с т р а н с т в о
нал в Со может быть задан равенством

/М = 2 /&,

i= 1

где \|\|/\|\|== 2 I /г I <
	t=1	с0	изометрично простран
Сопряженное пространство к
ству	Zi.	/? >	1. Любой непрерывный
4.	П р о с т р а н с т в о Lp(0, 1)>

линейный функционал в пространстве Lp(0, 1) может быть пред ставлен в виде

f(x)= J x(Z)a(Z) dt,

			о
где	a(t)<=Lq(0, 1), q = p/(p— 1).
	Норма функционала f определяется формулой
		llfll= И	la (О N O	•
	Сопряженное пространство к Lp(0, 1) изометрично простран
ству 0 (0 , 1) ( l / p + l / q = l ) .					функ
	5. П р о с т р а н с т в о Li(0, 1). Непрерывный линейный				функ
ционал в 0(0, 1)		может быть представлен в виде
		f(x) =	J!x(t) a (7) dt,
			о
где	a (Z)— почти	всюду на	отрезке [0,1]	ограниченная	функ
ция и

II/ 1|= vrai max) a(Z)l. 0<f<l

Сопряженное пространство к пространству Li(0, 1) изомет рично пространству М(0, 1).

		§ 4. СОПРЯЖЕННЫЕ				ПРОСТРАНСТВА					43
6.	П р о с т р а н с т в о С(0, 1). Всякий непрерывный линейный
функционал в С(0, 1)				может	быть			представлен	в виде		инте
грала Стилтьеса
			/ ( * ) = /		x(t)dg(t),
				О
где g(t) — функция ограниченной							вариации. Функционал				f(x)
не изменится, если к функции g(t)							добавить любую константу,
поэтому полагают			g(0) = 0 . Однако					и при этом	условии		раз
ные функции		g(t)	могут порождать					одинаковые	функционалы.
Эти функции могут отличаться значениями в точках разрыва,
лежащих внутри отрезка [0, 1]. Если, например, рассматривать
только такие функции g(t), для которых
	g(Q = g<f.+ °L t.g (i-0 ).							при *<=(0. 1),
то соответствие между				функционалами f(x) и функциями g(t)
становится взаимно однозначным. При этом
				llfll= V te).
					о
Сопряженное пространство к пространству С(0, 1)										изомет-
рично	подпространству			Го(0, 1)		пространства V(0, 1),				состоя
щему	из всех	функций		g(t)	Г(0, 1), удовлетворяющих						усло
виям:	g(0) =	0 И g(t)		= l/2[g(t +		0) + g (^ — 0)] при t (ЕЕ (0, 1).

Л и т е р а т у р а : [23], [27], [30], [39], [51].

3. Слабая сходимость, слабые топологии. Говорят, что после довательность Хи х2, ..., хп, ... элементов линейного нормиро

ванного пространства Е	слабо сходится	к	элементу	х0 Е
(и обозначают хп — * х 0),	если lim f (х ) =	f (х0) для		всякого
непрерывного линейного функционала / <= Е'.			В отличие от сла

бой сходимости сходимость последовательности по норме про странства Е называют сильной сходимостью. Сильная сходи мость последовательности элементов всегда влечет слабую сходимость, однако обратное утверждение, вообще говоря, не верно. В конечномерном банаховом пространстве сильная и сла бая сходимости эквивалентны. Однако существуют и бесконеч номерные пространства, например пространство /ь в которых обе сходимости эквивалентны.

^Последовательность {хп} называется слабо фундаменталь

ной, если	для всякого	f е Е' существует	конечный предел
Jim f(xn).	Пространство называется секвенциально слабо пол
н ы м если	всякая слабо	фундаментальная	последовательность

44 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия

слабо сходится к элементу Е. Слабо фундаментальная последо вательность всегда ограничена по норме.

В локально равномерно выпуклом пространстве	(см. п. 8)
из слабой сходимости хп -* х0 и сходимости норм	\|\|хп\|\|-Ч\|*о\|\|

следует сильная сходимость хп к х0. Однако этим свойством об ладают и некоторые другие пространства (например /1).

Для		того чтобы последовательность {хп} слабо сходи
лась	к	элементу	х0, необходимо и достаточно, чтобы она
была	ограничена		и чтобы соотношение lim f(xn) = f{x0) выпол-
			П->оо

нялось для всюду плотного в Е' множества линейных функ ционалов.

Слабая сходимость в пространствах lp { р ^ 1) и Со озна чает ограниченность последовательности норм и сходимость всех

координат. Пространства	1Р (р >	1) секвенциально слабо пол
ны, а с0 — нет.	(р ^ 1)	секвенциально слабо полны.
Пространства Ьр(0, 1)	(р ^ 1)	секвенциально слабо полны.

Слабая сходимость последовательности функций xn(t) к функ

ции x(t) в Lp	при р > 1	означает	ограниченность последова
тельности норм	\\хп\\Ьр и сходимость J xn(x)dx-> J* x(x)dx при
любом £е[0, 1], а при р =			о	о
		1 означает равномерную ограничен
ность последовательности'		\\Хп\\цх и	сходимость	Jxn(x)dx->

-*■ j х (т) dr для всех измеримых множеств е с [0, 1].

В пространстве С(0, 1) слабая сходимость означает равно мерную ограниченность последовательности функций и сходи мость в каждой точке отрезка [0, 1]. Это пространство не яв

ляется секвенциально слабо полным.		Е' называется	слабо
Последовательность функционалов fn ^
сходящейся к	функционалу fo ^ E ', если	Ym fn(x) = f 0(x)	для
всякого х ^ Е .	П -> оо
	Из сильной сходимости	последовательности

функционалов следует ее слабая сходимость; обратное, вообще

говоря, неверно. Если Е — банахово пространство,	то из ‘Суще
ствования предела lim fn (х) при каждом	следует, что
« - > оо

последовательность fn слабо сходится к некоторому функцио

налу fo ^ E ', при этом		\|\|/о\|\|<Нш \|\| fn Ц.
Если Е — банахово		пространство,	то для	слабой сходимости
fn—:->/0	необходимо	и достаточно,	чтобы	последовательность
\|\|/п\|\| была	ограниченной и чтобы соотношение lim fn(x) = fo(x)
				П -> оо

имело место на всюду плотном множестве элементов

§ 4. с о п р я ж е н н ы е п р о с т р а н с т в а	45
Выделение класса сходящихся последовательностей еще не
превращает пространство в топологическое. Оказывается,	что

в линейном нормированном пространстве Е можно ввести то пологию так, чтобы сходящимися в смысле этой топологии по следовательностями были слабо сходящиеся последовательности

и только они. Через	W(fu .	fn\ а)	(/ь	fn е Е\ а > 0)
обозначают множество	точек	х ^ Е	таких,	что \fi(x) \| ^ а.

Окрестностью нуля пространства Е называют всякое множество, содержащее множество W(fu ..., fn; а) при некотором наборе функционалов fi, ..., fn и положительном а. Всякая окрест ность элемента х получается из некоторой окрестности нуля VQ путем е» сдвига на х : Vx = х 4- V0. Получаемая таким образом

топология называется ослабленной топологией			о(Е,	Е') и обла
дает указанным свойством.
Аналогично в сопряженном пространстве Е' определяется то
пология с помощью множеств W (хи		..., хп\ а)	(Х\ е	Е, а > 0),
состоящих	из всех j ^ E ' таких, что	\ f (Xi)\ ^	ос. Окрестностью
нуля называется всякое множество, содержащее				некоторое
W(xu	хп;а). Получаемая топология в Е		называется сла

бой топологией в(Е',Е). Сходящимися последовательностями функционалов в этой топологии будут слабо сходящиеся по следовательности и только они.

Слабая и ослабленная топологии согласованы с алгебраиче скими операциями в Е' и £, они являются локально выпуклыми,

так как множества	W(xь ..., хп\	а) и W(fь ...,	fn\ ос) выпуклы.
В случае бесконечномерного		пространства Е ослабленная
топология о(Е, Е')	представляет собой пример		неметризуемой

топологии; слабая топология о{Е\Е) также неметризуема, если пространство Е бесконечномерно и банахово.

Ослабленная топология в бесконечномерном линейном нор мированном пространстве всегда слабее исходной топологии*).

Множество S топологического пространства Е называется компактным, если из всякого покрытия S открытыми множе ствами пространства Е можно выделить конечное покрытие**).

Это определение компактного множества для метрического пространства эквивалентно определению замкнутого компактно го множества (п. 7 § 2).

Для ослабленной топологии в банаховом пространстве Е имеет место следующий глубокий факт: для того чтобы замы кание множества Т в ослабленной топологии было компактным, необходимо и достаточно, чтобы из каждой последовательности

*)	Одна топология называется слабее другой, если система окрестностей
любой	точки в первой топологии является частью системы ее окрестностей
во второй топологии. Вторая топология в этом случае сильнее первой.
**)	Множество, компактное в отделимой топологии, в русской литературе

часто называют бикомпактом.

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: