Материал: Функциональный анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

| 2. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Пополнением Е метрического пространства Е называется полное метрическое пространство, содержащее Е в качестве всюду плотного подмножества. Всякое метрическое простран

ство обладает пополнением.
Приведем пример.
15.	П р о с т р а н с т в о	Wlp(G).	Пусть G — область в	п-мер
ном пространстве с гладкой		границей	и C^(G) — линейная	си
стема	всех / раз непрерывно дифференцируемых функций			x(t)
в области G. В норме, которая определяется равенством

пространство C^(G) не полно. Пополнение этого пространства

называется пространством Wlp(G). Пространства Wp}(G) были введены С. Л. Соболевым и играют важную роль в различных задачах теории уравнений в частных производных.

Л и т е р а т у р а : [23], [27], [30], [39], [53].

7. Компактные множества. Множество Т в метрическом про странстве Е называется компактным, если из всякой бесконеч

ной последовательности {хп} d Т можно	выделить подпоследо
вательность, сходящуюся к некоторому пределу х ^ Е .
К р и т е р и й к о м п а к т н о с т и . Для	компактности множе

ства Т метрического пространства Е необходимо, а в случае полноты Е и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовала

конечная е-сеть, т. е.	такое конечное множество элементов
хи ..., хп е Е, что для	каждого элемента X G T найдется эле

мент Xk, находящийся от х на расстоянии меньше е:

р(ху хк) < е.

Влинейном нормированном пространстве компактность множества означает, что его можно с любой точностью при близить множеством, лежащим в конечномерном подпростран стве.

Полезными являются утверждения: если множество ком пактно, тощего выпуклая оболочка также компактна; замыкание компактного множества компактно.

Вконечномерном банаховом пространстве всякое ограничен ное множество компактно. Линейное нормированное простран

ство, в котором какой-либо шар компактен, является конечно мерным

32			ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ	ПОНЯТИЙ
П р и з н а к и к о м п а к т н о с т и .					множе
1)	К о м п а к т н о с т ь в С(0, 1). Для компактности				множе
ства	Т а	С(0,	1) необходимо и	достаточно, чтобы	функции
x ( t ) ^ T		были	равномерно ограничены и равностепенно непре

рывны ( к рит е рий Арцела) . При этом равномерная ограни


ченность означает, что существует константа								К	такая,		что
\x(t) \ < К	для всех x(t)		е Г и /е [0 ,		1], а		равностепенная				не
прерывность		означает, что		для всякого		е >	О существует				б =
= 6(e) такое, что \|x(ti)			— x(t2) \| < е		для		любых		iu	/г е [ 0,1]
при \t\ — i21< б и для любой функции х (t) е							Т.	компактности
2) К о м п а к т н о с т ь			в	См(—	оо).		Для
множества	Т а С ( —оо, оо)			необходимо		и	достаточно, чтобы
функции x(t)		были равномерно ограничены и						чтобы для			ка
ждого е > 0		существовало		покрытие	оси		(—оо, оо)			конечным

числом открытых множеств, в каждом из которых колебание любой функции x(t) е Т меньше е.

3) К о м п а к т н о с т ь	в Lp(0, 1)( р>1) . Для компактности
множества Т с Lp (0, 1)	необходимо и достаточно, чтобы это

множество было ограничено в Lp(0,1) и чтобы для любого г > > 0 существовало б > 0 такое, что при h <. б для любой функ ции x(t) е Г расстояние р(х,хъ) < е, где

(вне		отрезка		[0,1] функция x(t). полагается					равной нулю)
( к рит е рий				А. Н. К о л м о г о р о в а ) .						в Lp(0, 1 )(/?^
4)		Д р у г о й п р и з н а к					к о м п а к т н о с т и
^	1). Для		компактности множества Т a LP(T), 1)							необходимо и
достаточно, чтобы это множество было ограниченным в Lp(0,1)
и чтобы для любого г >					0 существовало б > 0 такое, что
				J \x{t -\-h) — x(t)\p dt <&
				О
при	\h\ < 6		( крит е рий М. Р ис е а).
5)		К о м п а к т н о с т ь				в	lp(p ^	1). Для компактности неко
торого множества Т а 1Р необходимо и достаточно,										чтобы Т было
ограниченным				и чтобы	для	произвольного г >			0	существовал,
номер N =			N (&) такой, что для всех х = {£1э						...»
					оо
имеет место неравенство					2	I It \р <		е-

В последние . годы усиленно изучались количественные ха рактеристики «массивности» компактных множеств. Через N?\T ) обозначают минимальное число точек во всевозможных

§ 2. Ли н е й н ы е т о п о л о г и ч е с к и е п р о с т р а н с т в а

e-сетях множества Т. Число

Не(Т) = log2Ne(T)

называется е-энтропией множества Т.

Название это связано с идеями теории информации. Энтро пия множества сообщений при передаче с определенной точ ностью есть число двоичных знаков, требуемых для восстанов ления с этой точностью любого сообщения.

Если считать компактное множество Т множеством сообще ний, а под воспроизведением точки JC из Г с нужной точностью понимать указание некоторой точки х' из е-окрестности точки

х, то оба понятия энтропии приобретают аналогичный смысл. Другой количественной характеристикой массивности Т яв

ляется г-емкость. Она определяется формулой

Се (Т) — log2 Ме (Т),

где Ме(Т) — максимальное число точек с взаимными расстояниями больше е, которое можно разместить в компактном множестве Т. С помощью е-емкости можно оценивать снизу е-эн* тропию, так как

M2e(T )< N e(T).

Для ряда важных классов компактных множеств имеются асимптотические оценки е-энтропии при е— >-0.

Для куба Q в «-мерном пространстве Еп

е^° loS2 7

В пространстве C(G), где G — замкнутая ограниченная «-мерная область с гладкой границей, рассматривается ком пактное множество Viya(Ci,Cz), состоящее из всех функций, имеющих частные производные порядка /, удовлетворяющие условию Гельдера с показателем а, 0 < а ^ 1 , и таких, что производные до порядка I ограничены числом Си а константы Гельдера 1-х производных — числом С2. Тогда

/ 1\n/(/+а)	/ 1\ пЩ+а)
а (т )	< Я е(^ .а(С 1, С2))< б (-1 )
где а > 0 и & > 0 н е	зависят от е.

Значительно менее массивными в C(G) являются множе ства аналитических функций. Если через /4Q(CI) обозначить множество всех функций из C(G), допускающих аналитическое продолжение в фиксированную область Q «-мерного простран

ства	и остающихся	в ней ограниченными некоторым числом
'С,, то	a log«+' (1/е) <	Не (AQ (С-,)) < b log"+‘ (1/е).

Л и т е р а т у р а : [23], [39], [77], [83].

34	ГЛ.	I. ОСНОВНЫЕ	п о н я т и я
8.	Сепарабельные	пространства.	Линейное нормированное

пространство называется сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное множество.

Пространства			Rn,	1Р,	с, с0, Ьр(0,1), С(0, 1),		С®(0, 1).
W{p (G)		сепарабельны, в то время как пространства т, М(0, 1),
V(0, 1),		Са(0,1)	дают	примеры		несепарабельных пространств.
Л и т е р а т у р а :			[23], [25], [39].
9.	Изометрия,		изоморфизм,			гомеоморфизм. Линейные нор
мированное пространства Е и F называются изометричными>
если	существует		взаимно		однозначное соответствие х		у	ме
жду	элементами		х и у	( х ^ Е ,		y ^ F ) , удовлетворяющее		еле-
дующим условиям:					У2, то и
1)	если Xt		уи х2
			^1*1	+ h2X2		Х\Ух + Х2у2
для любых чисел Xt, Х2\
2)	если х<->у, то \\х\\ — \|\|*/\|\|.

При изометрии сохраняются все свойства пространства, свя занные с алгебраическими операциями и нормой элементов, так что различия между изометричными пространствами могут быть лишь только в природе их элементов. В абстрактном функ циональном анализе, при изучении линейных нормированных пространств, интересуются как раз теми свойствами простран ства, которые связаны с особенностями алгебраических опера ций и нормы этого пространства, и вовсе не исследуют природу самих элементов. Поэтому изометрические линейные нормиро ванные пространства просто отождествляются. В приложениях функционального анализа обычно приходится иметь дело с кон кретными линейными нормированными пространствами, в кото рых игнорировать природу элементов нельзя. Перевод всех по лученных фактов с «языка» одного пространства на «язык» изометричного ему пространства часто является практически неосуществимым. В этом случае отождествление изометричных пространств является нерациональным.

Пространство Ь2(0,1) изометрично пространству /2.

Вообще изометрия линейных нормированных пространств — явление редкое. Можно ослабить требование сохранения нормы. Говорят, что два линейных нормированных пространства Е и F изоморфны, если существует взаимно однозначное соответствие между их элементами, обладающее свойством линейности 1) и такое, что

2') существуют постоянные Ci > 0 и С2> 0, не зависящие от элементов х и у такие, что для х ч-> у

^1 II у II

л I ;^2И У I

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

При изоморфизме сохраняются лишь те свойства, которые за висят от природы алгебраических операций и топологической структуры пространств. В я-мерном пространстве Еп можно вводить норму различными способами, но все полученные при этом нормированные пространства изоморфны.

Если Ct(C2)— наибольшее (наименьшее) возможное значе

ние константы в предыдущем неравенстве, то величина 4 —^ 1 Сj

характеризует степень отклонения изоморфизма от изометрии.

Величина	__
	d(E, F) = inf-gs-,

где infimum берется по всевозможным изоморфным соответ ствиям между Е и F, характеризует близость двух изоморфных пространств. Если Е и F изометричны, то d(E,F) = 1. Однако это равенство может выполняться и для не изометричных про странств, которые тогда называются почти изометричными.

Если Q — несчетное метрическое компактное множество (компакт), то пространство C(Q) всех непрерывных на Q функций изоморфно С(0, 1). Существует полная изоморфная классификация пространств C(Q) на счетных компактах.


Если d(C(Q\), C(Q2)) < 2, то компакты Qi и Q2						гомеоморф-
иы, а пространства C(Q\),C(Q2) изометричны.								1 и
Пространство № '(/“),		где	1п — n-мерный куб, при / ^
ft > 2	не изоморфно С(0, 1). Пространства № (0,1)					(/^ 0 )		по
парно изоморфны.		( п ^	2), где	D(n) — единичный			поли
Пространство A(D<п))
цилиндр в ^-мерном комплексном пространстве					(z: \\zi\\ ^		1), не
изоморфно пространству A(D) (см. п. 5, пример					14).
Пространства Lv попарно не изоморфны; то, же верно для /р.
Пространства LPl и 1Р2 не изоморфны,				за исключением случая
Pi =	р2 = 2.		каждое	бесконечномерное			бана
Неизвестно, изоморфно ли

хово пространство своему гиперподпространству.

Недавно положительно решена проблема Банаха: если в /г-мерном банаховом пространстве при каждом k (1 < k < п) все подпространства размерности k изометричны, то простран ство гильбертово (см. гл. III).

Рассмотрение взаимно однозначных и взаимно непрерывных отображений нормированных пространств (т. е. отображений, сохраняющих только их топологическую структуру без сохра нения алгебраических операций) приводит к понятию гомео морфизма нормированных пространств.

Неполное нормированное пространство не гомеоморфно ни какому банахову пространству. Недавно решена знаменитая

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: