Материал: Функциональный анализ

оператор определен на всем пространстве С(0, 1) и отображает его в некоторую часть пространства С(0, 1).

В пространстве С(0, 1) можно рассматривать линейный опе­ ратор дифференцирования: Ax(t) = x'(t), определенный на не­ прерывно дифференцируемых функциях: D (A )= 0^(0, 1). Об­ ластью значений этого оператора будет все пространство С(О, 1). Если этот оператор расширить на совокупность абсолютно не­ прерывных функций, то его областью значений будет простран­ ство Li(0, 1). В теории обобщенных функций оператор диффе­ ренцирования расширяется на все пространство С(0, 1), при этом он отображает пространство С (О, 1) в некоторое простран­ ство обобщенных функций.

Для линейных операторов, отображающих линейную систему Е в линейную систему F, естественным образом вводятся

оператор А определен и непрерывен в каждой точке простран­ ства £, то его называют просто непрерывным оператором из Е в F.

Линейный оператор, определенный в £, называется ограни­ ченным, если

II Ах \\р^ С|| х \\Е,

где С не зависит от выбора ^ е £ .

Для того чтобы линейный оператор, действующий из Е в F, был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был огра­ ниченным.

Наименьшее из чисел С в предыдущем неравенстве называет­ ся нормой оператора А и обозначается так: \\A \\E -*F - Е сли F сов­ падает с Е, то пишут просто ||Л||. Из определения следует

Если пространство Е разложено в прямую сумму двух под­ пространств: Е = Mt®M2, то можно определить линейный опе­ ратор Pi равенством

РхХ— Х{ (* = *! +*2, Хх^ М и Х2^ М 2).

Оператор Pi ограничен и р\ = Р х. Всякий линейный опера­ тор Р\у обладающий этими двумя свойствами, называется проеъ-

тором. Каждому проектору отвечает разложение Е в прямую сумму: Е = Pi£® (/ — Pi)E.

, Л и т е р а т у р а : [23], [27], [39].

2. Примеры линейных ограниченных операторов.

1) О п е р а т о р ы в к о н е ч н о м е р н ы х п р о с т р а н с т -

ференциальные. операторы, рассматриваемые как операторы в одном и том же пространстве, как правило, являются неограни­ ченными. Так, оператор производной не является ограниченным в пространстве С(0, 1); если же его рассматривать как оператор из (^(О, 1) в С(0, 1), то он ограничен и его норма равна 1.

Аналогично линейный дифференциальный оператор /-го по­ рядка с непрерывными коэффициентами можно рассматривать как ограниченный оператор из С®(0,1) в С (0,1).

Для изучения линейных дифференциальных операторов в ча^ стных производных обычно привлекаются либо пространства

Гельдера (классический подход), либо пространства Wlp. Так, эллиптический оператор второго порядка

/, /«1

определенный в и-мерной области G, обычно рассматривается

как ограниченный оператор из пространства WI{G)B простран­ ство L2(G).

Ли т е р а т у р а : [23], [30], [39].

3.Сходимость последовательностей операторов. Пусть {Ап} — последовательность ограниченных линейных операторов, дейст­ вующих из линейного нормированного пространства Е в линей­ ное нормированное пространство F.

оператору Л0, если lim || А0х — Апх ||f = 0 при любом х е £ .

П -> оо

Последовательность {Ап} называется слабо сходящейся к опе­ ратору Ло, если при любом последовательность {Апх} слабо сходится к А0х.

Из сходимости по норме следует сильная сходимость, из силь­ ной— слабая. Обратные утверждения, вообще говори, непра­ вильны.

Если последовательность {Ап} сильно сходится к Л0 й нормы операторов Ап ограничены в совокупности: II Ап \\Еш+р

(п = 1,2, ...), то оператор Л0 также является линейным ограни­ ченным оператором и

II Ло IIE->F ^ Пт || Ап П->оо

В случае, когда Е является банаховым пространством, по­ следнее утверждение значительно усиливается: если последова­ тельность ограниченных линейных операторов Лп, действующих из банахова пространства Е в линейное нормированное прост­ ранство F, сильно сходится к оператору Л0, то нормы операторов ограничены в совокупности, и следовательно, оператор Л0 также ограничен.

Доказательство этого факта основано на п р и н ц и п е р а в ­ н о м е р н о й о г р а н и ч е н н о с т и : пусть на банаховом прост­

ранстве Е определено семейство неотрицательных непрерывных функционалов фа (х) ( а ^ Л ) , обладающих свойствами:

Для того чтобы последовательность ограниченных линейных операторов, действующих из банахова пространства Е в бана­ хово пространство F, сильно сходилась к некоторому линейному ограниченному оператору, необходимо и достаточно, чтобы: 1) нормы операторов Ап были ограничены в совокупности; 2) по­ следовательность {Апх'} была сходящейся при любом х* из не­ которого всюду плотного множества D с= Е.

Последняя теорема имеет многочисленные применения в во­ просах, связанных со сходимостью и суммируемостью рядов и интегралов, сходимостью интерполяционных процессов, процес­ сов механических квадратур и т. п.

Л и т е р а т у р а : [23], [39].

4. Обратный оператор. Пусть линейный оператор А отобра­ жает линейную систему Е в линейную систему F. Если оператор А обладает тем свойством, что Ах = 0 только при х = 0, то каждому у из области значений /?(Л) оператора А соответствует только один элемент х, для которого у = Ах (решение уравне­ ния у — Ах единственно). Это соответствие можно рассматри­ вать как оператор В, определенный на R (Л) со значениями, за­ полняющими Е. Оператор В —линейный. По определению ВАх = х, поэтому оператор В называется левым обратным к Л.

Если R(A) = Ft т. е. оператор А устанавливает взаимно од­ нозначное соответствие между £ и F, то оператор В определен на всем В, называется просто обратным оператором .к А и обо­ значается через Л-1. По определению

А~1Ах — х (х<=£) и АА~ху — у (y^F) .

Одним из глубоких фактов теории банаховых пространств яв­ ляется следующее утверждение.

П р и н ц и п о т к р ы т о с т и о т о б р а ж е н и я : при непре­ рывном линейном отображении банахова пространства Е на ба­ нахово пространство F образ каждого открытого множества есть снова открытое множество.

Из этого принципа вытекает важное следствие.