66 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я
В каждом сепарабельном банаховом пространстве имеется полная минимальная система. Более того, можно построить та кую полную минимальную систему {ек}, что соответствующие ей
функционалы |
fk |
образуют |
тотальное |
множество, т. е. из |
fk(x) = 0 (х ^ |
Е, |
k = 1,2,...) |
следует, что х = 0. |
|
Система {ек} называется равномерно минимальном, если |
||||
р{еп,Е ™ )> у\\еп \\ |
( 0 < Y< 1 ; |
п = 1, 2, . . . ) , |
||
где р(еп, £ (п)) — расстояние от еп до замкнутой линейной обо лочки № ) всех элементов ек с k Ф п. В каждом конечномерном пространстве существует полная минимальная система, для ко торой у = 1.
Полная минимальная система {ек} является равномерно ми нимальной тогда и только тогда, когда
iim ||efe llllfftIK оо,
где {М — сопряженная система.
Л и т е р а т у р а : [2], [9], [25], [39], [79].
2. Понятие базиса. Система элементов {ек} образует базис пространства £, если каждый элемент х е Е представим един ственным образом в виде сходящегося ряда
оо
* — 2 Cke k .
fe*=l
Всякий базис представляет собой полную равномерно мини мальную систему. Однако полная равномерно минимальная система может не образовывать базиса в пространстве. Так, например, тригонометрическая система e0(t)= 1, e2n_.i(^) = sin nt,
e2n(t) = |
cos nt |
(n = |
1, 2, |
...) является |
полной равномерно ми |
|||
нимальной системой |
в пространстве С(—я, я), но |
не образует |
||||||
базиса в нем. |
базисов . |
|
|
|
|
|
||
П р и м е р ы |
L2(a, 6), |
как |
и |
в любом |
сепарабельном |
|||
1 ) |
в пространстве |
|||||||
гильбертовом |
пространстве Н (см. |
гл. |
IV, |
§ 1), всякая полная |
||||
ортогональная система элементов образует базис. Так, тригоно метрическая система функций образует базис в L2(—я, я).
Можно строить и неортогональные базисы в гильбертовом пространстве. Например, если {ег}— полная ортонормированная
система в гильбертовом пространстве |
Я, то система элементов |
|
k |
|
|
g k = 'ItP te i |
(6 = |
1,- 2 , . . . ) |
**=1 |
|
|
|
|
§ 6. ПРОСТРАНСТВА С БАЗИСОМ |
67 |
||
образует базис в Н, если числа pi удовлетворяют условиям |
|||||
|
|
|
П |
|
|
|
I Pi I > |
О, |
|
(п = 1, 2, |
...). |
Система функционалов, образующая с {^} |
биортогональную |
||||
систему, задается системой элементов из Я: |
|
||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
h = |
pk+\ e k+\- |
|
|
2) В |
координатных |
пространствах со и lp |
( р ^ 1) система |
||
|
k—1 |
|
|
|
|
ортовей = |
{0, |
О, 1, |
0, ...} |
образует базис. Эта же система |
|
в пространстве с не образует базиса и даже не является полной, так как элемент во = {1, 1, ...} не принадлежит замыканию ли нейной оболочки элементов ек [k= \, 2, ...). Система eo,ei, е% ...
образует уже базис в пространстве с.
3) В пространстве непрерывных функций С(0,1) можно по строить базис следующим образом: пусть {г*} (t = 0, 1, 2, ...) — плотная на [0, 1] последовательность чисел, причем г0 — 0, r± = 1,
ti Ф гj при i Ф j. |
Полагают e0(t)t=s\ |
и |
e\(t)— t. |
Далее |
ek(t) |
|||||
определяются-по индукции. Пусть для i < |
k функции ek(t) |
опре |
||||||||
делены и отрезок [0, 1] разбит точками |
гг........гк-х на k — 1 |
ин |
||||||||
тервалов. Пусть Гл принадлежит одному |
из |
этих |
интервалов: |
|||||||
rSt < r k < rS2, si < |
k, s2 < k. Тогда полагают: ek(rk) — \,e k(rSl) = |
|||||||||
= 0, |
ek(rSl) = 0, |
а |
на |
отрезках |
[0, rSl], |
[rSl,v rk], [rk, rs,} и [rS!, 1] |
||||
функцию ek(t) |
линейно интерполируют. Система |
{ek(t)} |
{k = |
|||||||
= 0 , |
1, 2, ....) образует базис в С(0, 1). |
|
|
|
|
|
||||
4) |
В пространствах Lp(0, 1) |
(р ^ 1) базис образует система |
||||||||
функций Хаара, определяемых так: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1, |
0 < f |
< 1/2, |
|
||
|
х И * ) - ! ; ; |
$>«)=■ |
- l , |
l / 2 < f . < l , |
|
|
||||
|
|
|
|
|
о, |
t = 1/2; |
|
|
||
2п'\
х<*>(0 = —2п/2,
2к2„+12 ^ t <
to |
|
/А |
to + 1 |
A |
2k — 1 |
|
|
2n+l |
• |
(fc = i, : |
2k |
|
|
2n+i |
’ |
|
|
0 для остальных значений t. |
|
||||
Функции yVpit) |
располагаются в |
простую |
последователь |
|||
ность |
(i = |
1, 2, |
...) в порядке |
возрастания номера п, а |
||
при одинаковом |
п |
в |
порядке возрастания k. |
Система (еД/)} |
||
68 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я
является ортогональной и образует базис в любом пространстве
Ы 0,1) (р > 1).
До сих пор не решена проблема Шаудера: каждое ли сепа рабельное пространство обладает базисом? Более того, не ясно, обладает ли такое пространство полной равномерно минималь ной системой.
Л и т е р а т у р а : [20], [25], [39], [60], [71], [75], [79].
3. Признаки базисов. В этом пункте всюду {ег} (*= 1,2,...) обозначает полную минимальную систему в банаховом про странстве £, а {/г} — сопряженную систему функционалов.
Для каждого х ^ Е определен ограниченный линейный опе ратор
п
Snx = 2 f{ (х)е{. 1=1
Оператор S n является проекционным оператором: S2n = Sn. Он проектирует все пространство на я-мерное пространство Ln,
натянутое на элементы ей • • •, еп.
Для того чтобы система {ei} образовывала базис, необхо димо и достаточно, чтобы операторы Sn были ограничены в со вокупности, т. е. чтобы выполнялось неравенство
II s n x II = 12 ft (X)et I < M \ \ x II (Xf= E),
где M — константа.
Если система {eг} не является базисом, то найдется такой элемент х, на котором ||Sn*ll ^ М при всех п = 1, 2, ..., но для которого ряд
2ft (х) е{
п—\
расходится. Если последний ряд сходится при любом х е £ , то система {е*}— базис. Более того, если этот ряд слабо сходится при любом х £, то система {е*} — базис. Последнее утвержде ние иногда формулируют так: всякий слабый базис является сильным базисом.
Если обозначить через Ln линейную замкнутую оболочку элементов еп, еп+и ..., а через оп — единичную сферу в подпро странстве Ln, то для того, чтобы система {е*} была базисом, не обходимо и достаточно, чтобы существовала положительная константа а такая, что
p(cr„, L ")> а,
где р — расстояние между оп и Ln, п = 1,2, ...
§ 6. ПРОСТРАНСТВА С БАЗИСОМ |
69 |
Если {ей — базис, то система <м является базисом в своей линейной замкнутой оболочке, которая может не совпадать с Е\ Если Е рефлексивно, то эта оболочка совпадает с £ ' и {fi} яв ляется базисом в Е'. Если {fi} — базис в сопряженном простран стве Е\ то {ei} — базис пространства Е.
Л и т е р а т у р а : [20], [25], [39], [60], [79]. |
|
|
|
|
|||
4. |
Безусловные базисы. Система |
{е*} называется безусловным |
|||||
базисом в пространстве £, если она остается базисом при любой |
|||||||
перестановке ее элементов. |
является |
следующее: |
базис |
||||
Эквивалентным |
определением |
||||||
{ } называется безусловным, если ряд |
|
|
|
|
|||
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
2 f t ( x ) f ( e t) |
|
|
|
|
|
|
|
£=1 |
|
|
|
|
|
абсолютно сходится для любых х е |
Е и f е Е'. |
|
|
||||
Для того чтобы базис был безусловным, необходимо и до |
|||||||
статочно, чтобы проекционные операторы вида |
|
|
|||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
S f » , (*) ещ |
|
|
|
|
|
при любых конечных наборах чисел (пи ..., |
щ) |
{п\фп$ при |
|||||
i ф /) |
были равномерно ограничены. |
единичную |
сферу |
в ли |
|||
Если обозначить |
через Snv пг |
пк |
|||||
нейной оболочке элементов базиса^, .. ., еПк, а через ЬПг |
Пк— |
||||||
замкнутую линейную оболочку всех остальных элементов бази са, то для безусловности базиса необходимо и достаточно, что бы существовала такая константа Р > 0, что
при всех конечных наборах (щ, . . . , nk).
Пусть U — линейный ограниченный оператор, действующий в пространстве Е и имеющий ограниченный обратный. Если си стема {вг} — базис, то и система {Uei} — базис. Если {ег} — без условный базис, то и {Uei} — безусловный базис.
В гильбертовом пространстве Н всякий ортогональный базис является безусловным. Оказывается, что любой безусловный
базис |
в гильбертовом пространстве может быть представлен |
в виде |
{Ue'i}t где { ^ — ортогональный нормированный базис. |
Такие базисы были названы базисами Рисса. Их можно оха рактеризовать следующими свойствами: существуют положи тельные числа т и М такие, что для любого х е Я
оо оо
m 2 |(*. е,)|2< |и |р < м 2 |( * , ей?.
70 |
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я |
|
|
|
Системы ортов в |
пространствах с0 и lp (р ^ |
1) являются |
без |
|
условными базисами. Система функций Хаара |
(см. п. |
2) |
обра |
|
зует безусловный |
базис во всех пространствах |
Ьр (0, 1) |
с р > 1. |
|
В пространствах С[0, 1] и Ь[0, 1] не существует безусловного
базиса. |
система |
функций является |
базисом |
Тригонометрическая |
|||
в пространствах Lp(—я, я) {р > |
1), но не безусловным. |
||
Неизвестно, в каждом |
ли банаховом пространстве |
есть бес |
|
конечномерное подпространство с безусловным базисом. Банаховы пространства с безусловным базисом обладают
рядом специфических свойств. Например, такое пространство либо рефлексивно, либо содержит подпространство, изоморфное h или Со.
Если система {cj — безусловный базис в £ , то сопряженная система функционалов {fi} при условии сепарабельности про-, странства Е' будет безусловным базисом в Е'.
Два базиса |с'} и (с''} в пространствах Et и Е2 называются эквивалентными, если соответствие
,ц |
ел _ |
(k = |
\ 2 |
) |
К 1 |
(й |
1 , 2 , . . . ) |
||
может быть продолжено до |
изоморфизма |
между £ i и Е 2. |
||
В каждом из пространств 4, h и с0 и (с точностью до изомор физма) только в них все безусловные базисы эквивалентны.
Лите ра тура : [20], [25], [71], [79].
5. Устойчивость базиса. Пусть система {ег} образует |
базис |
в пространстве Е. Если {Ы} — некоторая система элементов |
из £, |
то ставится вопрос о том, при каких условиях система {ег- + hi)
будет |
также базисом |
в Е. Если {е{} — базис (безусловный |
ба |
||
зис) и элементы hi «достаточно малы» в том смысле, что |
|
||||
|
|
i=\ |
|
|
|
то система {ег-'+ hi) |
образует |
базис (безусловный |
базис) в |
Е. |
|
Из |
последнего утверждения |
вытекает важное |
с л е д с т в и е : |
||
если пространство Е обладает каким-то базисом (безусловным базисом) и {ф/ J — полная в Е система элементов, то в Е суще
ствует базис (безусловный базис) вида
= 2 cf% .
йг=1
Например, .в пространстве С(0, 1) существует базис из сте пенных многочленов.
Лите ра тура : [71], [79].