76 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
При таком определении производных каждая обобщенная функ ция бесконечно дифференцируема и
|
|
|
Т(ч)(u) = (—I)1 |
2" (м(<7)). |
|
||
В частности, всякая локально интегрируемая функция имеет |
|||||||
обобщенные производные всех порядков. |
(У(5) = 1 при |
||||||
Пример . |
При |
п = |
1 |
функция |
Хевисайда |
||
5 ^ 0 |
и У(5) = 0 |
при |
s < |
0) как |
обобщенная |
функция имеет |
|
производную |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y' (и) = |
| и' (s) ds = |
u (0) = 60 (и) |
|
||
|
|
|
|
о |
|
|
|
ИЛИ |
y ' ( s ) = |
60( s ) . |
|
|
|
|
|
Для кусочно гладкой функции одной переменной, имеющей разрывы первого рода в точках s<ft) (k== I, N) со скачками hh, аналогично получается формула
Существенно, что операторы дифференцирования являются непрерывными относительно введенной сходимости обобщенных функций.
Произведение обобщенной функции на бесконечно дифферен цируемую функцию ф(5) определяется естественным образом:
ФТ {и) = Т (фа);
при этом учтено, что фмеО( й) , если
Обобщенная функция Т равна нулю в подобласти Qt cz Q, если Т (и) = 0 для всякой функции и с носителем в Q4. Носите лем обобщенной функции называется наименьшее из замкнутых в Q множеств, вне которых она равна нулю. Обобщенная функ ция называется финитной, если ее носитель компактен в £2. Мно жество финитных обобщенных функций допускает простое опи сание: каждая финитная обобщенная функция представима в виде конечной суммы обообщенных производных от непрерыв ных в £2 функций (с компактным носителем) .
Теория обобщенных функций позволила создать мощный аналитический аппарат, являющийся расширением аппарата классического анализа. Одной из важных составных частей это го аппарата является преобразование Фурье.
Л и т е р а т у р а : [12], [13], [27], [60], [67], [99], [111], [112].
4. Преобразование Фурье. Пусть функция u(s) определена во всем пространстве Rn и принадлежит пространству S(Rn). Ее
§ 1.' ПРОСТРАНСТВА |
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ |
77 |
преобразованием Фурье называется функция |
|
|
й ® = "(2nfV |
I е~‘ а' S)U^ ds = F (“)’ |
|
где l = (ii, .... In).
Преобразование Фурье осуществляет линейное взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение пространства S(Rn) на себя. Обратное отображение определяется сходной
формулой |
|
|
д (s) = |
J* <S 5>У |
dl = F~' |
|
Rn |
|
Справедливо равенство Парсеваля |
|
|
J |
И (s)v (s) ds = J й (i) V (|) d% |
|
Rn |
Rn |
|
или |
|
|
J |
и (s) o(5)d s = \ n |
(I) з Ц )d%. |
Rn
Пространство D(Rn) плотно вложено в пространство S(Rn), поэтому существует естественное вложение сопряженных про странств S'(Rn)cz D'(Rn)y т. е. всякий непрерывный линейный функционал на S(Rn) однозначно определяется некоторой обоб щенной функцией, которая называется медленно растущей. При мерами регулярных медленно растущих обобщенных функций могут служить функции из C°°(Rn), у которых все производные имеют не выше чем степенной рост на бесконечности, или функ ции из пространств Lp(Rn) (р ^ 1).
Равенство Парсеваля можно рассматривать как равенство двух линейных непрерывных функционалов (от и) на S(/?n). Это приводит к следующему обобщению преобразования Фурье (Л. Шварц) : преобразованием Фурье от медленно растущей обобщенной функции Т называется медленно растущая обоб щенная функция, определяемая равенством
?(ы) = Г(й).
Это преобразование будет линейно и взаимно однозначно отображать пространство S'(Rn) на себя.
Пример . Пусть обобщенная функция Ti порождена функ цией f = 1; тогда
6,(»)- ш - й(0) = ^ 5 JU«M|= |
г, («). |
Rn
78 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Формула обращения приводит к равенству 7\ = (2я)п/2бо. |
||
Для обобщенных производных справедливы формулы |
||
дТ |
. ^ |
дТ |
~ ^ = i s , T |
или ts,T — - щ . |
|
Дальнейшее расширение понятия преобразования Фурье проводится по следующей общей схеме (И. М. Гельфанд, Г. Е. 111илов). Рассматривается линейное топологическое про странство Е, плотно вложенное в пространство S(/?n). Для функ ций этого пространства определено преобразование Фурье F, которое отображает пространство Е взаимно однозначно на ли нейное многообразие E c z S (R n). Отображение F индуцирует на Е топологию: окрестностями в ё называются образы окрестно стей из Е. Сопряженное пространство S'(Rn) естественно вкла
дывается в пространство Е'. Для |
каждого функционала Ф е £ ' |
определяется его преобразование Фурье Ф по формуле |
|
Ф(и) = Ф(б) |
(v ^ E ) . |
Прямое преобразование Фурье, так же как и обратное, ото бражает Е на £, если предположить, что Е с каждой функцией u(s) содержит функцию и(— s).
Таким образом, преобразование Фурье от линейного непре рывного функционала на Е есть линейный непрерывный функ ционал на ё . Оператор преобразования Фурье Е' — является сопряженным к оператору преобразования Фурье Ё-+Е.
Применение изложенной схемы позволяет ввести понятие преобразования Фурье для любой обобщенной функции. В слу чае, когда E = D(Rn) t многообразие Е допускает точное описа ние: оно состоит из всех функций y(s) из S(/?n), которые могут быть аналитически продолжены до целых функций экспоненци ального типа, обладающих тем свойством, что
I zpv (z) | < Сеа1*1, z = s + itу
где постоянные С и а зависят от функции v и показателя р. Пространство таких функций, наделенное соответствующей то пологией, обозначают через Z. В этой топологии последователь ность функций vh(z) сходится к нулю, если она сходится к нулю равномерно на каждом компактном множестве и если суще ствуют такие константы Ср и а > 0, что
I zpvk (z) | < ~СреаI11 (z = s + It)
для всех значений k. Преобразование Фурье от любой обобщен ной функции Т определяется теперь как линейный непрерывный функционал на пространстве Z по формуле
f{v) = T(v) |
(oeZ) . |
§ 1. |
ПРОСТРАНСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ |
79 |
Пр и ме р . |
Для локально суммируемой функции ebs, которая |
|
не является медленно растущей,
ebs — ]/2я б0 (s + ib) = Y 2п 6-ib (s).
Этот пример иллюстрирует тот факт, что преобразование Фурье дает функционал, который уже не может быть вычислен для всех функций из S(Rn), а лишь для тех функций, которые допускают аналитическое продолжение в комплексную плос кость.
Л и т е р а т у р а : [13], [27], [60], [67], [68], [111].
5. Банаховы пространства обобщенных дифференцируемых функций. Теоремы вложения. Сначала рассматриваются функ ции, определенные во всем пространстве Rn-
1) |
П р о с т р а н с т в а |
С. Л. С о б о л е в а Wlp. |
Для |
целого I |
|||||
пространство Wlp {Rn) = |
Wlp (1</?<оо) |
состоит из |
всех |
функ |
|||||
ций H (S ) с |
суммируемой р-й степенью вместе со своими произ |
||||||||
водными до порядка I. В нем вводится норма |
|
|
|||||||
|
|
Ци||*=( |
2 |
И«(Ч |
У/р. |
|
|
||
|
|
|
\\q\< t |
LP) |
|
|
|||
где производные понимаются |
в смысле обобщенных функций |
||||||||
на Rn. Для |
0 < / < 1 пространство |
Wlp состоит из тех функций |
|||||||
и е Lpy для |
которых конечна |
величина |
|
|
|
||||
|
|
+ 1 |
/■ |
и(х) — и (у) \Р dxdy. |
|
|
|||
|
|
\х-у \n+pl |
|
|
|||||
Норма равна корню р - й степени из этой величины. Пусть теперь /> I и / = [/] + Я (0 ^ Л < 1 ). Пространство w \ состоит из тех функций и е W[p> у которых все производные порядка [/] принадлежат пространству W^. Норма вводится по формуле
ll«IU=(ll«Cm+ 2 И««ЧМ1/р.
р \ |
р |
U N 1 |
р ) |
Наконец, при /< 0 по определению полагают
w lP = (w;>У, \ /р + \/Р' = \.
2)П р о с т р а н с т в а Н1Р (бесселевы потенциалы). Простран
ство Hlp(Rn) = Н1Р (— оо</<оо; р>1) состоит из |
всех мед- |
ленно растущих обобщенных функций из S'(Rn)y для |
которых |
где F — преобразование Фурье. Норма вводится по формуле
п Р |
р |
80 |
|
ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При 1 = 0 пространство |
H°P= LP. Пространство |
НР1 можно |
|||||
отождествить с сопряженным к пространству Н1Р' в смысле |
||||||||
обычного скалярного произведения. |
|
|
|
|
||||
3) |
П р о с т р а н с т в а |
О. В. Б е с о в а В р . |
Пространство В1Р |
|||||
для |
нецелых / > |
0 совпадает с пространством |
Wp• |
Для |
целых |
|||
/^5 |
1, р > 1 оно |
состоит из тех функций « G |
|
для |
|
кото |
||
рых конечна величина |
|
|
|
|
|
|||
\u\it = |
IUH; , - I + |
s |
и(<?>(х) — 2и(<7) ((x+y)/2)+uiq)(у) \р |
dx dy. |
||||
\х — у Iп+р |
|
|
|
|||||
|
|
|
H N V „ |
|
|
|
|
|
Для |
/ < 0 полагают Вр = {ВР'1)'. При 1 = 0 пространство Вр |
|||||||
не |
совпадает с пространством Ьр и определяется |
косвенным |
||||||
путем через интерполяцию |
(см. гл. III, § 4, п. 6). |
|
|
|
||||
Пространства Wlp, Н1Р и В1Р играют важную роль в теории уравнений в частных производных. Все эти пространства реф лексивны. Пространство финитных функций D(R„) плотно вло жено в каждое из этих пространств. Для р = 2 они совпадают при всех I:
W \ = H \ = в \.
Для целых I совпадают пространства |
Wlp и Нр, для нецелых I |
||||
и р ф 2 они различны. По определению |
Wlp = В1Р при нецелых |
||||
/, при целых / и р ф 2 они различны. |
|
|
|||
Для любого I справедливы вложения |
|
||||
|
Н!р+е сг Wlp с: Н1р~г |
(е > 0). |
|||
Для любого I и 1 < р ^ |
2 |
|
|
|
|
|
В1Рс |
Нр и |
Blp a |
Wlp; |
|
при р ^ |
2 справедливы обратные вложения. |
||||
Пусть |
Q — открытая |
область |
в /?п, |
граница которой Г яв |
|
ляется ориентируемым бесконечно дифференцируемым многооб разием размерности п — 1, относительно которого £2 находится локально по одну сторону. При / > 0 для определения про странств
IFp(Q) (Hlp(Q), В‘р(Q)) применяется следующая схема. В пространстве
W lP { R n) {н1р( R n)y В[ ( R n))