§ 6. ПРОСТРАНСТВА С БАЗИСОМ |
п |
6. Базисы суммирования. Для ряда конкретных пространств неизвестно, есть ли в них базисы (например, в пространстве A(D)). Базисы, построенные в важных для приложений про странствах, не всегда хорошо приспособлены к решению раз личных задач. В связи с этим возникло обобщение понятия базиса, так называемые Т-базисы или базисы суммирования.
Пусть {^/}Г |
матрица регулярного метода суммирования*). |
|
Система |
{ек}™ |
называется базисом суммирования для данного |
метода, |
если каждому элементу ^ е £ отвечает единственный |
|
ряд |
|
оо |
|
|
|
|
|
* ~ |
суммируемый этим методом к х.
Тригонометрическая система в пространстве СР(— я, я) всех непрерывных периодических на [— я, я] функций (с нормой про
странства С(— я, |
я ) ) — базис суммирования |
для методов |
Че- |
|
заро и Абеля. |
суммирования — полная |
минимальная |
(не |
|
•Каждый |
базис |
|||
обязательно |
равномерно) система с тотальной сопряженной си |
|||
стемой. Обратное не верно.
Л и т е р а т у р а : [69], [71], [75]* [76].
*) Метод суммирования называется регулярным, если он суммирует вся кий сходящийся числовой ряд к его сумме.
Г Л А В А II
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§1. Пространства дифференцируемых функций
1.Обозначения. В этом параграфе будут применяться сле дующие сокращенные обозначения:
1) s = (si, .... |
5„) — точка |
пространства Rn; |
|||
2) |
| s | = K s ? + |
••• |
+ %'• |
|
|
3) |
q = (qu •... |
qn)> |
qk — целые, qk> 0 ; |
||
4) |
I q I = q\ + • • • + |
qn\ |
|
|
|
5) |
q\ = q x\ .. . |
qn\\ |
|
|
|
6) |
sq — sq' ... |
snn;q |
(s, |
= |
... + s„|„; |
7) |
tt (s) — и (sj, |
• • •» |
|
|
|
8) |
dq'+1•+<?,”«(gi. |
S/г) |
|||
««7)1s | = - |
dsg{1 |
dsl |
|
||
|
|
|
|||
В этих обозначениях, например, ряд Тейлора для функции многих переменных пишется так же, как и для функций одной переменной:
/ , ,ч |
v i |
uiq)(s )h q |
u(s + h )= |
2и |
-----J i — ' |
|
I?|=о |
|
Кроме того, n-кратный интеграл по области £2 будет записы ваться как
| и (s) ds — J . . . и (sj,J .... sn) dsi2 |
dsn |
2. Пространства бесконечно дифференцируемых функций.
Естественные топологии, возникающие в пространствах беско нечно дифференцируемых функций, как правило, являются ненормируемыми.
§ 1. ПРОСТРАНСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ |
73 |
Простейшим примером служит 1) П р о с т р а н с т в о С°°(0, 1) всех бесконечно дифференци
руемых функций на отрезке [0, 1]. Локально выпуклую тополо гию обычно вводят с помощью системы норм
P r ( u ) = sup |
2 l « (ft)(s)l |
(r = 0, 1, ... )• |
0<s<l |
k=0 |
|
Сходимость в соответствующей топологии означает равно мерную сходимость вместе со всеми производными. Простран
ство |
С°°(0, 1) полно, метризуемо, т. е. является пространством |
Фреше. Оно ядерно и, следовательно, ненормируемо. |
|
2) |
П р о с т р а н с т в о С°°(£2) всех бесконечно дифференци |
руемых |
функций в открытом множестве £2 |
пространства R n. |
|
Пусть |
Кп — возрастающая |
последовательность ограниченных |
|
|
|
оо |
|
замкнутых множеств такая, |
что Q = |
В пространстве |
|
С°°(й) |
|
П=1 „ |
|
вводится система полунорм |
|
||
Г
P r ( u ) = sup 2 |w(<|,)(s)l ss/cr I q 1=0
{ г — 0, 1 , . . . )
и по ней локально выпуклая топология, относительно которой С°°(£2) будет ядерным пространством Фреше. Сходимость в этом пространстве означает равномерную сходимость вместе со
всеми производными на |
каждом |
компактном множестве в £2. |
3) П р о с т р а н с т в о |
S (Rn) |
всех бесконечно дифференци |
руемых функций, быстро убывающих на бесконечности. При этом функция u(s), по определению, быстро убывает на беско нечности, если
sup | 5 П u{q){s) |< оо
для всевозможных целочисленных неотрицательных векторов р и q. Пример такой функции дает е~\s|2. Топологию в S(R n) можно ввести с помощью системы полунорм
M « ) = sup ( 1 + 1 |
s p y |
2 |
\ u M ( s ) \ |
(г = |
0, 1. 2, . . . ) . |
|
s^Rn |
|
I <71=0 |
|
|
|
|
Пространство S(R n) |
является |
ядерным |
пространством |
Фреше. |
||
4) П р о с т р а н с т в о |
D(£2). Носителем |
(supp и) |
функции |
|||
u(s)> заданной в £2, называется наименьшее замкнутое в £2 мно жество, вне которого функция u(s) равна нулю. Бесконечно дифференцируемая функция называется финитной в £2, если ее
носитель компактен. Простейшим примером финитной в Rn
74 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
функции с носителем в шаре радиуса а является функция
( |
ехр ( | 5 |2 — а2)” 1 |
при |
| 5 | < а, |
U S ~ { |
0 |
при |
| s |^ а . |
Умножая эту функцию на любую бесконечно дифференцируе мую функцию, можно получить более сложные примеры. Финит ные функции образуют линейное многообразие в пространстве
С°°(£2), которое обозначается Со° (£2).
Пусть К — компактное множество в £2 и DK— совокупность всех финитных функций, носители которых содержатся в К. DK является локально выпуклым пространством относительно топо логии, порожденной системой норм
г
Дг.г(“) = sup |
2 l«(?)(s)l |
( r = 1, 2, . . . ) . |
se=K |
| q (=0 |
|
Если /Ci zo /С, TO Z)/c, ZD DK и исходная топология в простран стве DK совпадает с той, которую индуцирует в нем топология
пространства DКх. Таким образом, множество Со° (£2) является объединением локально выпуклых пространств DK> топологии которых согласованы указанным выше образом. В такое объ единение пространств можно ввести топологию так называемого индуктивного предела. Фундаментальная система окрестностей нуля строится из всех абсолютно выпуклых поглощающих мно жеств, которые в пересечении с каждым из составляющих про
странств дают в нем окрестности. Линейная система Со (£2) после введения в нее топологии индуктивного предела превра щается в локально выпуклое неметризуемое линейное топологи
ческое пространство D(Q). Сходимость |
последовательности |
|||||||
wn e f l ( l 2) |
к M0G D(Q) означает, |
что |
носители |
всех |
функций |
|||
Uk(s) |
(k = |
0, |
1, ...) содержатся |
в одном |
компактном |
множе |
||
стве К и un (s) |
вместе со всеми производными сходятся к U Q ( S ) |
|||||||
равномерно |
на |
/С. Пространство D(Q) |
бочечно и ядерно. Каж |
|||||
дый |
линейный |
ограниченный оператор |
в |
D(Q) |
(переводящий |
|||
ограниченные |
множества, в ограниченные) |
непрерывен. Всякое |
||||||
линейное непрерывное отображение D(£2) на себя открыто.
Л и т е р а т у р а : [13], [27], [47], [51], [60], [67], [107], [108].
3. Обобщенные функции. В дальнейшем функции из £>(£2) называются основными. Обобщенной функцией или распреде лением Л. Шварца называется всякий линейный непрерывный функционал Т на D(£2). Число Т(и) называется значением обоб щенной функции Т на основной функции и. Линейный функцио
нал Т(и), заданный на линейной системе Со° (£2), будет порож дать обобщенную функцию тогда и только тогда, когда для
§ 1. ПРОСТРАНСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ |
75 |
каждого компактного множества К cz £2 найдутся число г и кон станта С такие, что
\T ( u ) \^ C p Ktr(u) = Csup |
S |
|tt<«(s)| |
s^K |
I <71=0 |
|
для любой функции ИЗ DK- |
|
(т. е. суммируемая |
Пусть f(s) — локально суммируемая в £2 |
||
на каждом компактном множестве К а £2) |
функция. Тогда она |
|
порождает обобщенную функцию по формуле |
||
Tt (u)= J f(s)u(s)ds. |
|
|
Локально суммируемым функциям, отличающимся на мно жестве положительной меры, отвечают различные обобщенные функции. Таким образом, множество локально суммируемых функций вкладывается во множество обобщенных функций. Обобщенная функция, порожденная локально суммируемой функцией, называется регулярной.
Всякая борелевская a-конечная мера на £2 также порождает некоторую обобщенную функцию
т» (ы) == J и (s) d\i. Q
В частности, когда единичная мера сосредоточена в точке S0G Q, то получается так называемая 6-функция Дирака:
M « ) = « ( sо)-
Иногда значения обобщенной функции записывают условно также в виде интеграла. Например,
$*,(“) — / бS„{s)u(s)ds.
а
Над обобщенными функциями вводятся действия (сложения и умножения на числа), как над функционалами из сопряжен ного к D(Q) пространства Z)'(Q).
Последовательность обобщенных функций Тп называется
сходящейся к обобщенной |
функции |
Т, если |
Нш Тп (и) — Т (и) |
для любой основной функции н е £ > ( Q). |
П->оо |
||
|
|||
Функционал — |
является |
линейным |
и непрерывным |
на D{Q), поэтому он порождает обобщенную функцию, которая называется обобщенной производной по Si от обобщенной функ ции и. Таким образом, по определению
дТ |
ди |