§ 1. ПРОСТРАНСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ |
81 |
рассматривается подпространство всех функций, аннулирую щихся в области £2, и пространством
Wlp (Q) (Hlp(Q), в£(0))
называется фактор-пространство пространства Wlp(Hlp, В1Р) по этому подпространству. На языке обычного анализа это озна чает, что пространство
Wlp(Q) (Hlp(Q), В!р(®)) (1> 0)
состоит из всех тех функций u(s), определенных в £2, которые допускают продолжение на все пространство Rn до функций
u(s)<=Wlp(Hlp, В1р)
и
|ы |Ц (а) = т !||Г /|Ц Л ) ,
где infimum берется по всевозможным продолжениям и. Однако для приложений удобно иметь явные формулы для вычисления
норм функций. Эквивалентные нормы в пространствах Wp(Q) и В1Р(Q) (I > о) вычисляются по тем же формулам, что и в про
странствах w p (Rn) и Blp (Rn) с заменой области интегрирования Rn на область Q. В случае ограниченной области Q простран
ства Wlp (Q) и Bp (Q) могут быть определены как пополнение по соответствующей норме множества С°°(£2) бесконечно диф ференцируемых функций в й.
Для введения пространств с отрицательными I имеются раз
ные возможности. Сопряженное пространство к |
|
Wlp(Q) (Hlp (Q), В1Р(Q)) |
|
изометрично подпространству пространства Гр'(Яр'', В |
со- |
стоящему из всех элементов, которые как обобщенные функции в Rn имеют носители в £2. Эти элементы, вообще говоря, могут не быть обобщенными функциями в £2 (например, они могут быть мерами, сосредоточенными на границе области). Для ряда задач удобно, чтобы пространства с отрицательными / состояли только из обобщенных функций в £2. В связи с этим замыкание
множества |
Со° (£2) финитных в £2 функций в норме пространства |
|
обозначают |
Wlp(Q) (Hlp(Q), BlP(Q)) (/>0) |
|
Wlp(Q) (Н1Р(Q), ВЦО)) |
||
ц полагают |
||
|
||
Гр"' (Q) = |
(W‘p' (0)У« Яр"' (Q) = (Я^О)У, в ; 1(Q) = Ф 1Р. (Q))'. |
82 |
ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
|
При таком определении все пространства с отрицательными I |
||
вложены |
в D'(Q). При 0 ^.1 < 1 /р пространство |
D (Q) плотно |
вложено в пространства Wlp(Q), Нр(0) и Blp(Q), и поэтому |
||
W1P(Q) = W1P {QL), /%(Й) = Я£(Й). и Bp(Q) = |
Bp(Q). |
|
а значит, и Wpl {Q) = {Wlp>(Q)/ и т. п.
Операторы дифференцирования |
д и |
являются линеиными |
|
dst |
|
непрерывными операторами из пространств Wlp(Q), HP(Q), Blp(Q)
|
л- 1, |
соответственно в пространства W1^ 1(Q), Нр 1(Q), В^Чй), кроме |
|
того случая, когда 1— \/р. Если Q = |
то последнее ограни |
чение* не нужно. |
|
На границе Г области Q можно также рассмотреть про |
|
странства функций Wlp(T), Яр (Г), Вр(Г). |
Многообразие Г по |
крывается системой окрестностей, диффеоморфных (п — ^-мер ному шару. Требуется, чтобы функции в каждой окрестности в соответствующей системе координат принадлежали определен ным выше пространствам (более точное описание здесь не при водится).
В теории |
граничных задач весьма важное значение имеет |
||
следующая теорема. |
|
Пусть функция |
|
Т е о р е м а |
о с л е д а х . |
||
u(s)e=WlP(Q) |
(Н1Р{Q), В‘р(Q)) и 1>1/р. |
||
Оператор уо> |
ставящий |
в |
соответствие каждой гладкой функ |
ции u(s) в области Q ее след ф(сг) на границе Г (т. е. <р(а) = и(а) («г е Г)), по непрерывности может быть расширен до линейного непрерывного оператора, отображающего все пространство
IFp(Q) (Н1Р(Q), Вр(Q)) на пространство Вр-1/р(Г). При этом для
каждой ф е Вр~1/р (Г) |
найдется |
|
|
||
|
u<=Wlp(Q) |
(Hlp(Q), Blp(Q)) |
|
||
такая, что у0ы = |
ф и |
|
|
|
|
Ч и К 1р (£2) (н 1р (Q), |
Blp (£2)) |
( Q ) > |
|
||
где С не зависит от ф. |
|
|
|
||
Аналогично для гладких |
в Й функций можно |
рассмотреть |
|||
а |
|
нормальных |
производных на |
т-| |
|
операторы djU = -^-j |
границе Г. |
||||
Если l — j> l/p , |
то |
оператор у/ |
может быть также расширен |
||
по непрерывности на все пространство Wlp(й) (Hlp (й), Blp(й)) д будет после этого отображать его на пространство Вр-/-1/Р(Г).
§ 2. ПРОСТРАНСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
83 |
При этом можно снова установить неравенство, аналогичное предыдущему.
Если |
число |
I—1/р>О— нецелое, то пространство WP(Q) |
||
(Нр (£2), |
Blp(£2)) |
состоит |
из |
всех функций, для которых и = |
_ |
_ |
d ll~ llp]u _ |
Q |
на г |
dv |
’ “ |
d v ll~ llp] |
|
|
Детально изучены взаимные связи между пространствами
Wlp (£2) при различных I и р. Соответствующие утверждения но сят название теорем вложения. В дальнейшем предполагается, что область £2 ограничена. Размерностью нормы в простран
ствах Wlp (£2) называется число х = п/р — I. Пусть pi ^ р, если при этом xi ^ х, то пространство W'p(£2) вложено в пространство Wp^Q). В случае, когда xi > х, вложение компактно. Анало гичные утверждения справедливы й- для пространств Hlp(£2) и
Bp (£2). Если размерность х < 0, то пространство Wlp (О) вло жено в пространство Cft(£2), где k = [— х], если х —дробное, и k = [— х]— 1,-если х — целое. Более того, производные порядка
k от любой функции из Wlp(Q) удовлетворяют условию Гельдера порядка а = — х — k.
Перечисленные утверждения доказаны для областей, обла дающих свойством конуса: каждой точки границы Г можно кос нуться вершиной фиксированного кругового конуса, лежащего целиком в £2.
Пусть G — гладкое многообразие размерности т<С.п, лежа
щее в £2. Тогда оператор уо взятия следа на |
G отображает при |
|||||
q ^ |
р, k > 0 |
их' = - — |
пространство Wlp(£2) в простран- |
|||
ство |
k |
за |
^ |
того |
случая, |
когда k — целое и |
Wq(G), |
исключением |
|||||
р = |
q > 2. Для |
пространств |
В1Р(£2) |
утверждение будет верно |
||
без этого исключения. |
|
|
|
|||
Л и т е р а т у р а : [27], [53], [102], [104], [106].
§2. Пространства аналитических функций
1.Пространства функций, аналитических в области. Все функции /(£), аналитические в области О расширенной ком
плексной плоскости С, образуют линейную систему Н ( О ) . Пусть К п — возрастающая последовательность бесконечных замкнутых множеств в О такая, что любое замкнутое множество из О со держится в одном из К п - По каждому К п вводится норма
p K n (f) — max |/(С) [.
S e /C „
84 |
ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ |
ПРОСТРАНСТВА |
|
Последовательность норм pKn{f) |
определяет в Я (О) локаль |
но выпуклую метризуемую топологию. Сходимость в этой топо логии означает равномерную сходимость на каждом компакт ном множестве из О. В силу классических теорем Вейерштрасса пространство Н (0 ) хполно и, значит, является пространством Фреше. Пространство Я(О) ядерно и, следовательно, ненормируемо.
Если O i d 0 2, то сужение всякой функции из Н (0 2) на 0\ дает естественное вложение пространства Я (0 2) в пространство
H(Oi).
Через Л (О) обозначалось (гл. I, § 2) банахово пространство всех функций, аналитических в области О и непрерывных в за
мыкании |
О, с нормой ||f || = max |f (Б) |. |
Пространство Л (О) |
|
£ е о |
|
вложено в пространство Я(О). |
компактно вложено в |
|
Если |
Oi с= 0 2, то пространство Л (02) |
|
пространство Л (О±). |
|
|
Если О содержит точку оо, то через Я0(О) (Л0(О)) обозна |
||
чается подпространство всех функций из |
Я (О) (Л (О)), обра |
|
щающихся в нуль в этой точке.
Л и т е р а т у р а : [19], [110]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
Пространства |
локально |
аналитических |
функций. |
Пусть |
|||||||
5 — бесконечное замкнутое множество в С, а |
Оп — убывающая |
|||||||||||
последовательность |
открытых |
множеств |
в |
С такая, |
что |
|||||||
On+i cz Оп, |
Оп ZD 5 |
(п = 1 , |
2, .. .J, и |
для любого |
открытого |
|||||||
множества |
О =э S при некотором п Оп d О. Локально |
аналити |
||||||||||
ческой функцией на S называется последовательность функций |
||||||||||||
fn ^A (O n ) |
(п ^5 N) |
такая, |
что |
fn(£)=fm(£) |
при |
m > |
п и |
|||||
Б е От. Совокупность |
всех |
локально |
аналитических |
фуцкций |
||||||||
обозначается через Н (S). |
|
|
|
последовательность |
||||||||
Каждая |
функция |
из A(On) порождает |
||||||||||
своих |
сужений на множества Оп при |
|
N и, |
следовательно, |
||||||||
локально аналитическую функцию. Таким образом определяют ся отображения пространств Л(О^) в H (S)t причем образы всех
Л (0N) |
(N— 1, 2, ...) покрывают все H(S). Это |
позволяет |
вве |
|||
сти в |
H(S) топологию индуктивного |
предела. Получаемое |
ло |
|||
кально |
выпуклое |
пространство Я (S) |
бочечно и |
неметризуемо. |
||
Если 5 содержит оо, то пространство Я0(5) |
есть индуктив |
|||||
ный предел пространств Л0(О^). |
|
|
|
|
||
Существует простое описание всех непрерывных линейных |
||||||
функционалов на |
пространстве Я (О). |
Пусть |
S = C \ 0 |
и |
||
O O E S. |
Всякий непрерывный линейный функционал CD(f) на |
|||||
Я (О) |
однозначно |
определяет некоторую |
локально аналитиче |
|||
скую функцию g(pd//o(S). При этом, если gN — одна из функ
|
§ 2. ПРОСТРАНСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
85 |
ций |
последовательности, порождающей g<p, аналитическая |
в |
ON |
S, то значение функционала Ф(/) вычисляется по формуле |
|
ф № = Ш гI f ^ g N № d z '
где кусочно гладкий контур Г лежит в О П 0 N. Обратно, всякая локально аналитическая функция из # o (S ) порождает по приве денной формуле линейный непрерывный функционал на # (0 ) .
Для построения £ф функционал Ф расширяется - до функ ционала Ф на некотором пространстве Л ( 0 \ 0 # ) и полагают
* » И - « ( т г т ) -
Последовательность gjv(z) порождает локально аналитическую
Ф У Н К Ц И Ю g<j>.
Аналогичным образом описываются непрерывные линейные функционалы на пространстве Я (5).
Л и т е р а т у р а : [110].
3.Пространства Н р . В этом пункте будут рассматриваться банаховы пространства функций, регулярных в единичном круге
D. Через Нр обозначается совокупность всех таких функций,
для которых
2я
sup f \f(reiQ)\pdQ<oo.
0 < г < 1
Через Н°° обозначается совокупность всех регулярных и ограниченных в D функций.
Величина
2я чUP
II fit |
sup |
|
|
|
0 < r < 1 |
, о |
> |
|
|
при р ^ 1 обладает свойствами нормы. Пространство Нр отно сительно этой нормы является банаховым. Если 0 < р < 1, то величина (Ilf — g\\p)p обладает свойствами метрики и Нр пре вращается в полное метрическое пространство. Пространство Я°° — банахово относительно нормы
II f L = sup |/(С)|.
В дальнейшем через Lp обозначается пространство функ ций на единичной окружности, суммируемых с р-й степенью,