|
§ 3. ПРОСТРАНСТВА ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ |
91 |
3. |
Идеальные пространства. В общей теории нормированных |
|
пространств измеримых функций обычно предполагается выпол
ненной следующая аксиома: из |*(/)| <]*/(/) |, где |
у — функ |
|||
ция из £, |
а х — измеримая |
функция, |
вытекает, что х |
также яв |
ляется функцией из Е, причем \\х\\Е ^ |
\\у \\е . Такие пространства |
|||
называют |
предидеальными |
(или нормированными |
структура |
|
ми). Каждое предидеальное пространство вложено в простран ство измеримых функций непрерывно: из сходимости по норме этого пространства вытекает сходимость по мере.
Говорят, что норма в предидеальном пространстве обладает
свойством Рисса— Фишера, если из неравенства
оо
II %пlie < °°>
/2=1
где хп — неотрицательные функции из Я, вытекает, что функция
оо
х = ^ х п принадлежит Е. Свойство Рисса — Фишера эквива- /2=1
лентно полноте пространства. Полные предидеальные простран ства называются идеальными (или иначе, банаховыми структу рами:, банаховыми решетками, функциональными структурами).
Существуют такие предидеальные пространства, пополнение которых не изоморфно никакому идеальному пространству. Тем не менее, для каждого предидеального пространства можно
указать минимальное идеальное |
пространство Ё (насыщение |
Е), в которое Е непрерывно вложено и, более того, |
|
1И1£<1И1£ |
(* е £ ) . |
Именно, пространство Е — это совокупность функций, для которых имеет смысл и конечна норма
11*11*= inf 2 И * Л . /2=1
Здесь infimum берется по всем последовательностям неотрица-
оо |
|
|
тельных функций хп из Е, для которых 2 |
хп = \х\. |
Эквива- |
/2=1 |
^ |
|
лентность норм ||x||£ и \\х\\% означает, что |
пополнение |
Е про |
странства Е отождествляется с идеальным пространством. Говорят, что норма в предидеальном пространстве обладает
свойством Фату, если из сходимости почти всюду ограниченной последовательности функций хп из Е к функции х вытекает, что
х<=Е и
92 |
ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
Свойство Рисса — Фишера является следствием свойства Фату; обратное неверно. Предидеальное пространство Е называется совершенным, если норма в нем обладает свойством Фату. Каж дое совершенное пространство полно.
Пусть Е — предидеальное пространство. Через Е обозна чается пространство всех измеримых на й функций, для кото рых имеет смысл и конечна норма
II* Ilf = inf lim|| хп ||£,
где inf берется по всем последовательностям неотрицательных функций хп из £, сходящимся почти всюду к \х\. Пространство Е является минимальным совершенным пространством, содер жащим Е и таким, что
11*11* <11*11* |
(* е £ ) . |
При этом Е пэ Е и |
|
11*11* <11* II* |
(*е=£). |
Говорят, что функция х из Е имеет абсолютно непрерывную норму, если
lim 1ь„*|| = 0.
где %D — характеристическая функция множества D, a Dn — лю бая убывающая последовательность измеримых множеств с пу стым пересечением. Через Е° обозначается совокупность всех функций из £ с абсолютно непрерывной нормой. Линейное мно гообразие Е° может содержать только нуль* (например, в про странстве Loo(Q)).
Если Е° = £, то пространство называется правильным. При мерами правильных пространств служат пространства 1р(й), пространства Лоренца, пространства Орлича, Л/'-функция кото рых удовлетворяет Д2-условию. Наконец, Е° может быть пра вильным подпространством £, содержащим ненулевые функции (например, в пространстве Марцинкевича или пространстве Ор лича без Д2-условия). Многообразие Е° является предидеальным пространством (идеальным, если Е идеально). Во многих слу чаях Е° не имеет замкнутого дополнения в Е (например, в про странствах Орлича без Д2-условия).
Правильные пространства обладают рядом интересных свойств. Так, для сходимости последовательности функций хт из правильного пространства Е к функции х необходимо и доста точно, чтобы последовательность хт сходилась к х по мере и чтобы нормы функций хт были равностепенно абсолютно непре рывными. Последнее означает, что
lim suplxo.*,J = 0
я-»оо т |
" 1 |
§ 3. ПРОСТРАНСТВА ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ |
93 |
для любой убывающей последовательности множеств Dn с пу стым пересечением.
Пусть |
Е — идеальное |
пространство. Сепарабельность про |
странства |
Е равносильна |
тому, что Е — правильное, и мера на |
£2 сепарабельна (это означает, что существует такое счетное се
мейство |
подмножеств £2, что для любого измеримого D c Q |
||
конечной меры и любого е > Осуществует D0 еЯЙ, для которого |
|||
mes(£>\A)U DQ\ |
D) *< е). В частности, лебегова мера |
и мера |
|
на подмножествах |
натурального ряда N, указанная в |
начале |
|
этого параграфа, сепарабельны. Поэтому сепарабельность иде альных пространств функций, определенных на множествах ко нечномерного пространства, пространств последовательностей, равносильна их правильности.
Ли т е р а т у р а : [100], [103].
4.Двойственные пространства. Носителем предидеального пространства Е называется минимальное подмножество £2, вне которого аннулируются все функции х из Е. Если Е — идеальное пространство, то в Е существуют так называемые единицы —
функции Wo, положительные во всех точках носителя Е. Ниже через (х, у) обозначается число
Пусть Е — предидеальное пространство. Двойственным (или иначе ассоциированным) к Е пространством Ех называется про странство аннулирующихся вне носителя Е функций у, для ко торых (х, у) < оо при всех х из Е. С нормой
II у |1£, = sup {х, у) ||*||£<1
Ei является совершенным идеальным пространством, причем носители Е и Е1 совпадают.
Пространство Е1 можно рассматривать как подпространство
сопряженного |
к Е пространства |
так как каждая функция |
У о ^ Е 1 определяет на Е линейный |
непрерывный функционал |
|
f o { x ) = (х, Уо), |
причем Ш1г'=11#о11£|- |
|
Подпространство Е1 замкнуто в Е' и совпадает с Е' в том и только том случае, когда Е — правильное. В случае, когда Е не является правильным пространством, пространство Е' суще ственно шире Е1. В пространстве Е' существует проектор на Е 1 с единичной нормой. Функционалы f из Е \ принадлежащие Е1, характеризуются специальным свойством непрерывности: они преобразуют сходящиеся почти всюду и ограниченные функцией из Е последовательности в сходящиеся числовые последователь ности.
94 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
По аналогии со вторым сопряженным пространством можно рассматривать второе двойственное пространство L11. Оказы
вается, что Е п = Е и || х ||£„ = || х ||g. |
В частности, |
для совер |
||||
шенных пространств Е и Еп совпадают. |
являются |
двойствен |
||||
Пространства |
Lp и |
LP' (l/p + |
\/р' = 1) |
|||
ными друг другу, |
при |
этом для |
1 ^ |
р < |
оо пространство Lp' |
|
совпадает с сопряженным к Ер, а пространство L\ является за мкнутым подпространством пространства (Loo)'.
Пространства Орлича LM и Ем*, порожденные дополнитель ными друг другу М-функциями М(и) и М*(и), также оказы ваются двойственными. Однако нормой, двойственной к первой (второй) норме пространства LM, будет вторая (первая) норма пространства Ем*» Пространство Ем* совпадает с сопряженным к Ем в том и только том случае, когда ЛЛфункция М(и) удо влетворяет Аг-условию.
Пространства Лф и Мф также являются двойственными друг другу, при этом Мф совпадает с сопряженным к Лф.
Ли т е р а т у р а : [32], [114].
5.Симметричные и однородные пространства. Идеальное про странство Е называется симметричным или перестановочно ин вариантным, если вместе с каждой функцией х оно содержит и все равноизмеримые с нею функции у, причем \\х\\ = \\у\\ *).
Пусть мера на Q непрерывна, т. е. каждое множество поло жительной меры может быть разбито на две части одинаковой меры. Тогда равенством
<p£ (mes Z)) = || %Dlb
(%D ~ характеристическая функция множества D) определена на [0, mes Q1 так называемая фундаментальная функция уЕ(Х).
Для пространства Lp "(pLp(k) — Xi,p, для пространства Марцинкевича (^) = "Ф* (^)> для пространства Лоренца <РЛф (А) = ф (А,). Фундаментальная функция каждого симметричного простран
ства |
на (0, mesQ) не убывает вместе с функцией А/ф£ (А); функ |
||
ции |
фЕ(А) и А,/ф.еМ непрерывны на |
(0, |
mesQ). В случае |
mes Q < оо функция фе(А) непрерывна |
и в |
нуле, если Е ф L„, |
|
функция А/фВ(А) непрерывна в нуле, если Е ф Ь \. В симметрич ных пространствах множество Е° совпадает с замыканием мно жества ограниченных финитных функций.
Для нетривиального симметричного пространства Е всегда справедливы вложения La, а Е а Ь\.
*) Функции х н у называются равноизмеримыми, если т,(т) = m v (x) для всех т > 0.
§ 3. ПРОСТРАНСТВА ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ |
95 |
Пространство Е1, двойственное к симметричному простран ству £, также симметрично; его фундаментальная функция сов падает с Я/ф.еМ - Среди всех симметричных пространств с за данной фундаментальной функцией ф(Я) наиболее узким яв ляется пространство Лоренца Аф, а наиболее широким Мф* (ф*(Я) =А/ф(Я)); при этом
II * 1Ц,. < II * 11в |
(х*=Е), |
11*11£ <И*11Лф |
(лг ^ Лф). |
|
Пусть мера Q конечна и со= { £ > 1 ........Dj} — разбиение мно-, |
||||
жества £2. Интегральный оператор |
|
|||
|
Рфх (s) = |
| К {s, а) х (a) da, |
|
|
|
|
Q |
|
|
|
п |
|
|
|
К (S, а) = 2 |
|
%D{ (s) %D{И - |
|
|
|
i = |
l |
|
|
является оператором проектирования, который принято назы вать проектором Хаара. Каждый проектор Хаара действует в любом симметричном пространстве Е и имеет норму 1. Пусть
соп — последовательность разбиений со„ = {й{\ \ ... , D/"}} множе
ства £2, причем шах mes £2(л) —►0. Тогда последовательность соот- 1<t<in
ветствующих этим разбиениям проекторов Хаара Р^п сильно
сходится к единичному оператору в каждом правильном сим метричном пространстве Е. Разбиения соп можно выбрать так, что последовательность Р&п будет сильно сходиться к единич
ному оператору на наперед заданном произвольном сепарабель ном подпространстве пространства Loo. Если пространство Е не является правильным и Е Ф Loo, то при х е £ \ £ ° последова тельность функций Р®пх некомпактна.
При изучении симметричных пространств особую роль играют пространства Лоренца. Если норма симметричного пространства обладает свойством Фату (совершенное пространство), то она может быть представлена как supremum некоторого множества норм Лоренца. В пространствах Лоренца описаны все крайние точки единичных шаров. Например, если фундаментальная функ ция ф(А) строго вогнута, то крайними точками единичного шара являются все функции с нормой 1, модули которых принимают лишь одно ненулевое значение.
Л и т е р а т у р а : [101], [109].