§ 4. ВЕКТОРНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ |
101 |
Для того чтобы функция x(t) была суммируемой, необходи мо и достаточно, чтобы она была сильно измеримой и чтобы ее норма ||x(f)ll была суммируемой.
Интеграл по любому измеримому множеству е е [а, р] можно определить как
JРX e ( t ) x ( t ) d t = j X ( t ) d t ,
а е
где —характеристическая функция множества е. Интеграл Бохнера обладает многими обычными свойствами интеграла Ле бега. Для него также справедлива оценка
к* |
н |
J x(t)dt |
< |||* (* )||М . |
Функция y(t)j представимая неопределенным интегралом
y(t) = Jt x(x)dx
a
от суммируемой функции х{х), почти во всех точках отрезка имеет (сильную) производную, причем в этих точках у' (() = = x(t). Теорема о том, что всякая абсолютно непрерывная функ ция представима в виде неопределенного интеграла от сумми руемой, для функций со значениями в банаховом пространстве, вообще говоря, не верна.
Если А — ограниченный линейный оператор, отображающий банахово пространство Е в банахово пространство F, и x(t) — суммируемая функция со значениями в Е, то Ax(t) — суммируемая'функция со значениями в F и
Р |
Р |
| |
A x { t ) d t — A j х (t) dt. |
а |
а |
Совокупность всех суммируемых на [а, р] функций со значе ниями в банаховом пространстве Е образует линейную систему Li(E;[a, р]), в которой вводится норма
Р
L, Ш; [о, р]) “ { ИХW II dt-
102 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В |
этой |
норме |
пространство Ь\(Е)[а, р]) банахово. Аналогич |
|||||
но |
скалярному |
случаю |
вводятся |
банаховы пространства |
||||
|
|
|
|
М £ ;[ а ,Р 1 ) ( 1 < Р < о о ) |
|
|||
с нормой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
? |
1iI P |
при |
1 < р < |
|
И |
Ы « |
> |
“ |
|
|
||
|
а |
|
|
|
||||
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
II |
|
[а. р,) = v гai sup ! ! * ( / ) II |
при |
р = оо. |
|||
Ли т е р а т у р а : [27], [58].
Г Л А В А HI
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Теория линейных уравнений
1. Уравнения в конечномерных пространствах. Систему из
п линейных уравнений с п неизвестными можно'рассматривать как одно уравнение вида Ах = у в н-мерном евклидовом прост ранстве Rn, где у *—заданный вектор правых частей, х ~ иско мый вектор решений, А — линейное преобразование, определяе мое матрицей системы. В алгебре устанавливаются следующие основные факты:
1. Уравнение Ах — у разрешимо при любой правой части тогда и только тогда, когда однородное уравнение Ах = 0 имеет только тривиальное решение х — 0.
2.Уравнение Ах = у разрешимо тогда и только тогда, когда сопряженное уравнение A'g = / (с транспонированной матрицей А') разрешимо при любой правой части.
3.Уравнения Ах = 0 и A'g = 0 имеют одинаковое число ли нейно независимых решений.
4. Если уравнение Ах— у разрешимо не при любой пра вой части, то те правые части у, для которых оно разрешимо, образуют подпространство в Rn, являющееся ортогональным дополнением к подпространству всех решений уравнения
A ' g = 0.
Несколько более сложная картина возникает при рассмотре нии т линейных уравнений с п неизвестными при п Ф т. Для записи ее в векторном виде Ах == у следует считать, что опера тор А действует из и-мерного пространства Rn в m-мерное про странство Rm- В сопряженном уравнении A'g = f оператор А' будет действовать из Rт В Rn. Если, например, п > т , то одно родное уравнение Ах = 0 всегда имеет нетривиальное решение независимо от того, разрешима ли всегда система или нет. Таким образом, свойство 1 исчезает. Связь между разреши мостью уравнения и сопряженного к нему уравнения также нарушается*
104 |
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
Вместо свойств 1—3 можно сформулировать такие: |
|
1°. Уравнение |
Ах — у разрешимо при любой правой части |
тогда и только тогда, когда однородное уравнение A'g = 0 имеет лишь тривиальное решение.
2°. Уравнение A'g = f разрешимо при любой правой части тогда и только тогда, когда однородное уравнение Ах — 0 имеет лишь тривиальное решение.
3°. Разность между максимальным числом линейно независи мых решений однородного уравнения Ах — 0 и максимальным числом линейно независимых решений сопряженного уравнения
A'g — 0 равна п — т.
Число п — т называют индексом уравнения Ах — у. Оно мо жет быть как положительным, так и отрицательным.
Свойство 4 остается в силе.
При рассмотрении линейных уравнений в бесконечномерных пространствах многообразие возможных случаев расширяется. Некоторые аналогии с конечномерным случаем теряются.
Ли т е р а т у р а : [57].
2. Основные понятия. Пусть на линейном многообразии
D(A) банахова пространства Е определен линейный |
оператор |
||
А, отображающий его в некоторое банахово пространство F. |
|||
Множество D (А) называется областью определения |
оператора |
||
А. Рассматривается линейное уравнение |
|
|
|
Ах = у |
(ye=F, xs=D(A))K |
(А) |
|
где у — заданный элемент |
пространства |
F, а х — искомый эле |
|
мент из D(A). Совокупность всех y ^ F , |
для которых уравнение |
||
(А) разрешимо, является линейным многообразием в F и назы вается областью значений R(A) оператора А.
Совокупность всех решений соответствующего однородного уравнения Ах — 0 является линейным многообразием в £ и на зывается нуль-пространством или ядром N (А) оператора А.
Различные свойства уравнения (А) описываются следующи ми определениями.
Уравнение (А) называется однозначно разрешимым нр, R(A),
если однородное уравнение Ах = 0 имеет только нулевое реше ние, т. е. А/(Л) = 0.
Уравнение (А) называется корректно разрешимым на R(A ),
если при x ^ D ( A ) |
справедливо неравенство ||*||я ^ k\\Ax\\p, где |
k не зависит от х. |
везде разрешимо, если /?(А) = F\ плотно раз |
Уравнение (А) |
решимо, если R(A) = F\ нормально разрешимо, если R(A) замк
нута.
Из однозначной разрешимости следует существование на /?(А) левого обратного оператора А~К Корректная разреши
§ 1. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
105 |
мость эквивалентна ограниченности оператора Д-1. В этом слу чае решение уравнения непрерывно зависит от правой части.
Ли т е р а т у р а : [37].
3.Уравнение с замкнутым оператором. Линейный оператор
Аназывается замкнутым, если из того, что хп -+х0 и Axn -* y0 следует, что х0^ D(A) и Ах0= у0.
Ограниченный оператор, определенный на всем пространстве
Е, всегда замкнут. Весьма важным является тот факт, что и, на оборот, замкнутый оператор, определенный на всем банаховом пространстве, ограничен.
Если оператор А имеет левый обратный оператор, ограни ченный на замкнутом множестве /?(Л), то оператор А замкнут. В частности, только замкнутые операторы могут иметь ограни
ченные обратные, определенные на всем пространстве F. Расширением оператора А называется любой линейный опе
ратор Ai такой, что £)(Л!)=э£)(Л) и А{х = Ах для x<=D(A). Сужением оператора А на линейное многообразие D называется оператор Д2 такой, что D (Д2) = D и А2х = Ах при х <= D.
Если оператор А не замкнут, то он допускает замкнутое рас ширение в том и только том случае, когда из хп -> 0 (хп е D (А)) и Ахп -*у слёдует, что у = 0. Среди замкнутых расширений тогда есть наименьшее Д, которое является_ сужением всякого другого замкнутого расширения. Оператор А называется замы канием оператора А.
Изучение замкнутых операторов иногда сводится к изучению ограниченных операторов следующим приемом: в области опре деления D(A) замкнутого оператора А вводится новая норма
II * 1H I *11*+ 1Л* IIF (xs=D(A)).
В этой норме D(A) становится банаховым пространством ЕА. Оператор А ограничен, как оператор из ЕА в F. Более того, лю бой линейный оператор В, действующий из D(A) в F и допу скающий замыкание, будет ограничен, как оператор из ЕЛ в F:
|| Вх ||F |
С || х llj = С (|| х и# + |
1| Д*|| р). |
Нуль-пространство |
N(A) замкнутого |
оператора А является |
подпространством пространства Е. Имеют место утверждения: 1. Корректная разрешимость уравнения (А) с замкнутым опе
ратором А эквивалентна его однозначной и нормальной разре шимости.
2. Уравнение (А) с замкнутым оператором А нормально раз решимо тогда и только тогда, когда для каждого x ^ D ( A ) най дется такой элемент X G D (Д), - что А х = А х и II х || ^ k\\Ax || =? = &||Д*Н, где k не зависит от выбора x<=D(A).
Ли т е р а т у р а : [23], [27], [37], [58].