Материал: Функциональный анализ

106 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

4. Сопряженное уравнение. Обычно в приложениях линейный оператор А имеет некоторую естественную область определения, являющуюся линейным нормированным пространством. Это про­ странство можно пополнить до банахова пространства Е. Тогда оператор А будет иметь всюду плотную в Е область определения D(A)y что в этом пункте и предполагается.

Пусть g — ограниченный линейный функционал на прост­ ранстве F ( g ^ F ' ) \ тогда на D (А) определен линейный функ­ ционал g(Ax). Если он ограничен, т. е. \g(Ax) | ^ С\\х\\Е, то го­ ворят, что g<=D(A') и по определению полагают

(A'g) (х) = g (Ах).

Функционал A'g этой формулой определен только на D (Л), но так как D{A) всюду плотно в Е, то он допускает единствен­ ное расширение по непрерывности на все пространство Е : если,

хп -+х (xn ^ D ( A ) ) y то A' g(x)= lim g(Axn). Таким образом,

/2-* оо

можно считать, что А' отображает D(A')czFf в пространство Е'.

Следует иметь в виду, что область определения сопряженного оператора может не быть всюду плотной в пространстве F'. Если оператор А замкнут, то D(A') всюду плотно B F B слабой топо­ логии о(Е'уЕ). Если, кроме того, пространство F рефлексивно,

Для него аналогично вводятся понятия однозначной и кор­ ректной разрешимости, везде и плотной разрешимости.

Между свойствами уравнений (А) и (А7) имеются глубокие связи:

1. Для того чтобы уравнение (А) было плотно разрешимо, необходимо и достаточно, чтобы уравнение (А7) было однознач­ но разрешимо.

2. Для того чтобы уравнение (А) было однозначно разреши­ мо, достаточно, чтобы уравнение (А7) было плотно разрешимо.

Последнее свойство лежит в основе одного из методов дока­ зательства теорем единственности в теории дифференциальных уравнений: для доказательства достаточно показать, что сопря­ женное уравнение разрешимо для всюду плотного множества правых частей.

Нуль-пространство N (А') сопряженного оператора Л7 яв­ ляется ортогональным дополнением к области значений R(A) оператора А. Отсюда вытекает

валентно требованию, чтобы оно было разрешимо для любой правой части, ортогональной всем решениям однородного урав­ нения A'g = 0.

Множества N (А) и R{A') также ортогональны, но каждое из них может не являться ортогональным дополнением к другому. В связи с этим для уравнения (А7) можно ввести два, вообще говоря, различных, понятия: уравнение (А7) называется замкну­ то разрешимым, если R{A') замкнута; уравнение (А7) называет­ ся нормально разрешимым, если оно разрешимо для любой пра­ вой части, ортогональной ко всем решениям однородного урав­ нения Ах = 0. Из нормальной разрешимости следует замкнутая разрешимость, но не наоборот.

4. Если уравнение (А) нормально разрешимо, то уравнение (А7) замкнуто разрешимо.

Свойство замкнутой разрешимости уравнения А7 эквивалент­ но следующему свойству уравнения (А): существуют константа k > 0 и плотное в /?(Л) множество М, для каждого элемента у\ которого найдется решение хх^ D ( A ) такое, что

5.Для того чтобы уравнение (А) было везде разрешимым, необходимо, чтобы уравнение (А7) было корректно разрешимым из /?(Л7).

6.Уравнение (А7) везде разрешимо тогда и только тогда, когда уравнение (А) корректно разрешимо на R{A).

Если оператор А замкнут, то замкнутая и нормальная раз­ решимость уравнения (А7) эквивалентны.

Ли т е р а т у р а : [23], [27], [29], [37].

5.я-нормальные и d-нормальные уравнения. Нормально раз­ решимое уравнение с замкнутым оператором Л, имеющим нуль-

пространство N (Л) конечной размерности я (Л), здесь называет­ ся п-нормальным (в этом случае оператор Л называют Ф^-опе­ ратором или я-нормальным оператором).

Множество М банахова пространства Е называется локально компактным в £, если пересечение любого шара Е с М компакт­ но в Е.

Для того чтобы уравнение (А) с замкнутым оператором А было п-нормальным, необходимо и достаточно, чтобы при ото­ бражении А прообраз каждого компактного множества из R{A) был локально компактным.

Нормально разрешимое уравнение с замкнутым оператором называется d-нормальным, если ортогональное дополнение к об­ ласти значений оператора /?(Л) имеет конечную размерность d(A).

В следующей таблице указаны основные связи между свой­ ствами уравнений (А) и (А7) с замкнутым оператором А, имею­ щим всюду плотную область определения.

Уравнение (А) Уравнение (А')

однозначная разрешимость^ плотная разрешимость корректная разрешимость ФФ везде разрешимость

6. Априорные оценки. Как уже говорилось, для произвольно­ го оператора с плотной областью определения корректная раз­ решимость на /?(А), т. е. наличие оценки

II* HE < 6 II АхЦР (х <=D(A))

позволяет, утверждать, что сопряженное уравнение (А7) везде разрешимо. Для получения такой оценки не нужно знать, при каких правых частях разрешимо уравнение (А). С точки зрения теории уравнений ее содержание можно сформулировать так: если х — какое-нибудь решение уравнения (А), .то для него справедливо неравенство \\х\\Е ^ k\\y\\F. В связи с этим такие оценки получили название априорных.

' Для замкнутого оператора А наличие априорной оценки ^'gllp влечет за собой везде разрешимость уравне­

две априорные оценки являются необходимыми и достаточными условиями однозначной везде разрешимости уравнений (А)

и С4')-

Во многих случаях, однако, удается установить лишь более

определения D(A)cnE является замкнутым оператором из E B F. Априорная оценка, о которой идет речь, имеет вид

\\х\\в < а \ \ х \ \ Е' + Ь\ \х \\р ( x e z D ( A ) ) .

В указанных условиях приведенная априорная оценка яв­ ляется необходимым и достаточным условием п-нормальности уравнения (А).

Аналогичный критерий имеется и.для d-нормальности урав­ нения.

Если оператор А замкнут, имеет плотную в Е область опре­ деления и пространство F компактно вложено в банахово про­ странство G, то для d-нормальности уравнения (Л) необходимо и достаточно наличие априорной оценки

II g II,, < а || g ||0 + b || A'g ||£, ( gz z D {А')).

В приложениях часто пространство Е' трудно описывается, поэтому вместо сопряженного оператора А' можно рассматри­

вать оператор Л', являющийся сопряженным к Л, как оператору, действующему из Е0 в F (D(A) = Е = Е0). Оператор А' действует

ния (А) соответственно следует замкнутая, нормальная раз­ решимость, /г-нормальность, ^/-нормальность уравнения (А7).

При этом п(А') = п(А') и d (Л7) d (А') .

Если Е плотно вложено в Е0 и оператор Л замкнут, как оператор йз Е0 в F, то свойства нормальной разрешимости, /г-нор-

мальности и d-нормальности уравнения (А7) и (А7) эквивалент­

ны. При этом d(A') = d(A') = п(А). Таким образом, при ука­ занных условиях для изучения свойств уравнения (А) можно

рассматривать лишь то из уравнений (А7) и (А7), которое иссле­ дуется проще.

Ли т е р а т у р а : [37].

7.Нетеровы уравнения. Уравнение (А) называется нетеро­ вым, если оно я-нормально и d-нормально. Оператор Л в этом случае называется нетеровым или Ф-оператором*). Число

и(Л) = л(Л)-£*(Л)**)

называется индексом уравнения (А) или индексом операто­ ра А ***).

Весьма важным является следующее свойство индекса: если операторы А и В нетеровы и оператор В имеет всюду плотную область определения, то произведение ВА также является нете­ ровым оператором и его индекс равен сумме индексов А и В:

к {ВА) = к (Л) + и (5).

Если D(A) = Е, то сопряженное к нетеровому уравнению (А) будет нетеровым и х(Л7) = —х(Л).

*) Терминология не установилась и часто Ф-оператор называют фредгольмовым.

**) Иногда индексом называют число —к (Л).

***) Для «-нормального уравнения можно считать к (Л) = —оо, для d-нормального уравнения к (А) = -f-oo,

п о ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Пусть оператор А действует в пространстве Е, имеет всюду плотную в Е область определения и является нетеровым. Тогда операторы Л2, Л3, '... также будут нетеровыми. Через Nh(A) обозначают подпространство N(Ah). Очевидно, Nk(A)cz Nk+i{A),

( * = 1,2,...).

Если Noo{A) конечномерно, то уравнение (А) имеет неполо­ жительный индекс (х(Л )^О ). Если, кроме того, ^ ( Л 7) конеч­ номерно, то и (Л) = 0.

Л и т е р а т у р а : [20], [37], [121].

8. Фредгольмовы уравнения. Нетерово уравнение (А) и опе­ ратор Л называются фредгольмовыми, если индекс х(Л )=0.

В то время как нетеровы уравнения обладают свойствами, аналогичными свойствам системы алгебраических линейных уравнений с прямоугольной матрицей, фредгольмовы уравнения обладают всеми четырьмя свойствами, приведенными в п. 1 для алгебраической системы линейных уравнений с квадратной мат­ рицей.

Фредгольмовы уравнения имеют следующую конструкцию:

оператор А Фредгольмов тогда и только тогда, когда он пред­ ставим в виде

A = U 'l + T,

где U — ограниченный оператор, определенный на всем прост­ ранстве F и имеющий обратный t/_1, а Т — вполне непрерывный оператор, действующий из Е в F. Более того, в указанном пред­ ставлении оператор Т может быть выбран конечномерным.

Классическим примером фредгольмова уравнения является уравнение вида

х + Т х = у,

где Т — вполне непрерывный оператор, действующий в прост­ ранстве Е. Здесь это уравнение и оператор Л = / + Т называют­ ся каноническими фредгольмовыми.

п. 7). Это же число k0 является наименьшим из тех чисел k, для которых R(Ah+i) — R(Ah) = Rk(A). Все пространство Е разла­ гается в прямую сумму двух инвариантных относительно Л под­ пространств: Е = Rko(A) 4- Nk0(A). На подпространстве Rk0(A) оператор Л имеет ограниченный обратный, определенный на всем /?*0(Л), подпространство А/&0(Л) конечномерно и в нем оператор Л имеет единственное собственное число, равное нулю. Для сопряженного уравнения (А7) "имеет место такое же разло­