Материал: Функциональный анализ

ду плотна в £, то резольвентное множество оператора А' сов­

_ т ( / + т А + Ь А 2 + • • • ) ’

который сходится по норме операторов.

Радиус наименьшего круга с центром в начале координат, содержащего спектр оператора Л, называется спектральным ра­ диусом га оператора Л. Справедлива формула (И. М. Гель­ фанд)

ГА = Нш ViRMi,

П-> оо

при этом предел всегда существует. Из предыдущего следует,

п----------

что rA ^ МИ. Более того, гА ^ У|| Лл ||. На основании признака Коши ряд для резольвенты будет сходиться, если гА < |Я|, и расходиться, если гА > |Я|. В частности, ряд

(/ - А )'1= - /? ,= / + А + A2-f ...

оператора в пространстве С[0, 1] является интегральный опера­ тор Вольтерра

функция.

Пусть Яо— изолированная особая точка резольвенты RK зам­ кнутого оператора Л. Тогда существует разложение резольвенты в ряд Лорана

/?x=S(A .-a.o)M *.

— оо

При этом ограниченные операторы Ап{п — 0, ±1, ±2, ...) коммутируют друг с другом и с оператором А и удовлетворяют

и если е0 Ф 0, то в0 называется собственным элементом опера­

тора Л, отвечающим собственному числу Яо. Элементы ей ...

,удовлетворяют соотношениям

Лв1= Я0в1+ в0> Ае2 = k0e2-h еи ..., Aek- { = X0ek- {+ efe_2

и называются присоединенными элементами к собственному эле­ менту во.

Если для ограниченного оператора Л точка Яо — изолирован­ ная особая точка резольвенты и оператор Л_i конечномерен, то Яо — полюс резольвенты.

Пусть Р — проекционный оператор. Тогда

Отсюда, в частности, видно, что для ограниченного оператора вычеты в полюсах резольвенты могут быть и бесконечномер­ ными.

Для ограниченного оператора резольвента имеет на беско­ нечности нуль первого порядка; если оператор Л неограничен,

118 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

то его резольвента имеет особую точку на бесконечности. Если эта особая точка изолированна, то она является существенно особой. Множество, состоящее из спектра неограниченного опе­ ратора А и бесконечно удаленной точки, называется расширен­ ным спектром оператора А. Расширенный спектр оператора все­ гда не пуст.

Пусть X есть общая регулярная точка двух замкнутых ли­ нейных операторов А и В. Если D(B) =э D{A), то

RK(В) - R* (А) = Rx(В) (А - В) /?х (А).

Это соотношение называется вторым резольвентным тожде­ ством.

Если X— регулярная точка А и D(B) = D ( A ), то X является

Ai спектра Л (Л) оператора А называется спектральным множе­ ством, если она одновременно является замкнутым и открытым непустым подмножеством спектра.

Пусть Ai — ограниченное спектральное множество. Тогда существует замкнутый спрямляемый жорданов контур Гь ле­ жащий целиком в резольвентном множестве оператора Л, со­ держащий внутри себя множество Ai и не содержащий внутри себя точек дополнения А2 = А —Ai. Ориентация контура выбрана так, что при обходе множество Ai остается слева. Ин­ теграл

р‘ = ~ т Ы ы А^

Г,

спектр которого совпадает с Л2. Таким образом, изучение опе­ ратора А сводится к изучению ограниченного оператора Ai и замкнутого оператора А2.

Если Ль Ал —несколько попарно непересекающихся ограниченных спектральных множеств, то оператор А разла­ гается на k ограниченных операторов Аи действующих в инва­ риантных подпространствах £* (*=1, ..., 6), и замкнутый оператор Ak+i. При этом, если оператор неограничен, то Ek+ Ф

тром оператора Лг*служит множество Л* Пусть, например, расширенный спектр оператора А состоит

из конечного' числа точек Ки . . *, А*, оо. В соответствии с пре­

Операторы Ai — AP{ ограничены. Резольвента ДЦЛ) допускает представление

Д Ц Л ) = 2 № ( Л ) + / ^ И).

1=1

120 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Практически важным классом операторов являются опера­ торы, у которых резольвента /?а,0(Л) является вполне непрерыв­

рывна. Оператор, имеющий вполне непрерывную резольвенту, является замкнутым неограниченным (в случае бесконечномер­ ного пространства Е) и имеет спектр, состоящий из изолирован­ ных точек. Каждая точка спектра является полюсом резольвен­ ты и собственным числом оператора А. Нуль-пространство

истинным подмножеством пространства Nh(fa). Если область

Ли т е р а т у р а : [25], [27], [50], [58].

3.Классификация точек спектра. Если Я принадлежит спект­ ру оператора Л, то по определению это означает, что для урав­ нения с параметром А х — %х — у нарушено одно из свойств однозначной, корректной или плотной разрешимости. Приняты следующие определения: если это уравнение неоднозначно раз­ решимо, то говорят, что Я принадлежит точечному спектру опе­ ратора А; если однозначно, но не плотно разрешимо, то Я при­ надлежит остаточному спектру оператора Л; если однозначно,

плотно, но не корректно' разрешимо, то Я принадлежит непре­

определен на плотном в Е множестве, но неограничен. Следует отметить, что эта классификация точек спектра достаточно гру­ ба и не отражает всего многообразия свойств разрешимости уравнения Ах — Хх = у.

Таким образом, вся комплексная плоскость разлагается в сумму четырех взаимно непересекающихся множеств: резоль­ вентное множество, точечный, остаточный и непрерывный спектры.

Если оператор задан каким-либо аналитическим выраже­ нием, то структура его спектра существенно зависит от того пространства, в котором он исследуется. Например, операция дифференцирования порождает в пространствах функций f(s) на (—оо, <х>) оператор, определенный как d/ds на множестве всех абсолютно непрерывных -на каждом конечном интервале функций, принадлежащих вместе со своей производной соответ­ ствующим пространствам. В пространствах См(—°о, <х>),