Материал: Функциональный анализ

с мнимой осью. Этот спектр будет точечным в См{—сю, оо), остаточным в Li(—оо, оо) и непрерывным в Lp(—оо, оо) при

р > 1.

Если оператор А расширяется до оператора А, действующего в том же пространстве £, то точечный спектр А остается в то­ чечном спектре А, остаточный спектр при переходе от опера­ тора А к оператору А может лишь сузиться, точки непрерывного спектра А либо остаются в непрерывном спектре А , либо пере­ ходят в его точечный спектр. Регулярные точки оператора А могут возникнуть либо из регулярных точек Л, либо из точек остаточного спектра А. Иначе говоря, ни при каком расширении оператора А нельзя избавиться от его точек непрерывного и точечного спектров.

Если оператор А имеет плотную область определения, то связь между свойствами уравнения Ах — Кх = у и сопряжен­ ного уравнения A'g — Xg = f (см. § 1, п. 4) приводит к следую­ щим соотношениям: точечный спектр А содержится в объедине­ нии точечного и остаточного спектра А', остаточный спектр А содержится в точечном спектре Л', непрерывный спектр А со­ держится в объединении остаточного и непрерывного спектра А'.

Можно поставить вопрос о точках Я, при которых уравнение

Ах — %х = у будет нетеровым. Областью нетеровости опера­ тора А здесь называется совокупность всех таких Я. Область нетерорости — открытое множество. В каждой связной компонен­ те области нетеровости операторы А — Я/ имеют один и тот же индекс. Если эта компонента содержит хотя бы одну регулярную точку оператора Л, то индекс Л — Я/ при всех Я из этой компо­ ненты равен нулю, и оператор Фредгольмов. Такая компонента G может содержать лишь изолированные точки спектра операто­ ра Л, все они являются полюсами резольвенты /?х(Л), причем операторы, стоящие в главной части разложения резольвенты в ряд Лорана, конечномерны. Коротко этот факт выражают так:

функция ^х(Л) в области G коненномероморфна.

Если оператор Л ограничен, то точки Я, где |Я| > гА, регу­ лярны, и следовательно, существует компонента области нете­ ровости оператора Л, содержащая всю внешность спектрального кругами в этой компоненте оператор Л —- Я/ Фредгольмов. Ра­ диус ра наименьшего круга, вне которого оператор Л — Я/ Фред­ гольмов, называется радиусом Фредгольма оператора Л. ,Из предыдущего следует, что рА ^ га. Для вполне непрерывного оператора рА = 0. Для получения формулы для радиуса Фред­ гольма в пространстве L(E,E) вводят, например, следующую полунорму:

где inf берется по всем подпространствам М а Е у имеющим ко­ нечный дефект (конечномерное ортогональное дополнение), и А \ м означает сужение оператора А на М. Тогда

что при каждом Я оператор А (Я) ограничен и нетеров. Предпо­ лагается, что Л (Я) есть голоморфная в G функция со значе­ ниями в Ь(Е,Е). Тогда индекс оператора Л (Я) не зависит от Я. Размерность нуль-пространства М(Л(Я)) одинакова во всей об­ ласти G за исключением, быть может, множества точек, не имеющих точек сгущения внутри области G. В точках этого множества размерность нуль-пространства больше, чем в остальных точках области. Если в точке Я0 G существует определенный на всем Е ограниченный обратный оператор [Л(Яо)]-1, то он существует во всех точках области, за исклю­ чением, быть может, множества с описанными выше свойства­ ми. Оператор [Л(Я)]-1 является конечномероморфной функ­ цией в G.

Следует отметить, что предположение об ограниченности оператора Л(Я) введено для упрощения формулировок. Кроме того, аналогичные факты справедливы и для n-нормальных и d-нормальных операторов, голоморфно зависящих от пара­ метра Я.

Ли т е р а т у р а : [20], [23], [27], [58], [120], [135].

4.Вполне непрерывные операторы. Пусть Л — вполне непре­ рывный оператор. При Я ф 0 оператор Л —Я/ = —Я^/ —--Л^

отличается лишь множителем от канонического фредгольмова и, следовательно, является фредгольмовым. Областью нетеровости является вся плоскость, возможно, без точки Я = 0; радиус Фредгольма рл = 0. Спектр вполне непрерывного оператора Л представляет собою не более чем счетное множество точек, точ­

резольвенты с кратностями {ти} и, значит, собственными чис­ лами оператора Л. Нуль-пространство оператора A — XhI назы­ вается собственным подпространством, отвечающим собственно­ му числу Хи. Его размерность называется собственной крат­ ностью числа Хи- Как уже отмечалось, все пространство разла­

гается в прямую сумму подпространств N([A — XkI)mk) и

Я((А — %кОтк)> инвариантных относительно оператора А. Под­ пространство Nk = N ((А — XkI)mk) называется корневым под­ пространством, отвечающим собственному числу Хн, а его раз­ мерность— алгебраической кратностью собственного числа Хк-

В корневом подпространстве ЛД может быть выбран базис из собственных и присоединенных векторов оператора А так, что в этом базисе матрица сужения оператора А на ЛД имеет нор­ мальную жорданову форму.

Вопрос об условиях, при которых линейная оболочка всех собственных и присоединенных векторов, отвечающих всем не­ нулевым собственным числам, плотна во всем пространстве, представляет собою трудную проблему полноты собственных и присоединенных векторов вполне непрерывного оператора. На пути ее решения для операторов в банаховом пространстве имеются лишь частные результаты. Для операторов в гильбер­ товом пространстве имеется большая содержательная теория (см. гл. IV, § 2, п. 6).

Числа ik являются также собственными числами сопряжен­ ного оператора А' и составляют его спектр, возможно, без точ­ ки X = 0.» Они имеют ту же собственную и алгебраическую кратность. Более того, в корневом подпространстве, отвечающем Xk> оператор А ' имеет ту же нормальную жорданову форму, что и оператор А в соответствующем своем корневом подпро­ странстве.

Для приложений важно, что всеми перечисленными спек­ тральными свойствами обладают и операторы, для которых не­ которые степени являются вполне непрерывными операторами.

Л и т е р а т у р а : [20], [23], [27], [29], [30], [39], [60].

§3. Функции от операторов, операторное исчисление*

1.Функции от ограниченного оператора. Пусть А — ограни­ ченный линейный оператор, определенный на всем простран­ стве Е и действующий в Е: А <= L(E, Е) . Если f(X)— целая ана­

литическая функция переменного X, разлагающаяся в ряд

оо

2 сгкХку то можно определить функцию f(A) от оператора А

k~0

с помощью формулы

оо

/г=0

Оператор f(A) будет также линейным и ограниченным. Важ­ ную роль играет, например, экспоненциальная функция от

оператора

/г=0

Введенное определение функции от оператора можно рас­ пространить на более широкий класс функций. Пусть F(A) — совокупность всех комплексных функций /(Я), каждая из кото­ рых голоморфна в некоторой окрестности спектра оператора А. Эта окрестность может быть несвязной и, вообще говоря, зави­ сит от функции /(Я). Пусть Г — контур из конечного числа спрямляемых замкнутых жордановых кривых, лежащих в обла­ сти голоморфности функции /(Я), ограничивающей область, со­ держащую спектр оператора А и остающуюся слева при обходе контура в положительном направлении. Строится линейный ограниченный оператор

f ( A ) = - 4 a §г f ( V ^ ( A ) d l ’

Этот интеграл является обобщением интеграла Коши. Он не за­ висит от выбора контура Г.

Новое определение функции от оператора согласуется с пре­

k=0

по норме операторов.

Пример . Если спектр оператора А не содержит и не окру­ жает точку Я = 0, то можно провести разрез плоскости по кри­ вой, соединяющей 0 и оо, и рассмотреть на плоскости с этим разрезом однозначную ветвь функции In Я. Тогда определен оператор

In А = -- ^ - §1X1 XR%(A)dX,

Г

где контур Г окружает спектр Л и не пересекается с разрезом. Если /, g ^ F ( A ) и а, р — комплексные числа, то a/ + p g s

еЕ/^Л), fg<=F(A) и

том случае, когда f(K)— 0 во всех точках открытого множе­ ства, содержащего весь спектр оператора А, за исключением, быть может, конечного числа полюсов резольвенты #*,(Л), в ко­

фиксированной окрестности спектра оператора А и равномерно сходятся в этой окрестности к функции f{X)y то последователь­ ность операторов fn{A) сходится по норме к оператору f{A).

Перечисленные свойства дают основание говорить о том, что построено операторное исчисление для ограниченных операто­ ров. Следует отметить,' что в этом исчислении фигурируют лишь аналитические функции. В ряде задач требуется умение опре­ делять непрерывные или достаточно гладкие функции от опе­ раторов. Это иногда удается сделать для специальных классов операторов, причем построение такой теории в банаховом про­ странстве встречает существенные трудности. Для самосопря­ женных операторов в гильбертовом пространстве теория функ­ ций от операторов продвинута чрезвычайно далеко (см. гл. IV, §3, п. 3).

Ли т е р а т у р а : [23], [27], [58].

2.Функции от неограниченного оператора. Переход от функ­ ции ограниченных операторов к функциям неограниченных опе­

раторов также встречает ряд затруднений. Если А — оператор с областью определения D(A), то естественно определяется опе­

вообще говоря, уже, чем D(A). Аналогично определяется опе­

замкнут и имеет хотя бы одну регулярную точку, то оператор

с множеством р(А(А)).

Другой подход к определению функций от замкнутого неограниченного оператора А состоит в следующем: если