Материал: Функциональный анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

126 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

оператор А имеет регулярную точку Х=Хо, то можно определить

функции ср от резольвенты	/?^0(Л), голоморфные	в окрестно
сти ее спектра. Если теперь	обозначить Ф ("я"~ я	(М> то
естественно положить

f(A) = cp(RK (A)).

Это определение дает возможность строить функции от опера тора А для класса F(A) всех функций, голоморфных в некото рой окрестности спектра Л и в бесконечности (т. е. голоморф ных в окрестности расширенного спектра Л), и приводит к формуле

где Г — контур из конечного числа спрямляемых жордановых кривых, являющийся границей некоторой области, содержащей расширенный спектр оператора Л.

Оператор	f(A) будет линейным	и ограниченным. Если /,
§ е ^ ( Л ) , то
Ы +	Рг) (Л) = af (Л) + Pg (Л),	fg (A) = f(A)g (Л).

Спектр оператора f(A) является образом при отображении f(X) расширенного спектра оператора Л.

Если функция f(X) имеет на бесконечности нуль конечного порядка т и нигде на спектре оператора Л в нуль не обра щается, то существует обратный оператор [/(Л)]-1, который, во обще говоря, неограничен и отображает область определения

D(Am) на Е. Таким образом, в этом случае функции - ущ мож

но поставить в соответствие оператор [/(Л)]-1.

Имеются естественные связи между функциями от замкну тых неограниченных-операторов, порождаемыми классом функ ций F(A) и классом многочленов. Если x ^ D ( A n)1р(Х)— мно

гочлен	степени не	выше	п и	/ е / ^ Л ) , то		f(A)p(A)x =
= p(A)f(A)x. Если f(X) имеет на				бесконечности		нуль порядка
т; то область значений оператора				/(Л)	содержится в D(Am) и
для всякого многочлена р(Х) степени					не выше т	справедливо
соотношение р (Л)f(A)		=pf (A) .			оператора	Л, то проек
Если	A i— спектральное		множество
ционный оператор		описанный в § 2, п. 2, можно рассматри

вать как функцию от Л, построенную по скалярной функции, равной единице в окрестности Ai и нулю в окрестности А(Л) —

— Ai.	Эта функция принадлежит F(A). Из правил оператор
ного	исчисления вытекает, что сужение всякой функции
f(A)	( f ^ F ( A ) ) или многочлена р(А) на подпространство Ei =

§ 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ

127

= Р\Е является соответствующей функцией от сужения ЛАопе ратора А на это подпространство.

Если А — замкнутый оператор, имеющий регулярные							точки,
то наряду	с	уравнением	а)	Ах — Хх = у	можно	рассмотреть
уравнение	б)	/ ( Л) — \хх =	у,	где f<=F(A)	и \|л =	/(Я).	Если
уравнение а)		неоднозначно разрешимо, то и уравнение б) неод
нозначно разрешимо, т. е. если Я— собственное число							опера
тора Л, то /(Я) — собственное число оператора f(A).						Если урав
нение а) не		плотно разрешимо, то и уравнение б) не плотно

разрешимо; если уравнение а) не является корректно разреши мым, то и уравнение б) не будет корректно разрешимым. Таким образом, при отображении /(Я) точечный спектр Л переходит в точечный спектр /(Л), остаточный спектр Л переходит в объ единение точечного и остаточного спектров /(Л); точки непре рывного спектра могут перейти в любые точки спектра f(A). Если p=7^=/(oo) и /(Я) Ф р ни в какой окрестности, содержащей точки спектра Л, то из невыполнимости одного из свойств одно значной, плотной, корректной разрешимости уравнения f(A)x —


— \хх=у	следует невыполнение соответствующего свойства для
уравнения	Ах — Хх = у при некотором таком Я, что		/(Я) = ц.
Пусть теперь		\ i =f ( оо). Если Л — неограниченный	оператор,
то уравнение б)		f ( A) x — \хх = у заведомо не будет	корректно

разрешимым. Если D(A) не плотно в £, то оно не будет плотно разрешимым. Пусть, кроме того, f(Я) Ф ц ни на какой окрест ности, пересекающей расширенный спектр Л; тогда ц будет соб

ственным	числом оператора f(A)	лишь в том случае, если не
которое Я	с f (Я) = р является	собственным числом операто
ра Л. Наконец, если D (Л) плотно в Е, то в указанных условиях
уравнение	б) может не быть плотно разрешимым лишь тогда,
когда при некотором Я с /(Я) =		р уравнение а) обладает этим
же свойством.

Ли т е р а т у р а : [23], [27], [58].

3.Дробные степени операторов. Если оператор Л ограничен

и спектр его не содержит и не окружает точку Я = 0, то функ ция Аа (—оо < а < оо) может быть определена так же, как это сделано в п. 1 на примере логарифмической функции. Если оператор А неограничен, то схема, описанная в п. 2, для опре деления функции Я"а от этого оператора, при нецелом ос, не

подходит из-за	того, что эта функция не аналитична в точке
Я = оо. Если	все же пытаться определять соответствующую

функцию от оператора с помощью интеграла Коши, то для того, чтобы контуры интегрирования не пересекали разрез пло скости, соединяющий 0 и оо, их приходится выбирать прохо

дящими через точку спектра Я = оо. Такая	же картина будет,
если спектр оператора (даже ограниченного)	содержит точку 0.

128 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Для таких контуров интеграл Коши становится несобственным, и для его сходимости приходится налагать условия на поведе ние резольвенты вблизи особых точек (0 или оо). Здесь будут изложены результаты, полученные на одном из вариантов та кого пути.

Предполагается, что А — замкнутый оператор с плотной в Е областью определения и что вся замкнутая отрицательная по луось лежит в резольвентном множестве оператора А , причем справедливо неравенство

II/?*.(л )||< м (1 + | м г 1 при л < о .

Из этого неравенства и свойств, резольвенты вытекает, что она будет аналитичца в замкнутой области, содержащей отри

цательную полуось	и ограниченной	лучами arg (Л — а) =
= ± ( я — ср), где а —любое число из		интервала	(0,1 /М), а
Ф <С sin 1/М. Границу	этой области Га и принимают		за контур
интегрирования в интеграле Коши, полагая
Л' “ =	2 5 г \|	(а>0).
	г*

Интеграл сходится и определяет ограниченный оператор. Если а = п — целому числу, то А~а = (Л_1)п. Для любого х ^ Е все

гда А~ах-+ х	при а —>0. Выполняется	основное		полугрупповое
свойство степеней:
	А“аА~^ = Л-(а+^.
При 0 <С а <	1 имеется вещественная запись
	оо
	А - а = sta_£Jt_ J s - a ( А +	s/)- l d$)
	о
из которой, в частности, вытекает, что		\|\|Л_а\|\|		М при	этих а.
Если п — 1 < а < л, то можно записать		оо
А~а = ————-г,---- г.0(nf 1)!:------j----- г		оо
А~а = ————-г,---- г.0(nf 1)!:------j----- г		J	Гsn- ' - a(A + sI)~n ds.
» л	(1 —а) (2 —а) ... (п —1—а)	J		4 1	7
		о

При этом последний интеграл формально получается из пре дыдущего интегрированием по частям.

Положительные степени оператора А определяются как об ратные к соответствующим отрицательным: Ла = ( Л _а)_1. Эти обратные существуют и являются уже неограниченными опе раторами. При любых вещественных а и р справедливо соот ношение

АаА^х = А^Аах — Ла+Эх

( x ^ D (Л^,

у = шал: {ц, р, а + р}).

§ 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ	129
В исходном определении дробной степени можно считать а
комплексным числом с R e a > 0 . Таким образом,	функция А~а

допускает продолжение до голоморфной в правой полуплоско сти оператор-функции со значениями в L (£ ,£ ). Возникает во прос о единственности оператор-функции Л( —£), голоморфной в правой полуплоскости, принимающей в точках п значения А~п и обладающей свойством Л (— — £2) = ^4 (— (—£2). Оказывается, что, если потребовать дополнительно, чтобы эта функция удовлетворяла условию

lim JTTT In|| А {а + ф) || < я,

Р->оо I Р I

то она определяется однозначно. Последнее условие выполнено

для введенной функции Важным является вопрос о том, при каких условиях опера

торы ^["(а+^) сильно сходятся при а - * 0 к ограниченным опе раторам. Этот вопрос не выяснен, иначе говоря, не выделен класс операторов, для которых и чисто мнимые степени явля

лись бы ограниченными операторами.				а -< 1 справедливо пра
При любом	вещественном		р и 0 <	а -< 1 справедливо пра
вило возведения степени в степень
		(Л“)е= л“е.
Имеет место важное н е р а в е н с т в о				моме нт ов: для любых
а < р < у при х <= D (Л^)
I	A h I < с (а, р,		Y)I I Л I f b r I Аах \|р ^ \
При 0 < а < 1	формула
	tfn U “) =	—	f -----	R M d X
	^	2я/ J	—ц + Яа

определяет резольвенту оператора Аа в точках отрицательной полуоси. Ее можно записать в вещественной форме

		Sin ая	оо
	р ( л а \ __	Sin ая	Г	saR - s (A) ds
	~ и	я	J	s2a + 2sa иcos ая + и2
Резольвента	допускает	аналитическое продолжение в секторы
а (я — ср) <	\|argp\| <	я, где ф — число, введенное в начале это

го пункта. В каждом таком секторе справедлива оценка

|/?iiUe) I < M a, q,(i + |ц |г ‘.

Для отрицательных ц = —и справедлива оценка 1^-ы(Ла) |<

130	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Если оператор А не имеет ограниченного обратного, то оцен ка резольвенты не может иметь тот вид, который был предпо ложен вначале, и рассматривается случай, когда имеется более слабая оценка:

| | ^ ( Л ) | | < М | Я Г 1 ( Я = - 5 , 5 > 0 ) .

Из наличия такой оценки вытекает, что она имеет место и в не котором секторе, содержащем отрицательную полуось. Сокра щенно говорят, что оператор имеет тип (со, М), если приведен ная оценка с константой М выполнена для всех отрицательных


А и (возможно, с другой	константой)		во всяком секторе, вну
треннем к сектору я —со ^	\| arg'A,\| ^		я.
Для введения дробной	степени	Аа ( 0 < а < 1 ) возможны,
например, два пути. При x ^ D (A )		полагают
Аах = -	sa~lR -s(A) Ах ds,

и замыкание так определенного оператора называют дробной степенью Аа оператора А. На другом пути за основу берут ин теграл

	sin ая	Г	saR_s (4) ds
	/ ы	о	s2<X	cos ajl + И-2
	л
который	абсолютно сходится		и является псевдорезольвентой
(см. § 2,	п. 2) в секторе ая < \|argp\|			^ я. Тогда оператор Аа
определяется формулой			ЫГ' +
	A a =	[ J		ц/.

Оба пути приводят к одному и тому же оператору Аа, который имеет тип (оссо, М).

Оператор Ае = А + е/ (е > 0) имеет ограниченный обрат ный и к нему применимы построения, сделанные в первой ча


сти этого пункта. Оказывается, что D (Л“) =						D (Л“)	и операторы
Аг	сходятся на D(Aa) к оператору Аа при е— >-0.						р,	а + р <; 1
	Если а <С р, то £)(Л“) :r> D{A$).				При 0 < а,
операторы Аа и ЛР коммутируют				на £>(Ла+р) и АаА х — Аа+®х
( x e f l (Ла+Р)).		Если 0 <; а <	р <	у	1 и х е Z)(ЛY) ,			то спра
ведливо приведенное выше неравенство моментов.							\|\|#_8(Л) \|\| ^
	В дальнейшем снова предполагается, что
•*СМ(1 + s)-1		( s >0 ) . Оператор		В	называется		подчиненным
оператору А, если D ( B ) ZDD(A)				и	\|\|Вх\|\| ^	с\\Ах\\	( хеО( Д) ) ,
и	подчиненным с порядком		а	(0	ос ^	1), если		\|\| Вх \|\|

< !c||x||1-a|| Лх||“- Справедливы утверждения: если В подчинен

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: