136 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
будет замкнутым подпространством Е\ инвариантным относи
тельно всех операторов U'(t). В пространстве Ео операторы U'(t) образуют сильно непрерывную полугруппу с Со-условием.
Пространство Ео может быть также получено как замыкание в Е' множества D (А'). Если исходное пространство рефлексив
но, то Ео = Е'.
Наличие экспоненциальной функции от оператора позво ляет вычислять различные другие функции от оператора с по мощью обобщения преобразования Лапласа. Так, для произ водящего оператора А полугруппы с С0-условием резольвента
имеет вид
оо
|
Ян (Л) =» - J e-»*U (0 dt |
(Re ц > со). |
|
|
|
|
О |
|
|
Если в |
оценке |
для полугруппы со < |
0, то можно |
определить |
степени оператора —А по формуле |
|
|
||
|
|
оо |
|
|
|
|
О |
|
|
При |
0 < а < |
1 оператор —(—А )а будет также |
производя |
|
щим оператором сильно непрерывной полугруппы, допускаю щей аналитическое продолжение в сектор, содержащий поло
жительную полуось. |
|
виде интеграла |
Вообще, если функция f(X) представима в |
||
Лапласа — Стилтьеса |
еи dvj |
|
оо |
|
|
/ (А) = J |
|
|
о |
|
|
где v — комплекснозначная борелевская мера |
на оси, то фор |
|
мально можно определить функцию от оператора f(A) фор
мулой
оо
/И ) = J U { t ) d v .
О
В зависимости от свойств меры v и полугруппы U(t) этот ин теграл будет в том или ином смысле сходиться и определять оператор f(A). Приведенный выше пример дробной степени оператора А показывает, что этим путем можно определять функции, не являющиеся голоморфными в оо, чего не позво ляла делать схема, изложенная в п. 2.
Если U(t) является группой, то можно применять двусто ронние преобразования Лапласа.
§ 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ |
137 |
Если семейство ограниченных операторов U(t) (0 < t < оо) обладает полугрупповым свойством, то из измеримости функций U(t)x при каждом х ^ Е следует сильная непрерывность полу группы U(t) при t > 0. Далее, из полугруппового свойства и сильной непрерывности следует существование предела
lim |
In ||Г/(Oil |
со, |
t - > ОО |
t |
|
называемого типом полугруппы. Таким образом, требование сильной непрерывности полугруппы при t > 0 является естест венным и оно уже влечет за собой определенный характер пове дения полугруппы на бесконечности. В связи с этим выделение новых типов полугрупп и их классификация в основном ведется по признаку того или иного поведения полугруппы в окрестно сти точки t = 0. Многочисленные результаты в этом направлении изложены в книге [58].
Л и т е р а т у р а : [23], [27], [36], [58], [61].
6. Эргодическая теория. В эргодической теории исследуется поведение при оо функции от линейного ограниченного опе
ратора U:
N- 1
m—0
Если Е — банахово пространство и операторы UN равномер но ограничены, то те элементы ^ е £ , для которых последова тельность UNx сходится, образуют подпространство простран ства £, совпадающее с множеством всех тех х, для которых UNX слабо компактна и
-^-Unx-+0 при п —>0.
Поэтому равномерно ограниченная последовательность опе раторов UN сильно сходится тогда и только тогда, когда для не которого всюду плотного множества элементов UNx слабо ком пактна, а
~ U nx —>0 при п —>оо.
При условии равномерной ограниченности для сильной схо димости UN в рефлексивномчпространстве Е необходимо и до статочно, чтобы
~ Unx -> 0 при п -> ОО
для всюду плотного множества х. Наконец, последнее требова ние (как и условие равномерной ограниченности UN) всегда
138 |
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
выполнено, если степени оператора Un |
{п = 1,2,...) равномер |
|
но ограничены. |
UN существует, то он яв |
|
|
Если сильный предел Р операторов |
|
ляется проекционным оператором (Я2 = Р), его область значе ний состоит из всех неподвижных точек оператора U (Ux = x). Область значений дополнительного проекционного оператора / — Р является замыканием области значений оператора / — U. Таким образом, справедливо разложение
E = PE + R ( I - U ) .
Классические эргодические теоремы связаны со следующей задачей. Пусть £2— некоторое множество, на а-алгебре 2 под множеств которого определена положительная мера ц. Для про
стоты изложения мера |
предполагается |
конечной. Пусть |
cp(s) |
||
(s <= £2) —- отображение |
£2 в себя. Это отображение порождает |
||||
на функциях, определенных на £2, оператор |
|
||||
|
Vf (s) = |
f Ms)). |
|
|
|
Если (р-‘( е ) е 2 при e e S |
и р(ф~‘(е)) = |
0 при р (е) = 0, то опе |
|||
ратор U будет действовать в пространстве S(Q) всех измеримых |
|||||
на й функций (см. гл. II, § 3). Если, кроме того, |
|
||||
sup |
М ф -1(е)) = М < оо, |
|
|||
е е ! |
|
\х(е) |
|
|
|
то оператор U будет линейным ограниченным оператором в про |
|||||
странствах LP(Q) (1 ^ |
р ^ |
оо) |
с нормой М1^. |
|
|
Задача состоит в нахождении условий существования пре |
|||||
дела средних U N о т оператора U. |
|
|
|||
Из приведенных выше фактов вытекает утверждение: |
Если |
||||
С т а т и с т и ч е с к а я |
э р г о д и ч е с к а я т е о р е м а . |
||||
отображение ф обладает свойством |
|
|
|||
п—1 |
|
|
|
|
|
-^^ р(ф -'(е))< М р(е), |
е е 2 , |
« = = 1 , 2 , . . . , |
|
||
/=О |
|
|
|
|
|
уо операторы UNy построенные по оператору Uf(s) = f (ф($)), сильно сходятся в пространстве Lp(£2), 1 ^ р < оо.
В частности, условия теоремы выполнены, если ф-1(2)с=2 и отображение ф' оставляет меру множества инвариантной:
мМ<0) =,Ф_1(е)- Первые эргодические теоремы относились к тому случаю,
когда £2 — фазовое пространство динамической системы, описы ваемой уравнениями Гамильтона. Движения системы опреде
ляют отображения фДя) фазового пространства |
в себя, причем, |
в силу классической теоремы Лиувилля, эти |
преобразования |
§ 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ |
139 |
оставляют инвариантным «фазовый объем», т. е. некоторую ме ру. Для величин f, связанных с динамической системой, важным является вопрос о существовании средних
т
П т _1 |
J f (фt («)) dt. |
Т - > оо т |
О |
Более общая ситуация возникает при рассмотрении однород ных марковских процессов. Здесь изменение системы не являет ся детерминированным, а лишь задается вероятность P(t,s,e) перехода системы из состояния s в одно из состояний множества е за время t. Функции P(t,s,e) удовлетворяют уравнению Че п мена — К о л м о г о р о в а
P(t + x, sf е)= J P(tf or, е)Р(т, s, da).
Каждая функция P(tySt e) порождает оператор
U(t)f(s)= j f (a) P(t, s, da).
Если, гамильтониан динамической системы не зависит от вре мени, то для соответствующих отображений ф/(фт(5)) =(p^+t(s).
Соответствующие операторы U(t) удовлетворяют полугрупповому соотношению U(t + т) = U(t) U(%). Ставится вопрос
о существовании предела
т
Пт U (t) f (s) dt.
Т- > ОО
Вначале этого пункта был рассмотрен дискретный аналог этой задачи, т. е. рассматривалась полугруппа степеней опера
тора и интегральное среднее заменялось средним арифметиче ским. Приведенные там утверждения обобщаются на сильно
непрерывные |
полугруппы |
U(t) |
(t > |
0) |
ограниченных |
операто |
ров. При этом предполагается, |
что |
функции U(t)x |
локально |
|||
суммируемы |
при любых |
х ^ Е |
и тогда |
определены ограничен |
||
ные операторы |
|
|
|
|
|
|
|
и тг — у- J U (t) х dt |
(0 < Т < оо). |
|
|||
|
о |
|
|
|
|
|
Получаемые из общих утверждений эргодические теоремы называются статистическими потому, что они устанавливают су ществование соответствующих пределов в интегральных метри ках пространств LP(Q). Более трудными, вообще говоря, яв ляются индивидуальные эргодические теоремы, устанавливаю щие существование соответствующих пределов почти во всех
140 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
точках фазового пространства £2. Ниже приводится точная фор мулировка статистической и индивидуальной эргодических тео рем для марковских процессов (в дискретном варианте).
Пусть на пространстве £2 с а-алгеброй множеств 2 и конечной
мерой ц определена функция P(t,sye ) ^ 0 (t > |
0, s е |
£2, е е |
2), |
|||||
удовлетворяющая требованиям: |
при |
любых |
t |
и s |
функция |
|||
P(t, s, е) абсолютно аддитивна относительно |
|
иР(^, s,£2) = |
||||||
= 1; при фиксированных t и е функция P(t,s,e) |
измерима по s; |
|||||||
выполнено уравнение Чепмена — Колмогорова; |
|
мера |
р инвари |
|||||
антна относительно P(t,s,e), т. е. |
|
|
|
|
|
|
||
J P(t, 5, е) dii(s) = |
ii(e). |
|
|
|
|
|||
Вводится оператор |
|
J f (or) |
|
|
|
|
|
|
u f( s )= |
P(l, |
s, da). |
|
|
|
|
||
С т а т и с т и ч е с к а я |
э р г о д и ч е с к а я т е о р е м а . |
Для |
||||||
любой функции f ^ L p ( Q ) |
(р= 1,2) существует предел по нор |
|||||||
ме пространства Lp(£2) |
(р = 1,2 соответственно) |
|
|
|
||||
И н д и в и д у а л ь н а я |
э р г о д и ч е с к а я т е о р е м а . Для |
любой функции feLi(£2) |
яочгц всюду существует конечный |
предел |
|
и, кроме того,
I f(s) d v = j r (s)d|l.
В ряде задач физики особенно интересен вопрос об условиях, при которых справедлива эргодическая гипотеза Больцмана
о том, что пределы f*(s), являющиеся средними по времени, рав ны средним по пространству. Если f*(s)= С/, то из последнего равенства вытекает, что
т. е. f* равно среднему по пространству от функции f.
Таким образом, для справедливости гипотезы Больцмана нужно, чтобы собственное подпространство оператора U, отве чающее собственному числу Я,= 1, было одномерным (и тогда оно состоит из констант). В марковских процессах это обеспе