§ 4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ |
141 |
чивается условием метрической транзитивности или неразложи мости процесса: й нельзя представить в виде объединения двух множеств положительной меры Й1 и Й2 так, чтобы P(l,s, е) = 0
для всякого s ^ Q i и е a£ij |
(i Ф j ) . |
|
|
Наряду со средними арифметическими Сх([/) = |
_1_ |
dt |
|
|
|
Т |
|
детально изучались также |
|
о |
порядка |
средние по Чезаро любого |
|||
а > О |
* |
|
|
|
|
|
|
Са (U) = аt |
а J(t — т)а 1U (т) dx |
|
|
о
и средние по Абелю
оо
A(U) = Я Je~XxU{x)dx.
О
Л и т е р а т у р а : [23], [27], [58].
§4. Интерполяция линейных операторов
1.Интерполяционные пространства. Для линейных операто ров, встречающихся в различных математических задачах, сама природа оператора (способ его аналитического задания) указы вает на достаточно широкое пространство (обычно линейное то пологическое пространство), к элементам которого можно пы таться применять этот оператор. Так, для интегрального опера тора таким пространством естественно считать пространство всех измеримых функций (см. гл. II, § 3, п. 1), для дифференциаль ного оператора — пространство обобщенных функций или рас пределений (см. гл, II, § 1, п. 3) и т. п.
Однако для исследования «количественных» свойств опера тора его обычно изучают в некоторых банаховых пространст вах £, содержащихся в указанном линейном топологическом пространстве 51. Теория интерполяции линейных операторов ста вит перед собою следующую цель: зная свойства линейного опе ратора в двух банаховых пространствах £о, £i а 51, найти его свойства в других банаховых пространствах Е а 51.
Пусть 51 — линейное топологическое пространство. Два бана ховых пространства Е0 и Eit вложенные (см. гл. I, § 4, п. 10) в пространство 51, называются интерполяционной парой. Линей ные многообразия Е0 Г) Е{ и £ 0 + £i наделяются нормами
II %ИкоПК! = |
(II %||£о>II Я \\Е^) |
(х ЕЕ EQГ) ^l)> |
II * ll*e+£, = |
inf (II *0 \\Ео+ II *1 У |
(xt=E0 + E{), |
142 |
ГЛ. |
III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
где infimum |
берется |
по всем представлениям * = *o4“ *i (*о е |
е £ 0, |
Пространства Е0 [} Е{ и Е0 + Е[ с этими нормами |
|
являются банаховыми.
Промежуточным пространством между Е0 и £i называется всякое банахово пространство £, для которого
Е0(]Е{с:Ес1Е0 + Е{
(знак с= здесь и в дальнейшем означает непрерывное вложение
(см. |
гл. I, § 4, п. 10)). В важном частном случае, |
когда Еi вло |
|||
жено |
в £ 0, для промежуточных пространств £ 0 =) £ |
£ ь Если |
|||
Е1 плотно вложено в £ 0, то и £ плотно вложено в £ 0. |
£o + £i, и |
||||
Если А — линейный оператор, |
определенный |
на |
|||
его сужения на £ 0 и £ г являются |
ограниченными операторами |
||||
в £ 0 |
и £i |
соответственно, то оператор А будет |
ограниченным |
||
в £o + £i |
и его сужение Ha.£of)£i будет также |
ограниченным |
|||
в Е0 П Ei.
Промежуточное пространство Е называется (линейным) ин терполяционным между Ео и Ei пространством, если оно инва риантно относительно всех операторов А описанного выше типа. При этом сужение каждого оператора Л на £ будет ограничен ным оператором в £, причем существует константа МЕ такая, что
II А \\Е'^ МЕшах (|| А ||£о, || Л у .
Легко проверяется, что можно положить MEof]E = MEo+jBi = l.
Говорят, что линейное интерполяционное между* £ 0 и £ i про странство £ имеет тип 0, если
\\A\\E^ C E\\A\\'-»\\A\f>Ei,
где СЕ не зависит от Л. Константа СЕ не может быть меньше единицы. Если СЕ = 1, то говорят, что пространство имеет нор мальный тип 0.
Л и т е р а т у р а : [61], [101], [102], [104], [142].
2.Вещественные методы конструирования интерполяционных
пространств. Для интерполяционной пары £ 0, £i на множестве £ 0 + £i вводится функционал
К (t. х) = inf (II х0II + t II *, L ) |
(xesE0+ Eu х0 е= Е0, *, е= Е{). |
При каждом х функция K{t,x) |
непрерывна, монотонно возра |
стает и вогнута. |
|
§ 4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ |
143 |
Пусть 0 < 0 |
< |
1. |
Через (£о, £i) е, р, к |
обозначается совокуп |
||
ность всех элементов из £ 0 + £i, для которых конечна норма |
||||||
|
|
j |
оо |
|
1 1/Р |
|
1х Ир,е,к = |
|
I I |
(г в К (*. *))" " Т |
[ |
ПРИ |
|
|
|
(о |
|
|
J |
|
II * lie - к = |
|
sup |
r^K(t, х) |
|
при р = оо. |
|
' И’ 4 |
|
0 < t <ОО |
|
|
||
Относительно |
введенных норм |
пространство (£о, £ 1) е, р, я — |
||||
банахово. Оно является промежуточным и интерполяционным между Е0 и Ei пространством с нормальным типом 0.
При р = оо |
можно тем же способом, что и выше, определить |
|||||||
пространства |
|
(£о, £ 1)0, оо, к |
и |
(£0, Ei) if 00, я. |
При |
этом £ocz |
||
cz (£0, £ 1)о, оо, я |
и £1 с= (£0, Ei)!, 00, я. |
определения |
пространств |
|||||
Имеется |
ряд |
других |
методов |
|||||
(£0, £ i)0, р,к- |
Один из них основан на введении функционала |
|||||||
J (t, х) = |
max (IIX \\Ео, |
t IIXу |
- (х е |
£ 0 п Е{). |
||||
Через (£0, £ 1) 0, p,j (0 < 0 < 1, 1<Ср^оо) обозначается сово купность всех элементов х е £ 0 + £ 1, для каждого из которых существует сильно измеримая функция u(t) со значениями в пространстве £о П Ei такая, что
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х — |
|
|
|
и |
| |
(Г 0/(/, |
u(t))Y^ - < ОО. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Пространство |
(£0, £ ^ 0, |
7 является |
банаховым с нормой |
|
||||||||
|
|
х Не,р,у= |
|
|
|
|
|
|
|1/р |
|
||
|
|
inf j I |
(Г е/(г, ц ( 0 ) Г 4 |
|
|
|||||||
где inf |
берется |
по |
всем |
представлениям |
х = |
|
|
|||||
При |
0 < 0 < |
1 |
и |
1 < р < о о пространства |
(£0, £ 1)0,р>к |
и |
||||||
(£0>Ei)e,P,j изоморфны. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При |
р = |
1 определяются |
также пространства (£0, £ 1)0,\,j |
и |
||||||||
(Е0, Et)u UJ. |
При |
этом |
(Е0, E X |
i,j(=E0 и (Е0, £*,),. i,JczE\.' |
|
|||||||
Важное |
значение |
имеет |
|
т е о р е м а |
о |
р е и т е р а ц и и : |
||||||
пусть £0 |
и F{ —•два |
банаховых пространства, причем |
|
|||||||||
(£0, £i)0o>1, / ^ ^0 ^ (£0, ^ 1)00. оо, к
а
(£0,£i)0j^ус:£jс:(£0,£0©!>0Q,/C
144 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Тогда при 0 < 0' < 1 и l ^ p ^ o o
(Л ), Л )е ', р, к ' = ^ ° ’ ^ е , р, к>
где 0 = (1 — 0') 0О+ 0'01» К' — функционал, построенный по про странствам Е0 и F[t и равенство понимается как изоморфизм.
Для применения теоремы о реитерации полезно отметить, что вложения (Е0, Ex)Qt u c F c (Е0, Ех)^ ^ к имеют место тогда и только тогда, когда норма в пространстве F а 91 удо влетворяет неравенствам
K (t, x)< icltQ\\x\\F(x <= F) и td\\x\\F^ c 2J (t, х) |
(xs=E0f]E{). |
При 0 < 0 < 1 и l ^ p ^ o o для пространства |
(Е0, Ех)в>P к |
справедливы последние неравенства и соответствующие вло
жения. |
Для |
пространства |
£ 0 они справедливы при 0 = |
0, |
для |
|||||||||
Е{— при 0 = |
1. |
плотно в пространствах £ 0 и Еь то сопряженные |
||||||||||||
Если Ео П Е1 |
||||||||||||||
пространства |
Ео и Е\ |
вложены |
в |
пространство |
(E ofl^i)7 и, |
|||||||||
следовательно, образуют интерполяционную пару. При 0 < |
0 < 1 |
|||||||||||||
и 1 ^ р < |
оо справедливо соотношение |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(*о, |
Е ^ |
р К = {Е\, |
Е'0\ _ д р, г |
|
|
|
||
Если Е0 и Ei рефлексивны, то |
(Ео, Ei) 0, р> к рефлексивно при |
|||||||||||||
0 < |
0 < |
1, |
1 |
< |
|
р < оо. |
|
S(Q,p0,E0',Q— \, р и Е{) |
|
(0 < |
||||
|
Под |
пространством средних |
|
|||||||||||
< 0 < |
1, 1 ^ |
|
ро, Pi < |
оо) |
понимают совокупность всех элемен |
|||||||||
тов |
х |
из |
Ео |
Ei, |
для |
которых |
существует |
представление |
||||||
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х== J* и (t) |
|
|
, где u(t) — сильно |
измеримая функция со значе- |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ниями в Ео П Ей обладающая свойствами |
|
|
|
|||||||||||
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
° ° |
|
|
|
|
|
|
/ [<в1“(()1Ь,Гт-<°° |
и |
J |
|
|
|
|
|
||||||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Пространство 5(0, ро, |
£<>; 0 — 1, Ри Ei) |
является |
банаховым от- |
|||||||||||
носительио нормы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
х h (0. ро.Ео]е~1, р, |
|
__ |
|
_ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Г |
Р | , Я | ) |
|
|
|
dt_ "i/Pi |
||||||
|
|
|
|
оо |
|
|
1/ро |
’ |
00 |
|||||
= |
inf шах | |
|
J [р\\итв,Г-т |
|
I r-1ii“Wyp' t |
|
\, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
) |
где inf берется по всевозможным представлениям x в указанном выше виде.
|
|
§ 4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ |
145 |
|||
Пространства средних определяются и для тех случаев, когда |
||||||
одно из чисел ро, Pi или оба они равны оо. В этом случае |
L p- |
|||||
нормы заменяются на vrai sup. |
|
|
|
|||
Пространства средних на самом деле зависят лишь от двух |
||||||
параметров: |
|
|
|
|
||
S (0, |
р0, Е0; |
0 — 1, р1э Е[) = |
S (0, р, £ 0; 6 “ |
1» Р> £|) = |
|
|
|
|
|
|
= |
S (0, р, Е0, Е{), |
|
где |
1/р = |
(1 — 0)/ро +0/рь |
Пространство |
S(0, |
р; £ 0, £i) |
изо |
морфно пространству |
(Е0, Е\)в,р,к (0 < 0 < 1, |
l^ p - ^ o o ) . |
Для р = 1 можно определить тем же способом пространства |
||
S(0, 1; Е0, Ei) и S(l, |
1; Е0, £i); при этом S(0, |
1; E0 Ei) совпа |
дает с замыканием Е0[) Ei в пространстве Е0, a S( 1, 1; Ео, £i) — с замыканием Е0 П Е{ в пространстве Еi.
Л и т е р а т у р а : [61], [101], [104], [145], [148], [149].
3. |
Комплексные |
методы. |
Пусть £ 0, Е{— интерполяционная |
||||||||
пара |
комплексных |
банаховых |
пространств. |
Рассматривается |
|||||||
пространство s£(Eo,Ei) всех |
функций ф(г) |
(0 sg: Re г ^ |
1) |
со |
|||||||
значениями в £ 0+ Ей голоморфных внутри полосы 0 < |
Re z < |
1, |
|||||||||
непрерывных и ограниченных в замкнутой полосе 0 ^ |
Re г |
< |
1. |
||||||||
При |
этом предполагается, что |
функция <р(/ + ix) |
(—оо < т < |
||||||||
< оо) принимает значения |
из |
Ej |
и непрерывна |
и ограничена |
|||||||
в Ej |
(1 = 0, 1). Пространство s£(Eo,Ei) является банаховым от |
||||||||||
носительно нормы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| ср\\л = |
шах I |
sup |
||ф(/ + гт)||я I. |
|
|
|
|
|||
|
|
/ = 0 , 1 [ - о о < Т < оо |
|
|
/] |
|
|
|
|
||
Через [£0, £т]е (0 < 0 < 1) обозначается |
множество всех эле |
||||||||||
ментов х<=Ео + Еи |
представимых |
в виде |
х = ф(0), |
где |
ф |
|
|||||
е S& (Ео, E i) . Пространство [EO, E I]Q становится |
банаховым, |
если |
|||||||||
в нем ввести норму по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
IIX||0 = |
inf |
II фIU. |
|
|
|
|
|
|
|
Пространство [£о, £i]e является |
промежуточным и интерполя |
||||||||||
ционным между Е0 и Е{ пространством с нормальным типом 0. Выполняется соотношение симметрии [Е0, Еi]0 = [Еи £ 0]i-e.
Пространство Е0 П Ei плотно вложено в [Е0, EI]Q (0 < |
0 < 1). |
|||||||
Если Ео П Ei плотно в пространствах Ej |
и одно из пространств |
|||||||
Ej рефлексивно, то сопряженное пространство^ |
[Ео, |
£T]Q |
изоме- |
|||||
трично |
пространству |
[Е\, £o]j_e. При |
этом |
все |
пространства |
|||
[£0, EI]Q (0 < 0 |
< 1) рефлексивны. Если |
Е0 ZD Еи то [£0>EJJ^ZD |
||||||
ZD [£0, |
(0 < |
0О< |
0i < 1). |
Справедлива т е о р е м а |
о ре н |
|||
те р а ц и и: |
[[£с» ^i]e0>[Ео, |
== l^o» Е{]д |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||