Материал: Функциональный анализ

то*он допускает расширение по непрерывности до ограниченного оператора, действующего из Lm ) (Q) в Lg(0)(£2i) (0 < 0 < 1), и при этом

где С(0)-> оо при 0->О w0-> 1 ( т е о р е м а М а р ц и н к е в и ч а ) . В условиях этой теоремы можно потребовать, чтобы исход­ ные неравенства выполнялись не на всех простых функциях, а лишь на характеристических функциях множеств конечной меры. Для сравнения теорем М. Рисса — Торина и Марцинкевича следует отметить, что при тех показателях pj, qj,‘когда послед­ няя теорема справедлива, в ней на оператор А налагаются мень­

С(0)).

Теоремы М. Рисса — Торина и Марцинкевича получаются из общих интерполяционных теорем для семейства Lpq(Q) с неко­ торыми потерями. Однако общие рассмотрения позволили вне­ сти в эти теоремы и существенные уточнения. Оказалось, что при

1 sg: ро < pi ^ оо и 1 < #о, qi ^ оо, q0 Ф qu из условий теоремы Марцинкевича вытекает, что оператор А может быть по непре­ рывности расширен до ограниченного оператора, действующего из пространства Lm)r(Q) в пространство Lg(0)r(Qi) (0 < 0 < 1, 1 ^ г ^ оо).

При некоторых ограничениях на меры в пространствах Q и Qi (например, меры непрерывны или чисто атомные с равными мерами всех точек)’, последнее утверждение является точным в следующем смысле: каковы бы ни были промежуточные меж­ ду Li(Q) и Loo(Q) (Li(£2i) и L«r(£2i)) пространства E(F) такие, что при некоторых 0 ^ (0,1) и г^[1,оо] пространство Lp^ )r(Q) вложено в £, а пространство F вложено в Lq(Q)r(Qi) и хотя бы одно из этих вложений не тождественное, найдется оператор Л, удовлетворяющий условиям теоремы Марцинкевича, который не может быть расширен по непрерывности до ограниченного опе­ ратора из Е в F.

В последнее время получены обобщения приведенных интер­ поляционных теорем в некоторых классах симметричных про­ странств измеримых функций (см. гл. II, § 3, п. 4). Пусть Е —

симметричное пространство функций на пространстве £2 с непре­ рывной мерой, норма в котором задается формулой

№ = Ф ( * т

где Ф — функционал, определенный на всех неотрицательных функциях на (0, оо) принимающий конечные или бесконечные значения. Предполагается, что выполнено следующее условие:

*<=£, где ср(К)— фундаментальная функция пространства Е. Условие а) выполнено в пространствах Lp, Лоренца, Марцинкевича, Орлича.

Рассматривается совокупность Еа, 3 всех измеримых на £2i функций, для которых

Ф а.р(У )=Ф (/(*а)*“Р)< ° о .

Пусть линейный оператор А является ограниченным опера­ тором, действующим из любого пространства LV^ )(Q) в L(/(e)(Qi)

метричном пространстве, удовлетворяющем условию а), фунда­

% 1~ ь '

При этом

'а.1 (АхХС(Е)\\х\\в.

Функционал Фа, з(у), вообще говоря, не является нормой, но в пространстве Еа>3 можно ввести норму, эквивалентную функ­

= [0, 1]) получается важное утверждение: для того чтобы вся­ кий линейный оператор, непрерывно действующий в каждом

ровкой пространства.

Из этих соотношений, в частности, видна неэквивалентность ве­ щественных и комплексных методов интерполяции.

Интерполяционные методы нашли широкое применение в раз­ личных задачах теории уравнений в частных производных (см , например, теоремы о гомеоморфизмах в § 6, п. 5).

Л и т е р а т у р а : [102], [104].

§5. Линейные интегральные операторы

1.Общие свойства линейных интегральных операторов. Пусть

Qi и Q2 — два ограниченных замкнутых множества конечномер­ ных пространств. Под мерой на этих множествах понимается мера Лебега. Пусть £-—идеальное пространство измеримых функций, определенных на Qu £ — идеальное пространство функ­ ций, определенных на Q2 (см. гл. II, § 3). Действующий из £ в F линейный оператор К называется интегральным оператором, если он допускает представление

Кx(t)= Jk(t, s)x(s)ds;

Q,

здесь k(t, s)— измеримая по совокупности переменных функция, называемая ядром интегрального оператора К.

Интегральные операторы, действующие из одного идеального пространства в другое, обладают многими важными свойствами.

В частности, каждый действующий из Е в F линейный инте­

оператор /С1 называется двойственным к оператору К. Он, оче­ видно, является сужением на F1 сопряженного к К оператора К если последний преобразует F1 в £*. Оператор К1 не обязатель­ но сам является интегральным даже для случая, когда Е = F =

который в отличие от оператора К действует из пространств функций, определенных на Q2, в пространства функций, опреде­

двух действующих из Е в F линейных интегральных операторов с положительными ядрами. Условие регулярности К равносиль­ но тому, что К преобразует множества пространства £, ограни­ ченные по упорядоченности, в множества пространства F, также ограниченные по упорядоченности. Действующий из Е в F ли­ нейный интегральный оператор К с ядром k(t,s) является регу­ лярным в том и только том случае, когда из Е в F действует линейный интегральный оператор \К\:

\ K \ x ( t ) = j | k(ty s) \х (s) ds.

£2]

Для регулярных интегральных операторов транспонированный всегда действует из F1 в Е1, и поэтому для регулярных инте­ гральных операторов двойственный оператор также является интегральным.

Через Q(E, F) обозначается совокупность всех функций z(t,s) двух перемейных ^е 02, S G QI, для которых линейный интегральный оператор с ядром \z(t, s)\ действует из Е в F. Очевидно, Q(£, Е) является линейным пространством, которое превращается в идеальное, если в нем ввести норму

Если пространство F — совершенное, то эту формулу можно писать в виде

II г II0 ( Е F ) = sup f f \z(t, s)\x(s)y{t)dsdt.

Пространство Q(£, F) называют пространством ядер опера­ торов, действующих из Е в F.

Ниже через PD, Р& и Ps обозначаются операторы умножения нахарактеристические функции хя, х<? и xs множеств D с= Qb

^ С= й2 и S С= Й2 X Яь

Интегральные операторы, действующие из одного идеального пространства в другое, обладают некоторыми специальными Свойствами компактности. Оказывается, что действующий из