Материал: Функциональный анализ

пространства Е в пространство F линейный интегральный опе­ ратор К преобразует множества из пространства £, ограничен­ ные по упорядоченности (а если пространство Е1— правильное, то и множества, ограниченные по норме), в множества, компакт­ ные по мере. При несущественных дополнительных ограничениях интегральные операторы оказываются вполне непрерывными. На­ пример, для полной непрерывности действующего из Е в F ли­ нейного интегрального оператора К достаточно выполнения од­ ного из условий:

Линейные интегральные операторы с такими ядрами называются абсолютно компактными. Так как [Q(£, Z7)]0— идеальное прост­ ранство, то имеет место следующий принцип мажорантности свойства компактности линейных интегральных операторов: если

и оператор Ко с ядром k0(t,s) абсолютно компактен, то и опера­ тор К с ядром k(t,s) абсолютно компактен.

Л и т е р а т у р а : [2], [28], [100], [114], [122], [146].

2.Линейные [/-ограниченные и [/-неограниченные операторы.

Ксожалению, неизвестно описание в простых терминах необхо­ димых и достаточных свойств функции k(t, s), при наличии ко­ торых линейный интегральный оператор К с ядром k(t, s) дей­ ствует из данного идеального пространства Е в другое идеаль­ ное пространство F\ неизвестно и простое описание пространства ядер Q(£, F) регулярных интегральных операторов К, действую­ щих из Е в F. В связи с этим представляют интерес различные достаточные признаки того, что интегральный оператор К с яд­ ром k(t,s) действует из пространства Е в пространство F.

Приводимые в настоящем пункте достаточные признаки дей­ ствия интегрального оператора из одного пространства в дру­ гое выделяют два важных класса линейных интегральных опе­

раторов.

Действующий из пространства Е в пространство F линейный оператор К называется U-ограниченным, если он преобразует множества из пространства £, ограниченные по норме, в множе­ ства пространства F, ограниченные по упорядоченности; U-огра­ ниченность оператора К равносильна неравенству

| Кх (0 | < «о(ОIIX ||в (* «= Е),

где Uo(t)— некоторая функция из F. Ясно, что каждый линейный {/-ограниченный оператор непрерывен.

Пусть М и N — идеальные пространства функций, определен­

странства Е каждый действующий из Е в F линейный {/-ограни­ ченный и обладающий двойственным оператор К является ин­ тегральным. В частности, каждый линейный непрерывный опе­ ратор /С, действующий из правильного пространства Е в является интегральным.

Действующий из Е в F линейный интегральный //-ограни­ ченный оператор К вполне непрерывен, если Е1 и F — правиль­ ные пространства.

Действующий из'пространства Е в пространство F линейный

*) Пространство E называется квазиправильным, если в нем по мере плотно подпространство Е° функций с абсолютно непрерывной нормой.

158 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

где Vo— некоторая функция из Е1. Ясно, что каждый линейный £/-коограниченный оператор непрерывен.

Линейный интегральный оператор К с ядром /(({, s) дейст­ вует из £ в F и tZ-коограничен; если k(t, s) е{Е, Е1}. Более того, действующий из Е в F линейный интегральный оператор К яв­

ляется интегральным. В частности, каждый линейный непре­ рывный оператор, действующий из пространства Li в простран­ ство Е, дополнительное к которому правильное, является интег­ ральным.

Действующий из Е в F линейный tZ-коограниченный опе­ ратор К вполне непрерывен, если Е1 и F — правильные про­ странства.

Свойства {/-ограниченности и {/-коограниченности линейных операторов двойственны друг другу: линейный интегральный оператор {/-ограничен в том и только том случае, когда двой­ ственный оператор {/-коограничен.

Ли т е р а т у р а : [28], [100], [119], [124].

3.Резольвента (Фредгольма) линейного интегрального опе­ ратора. Пусть К\ —линейный интегральный оператор, действую­ щий из идеального пространства Е функций, определенных на

на Й3. Действующий из £ в G линейный оператор К = КгК\ не обязательно является интегральным. Но если Ki и Кг — регуляр­ ные интегральные операторы, то и К является интегральным оператором, и его ядро k(t, s) определяется равенством

где ki(t,s) и kz{tys)— ядра интегральных операторов К\ и Кг- В частности, для линейного регулярного интегрального опе­

ратора /С, действующего в пространстве Е, итерации Кп также являются линейными интегральными операторами с ядрами

Пусть К — регулярный интегральный оператор, действующий в идеальном пространстве Е. Оператор

Е(Я, K) = hKR% {К),

определенный при всех X из резольвентного множества Л(/С) оператора К (см. гл. III, § 2), принято называть резольвентой Фредгольма оператора /С; обычная резольвента R\{K) выра­ жается через резольвенту Фредгольма равенством

= + К)1

|Я|>г(|А|), в котором ядро /(Я; i,s) представимо в виде ряда

оо

l(X, ty S) == дТГ kn+ \ ify ^),

/г=0

также сходящегося в норме Q(£, Е).

Множество А°(^С) совпадает с резольвентным множеством оператора /С, если некоторая итерация Кп оператора К является ^/-ограниченным оператором. Подобная ситуация имеет место

всегда для важного класса операторов типа потенциала (см. п. 6), для функций Грина дифференциальных операторов и т. д.

Ли т е р а т у р а : [124], [152]

4.Интегральные операторы с симметричным ядром. В этом пункте рассматриваются некоторые специальные свойства инте­ гральных операторов

Кх (t) = J k (ty s) x (s) ds Q

с симметричным ядром k(tyS) : k(t, s) = k(s,t). Предполагается, что оператор К действует из двойственного к некоторому иде­ альному пространству Е пространства Е1 в Е. В этом случаеоператор К обладает свойством симметричности:

x(t) dt.

Оператор К называется положительно определенныМу если

(х е Е').

Оператор К положительно определен, если он допускает рас­ щепление

К = СС\

где С — действующий из L2 в Е оператор, а С1— двойственный С оператор, действующий из Е1 в L2. Верно и обратное утверж­ дение, если только множество функций D0 = {х G L2: Кх е Ь2} имеет носитель, совпадающий с носителем пространства Е\ посреднее, в частности, имеет место всегда, когда Е ^ L2.

Пусть К — положительно определенный и симметричный ин­ тегральный оператор. Тогда операторы С и С1 обладают важ­ ными специальными свойствами компактности: оператор С пре­

в множества, компактные в L2. Если К как оператор из Е1 в Е вполне непрерывен, то вполне непрерывны и операторы С и С1 как операторы соответственно из L2 в Е и из Е1 в L2. Следует отметить, что достаточным условием полной непрерывности опе­ ратора К является условие

Hm \\PDKPD\\ = 0. mes D->0

Если Е — правильное пространство, это условие является и не­ обходимым для полной непрерывности К•