§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
161 |
Оператор С, вообще говоря, не является интегральным. До статочным условием того, что оператор С допускает интеграль ное представление, является неравенство
I k(t, s ) \ ^ u 0(t)u0(s),
где u0(t)— некоторая измеримая функция. Ядро c(t, s) опера тора С при этом удовлетворяет оценке
Q
Если К вполне непрерывен’как оператор в L2, то это же условие может быть выражено неравенством
оо
где ^i, . . . , Кп— собственные значения К, a ei(t), ... ,en(t), ... — отвечающие им собственные функции. Другим достаточным ус ловием того, что С допускает интегральное представление, яв ляется ядерность оператора К (см. гл. I, § 5, п. 7).
Ли т е р а т у р а : [124], [125], [129].
5.Интегральные операторы в пространстве непрерывных
функций. Пространство C(Q) непрерывных функций не является идеальным. Однако оно является замкнутым подпространством идеального пространства Loo(Q) и поэтому многие изложенные выше утверждения переносятся на операторы, действующие из идеального пространства Е в пространство C(Q2). Для опера торов, действующих в пространство С, можно дать полное опи
сание.
Линейный интегральный оператор
|
|
Кx (t)= |
J k(t, s)x(s)ds |
|
|
|
|
|
Q, |
|
|
с ядром k(t, s) |
действует |
из пространства |
Е в пространство |
||
С ( Q 2) |
в том и только том случае, когда выполнены условия: |
||||
а) |
при всех |
функция |
k(t, s) принадлежит простран |
||
ству Е4; |
|
|
ограничена; |
|
|
б) |
функция щ (t) = \\k (t,s) \\Е' |
D a Qi и любого |
|||
в) |
для любого измеримого подмножества |
||||
^ Й2 справедливо равенство
162 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
При выполнении этих условий оператор К непрерывен и IIК 11= sup || k(t, s) ||g,.
При этом оператор К вполне непрерывен в том и только том случае, когда выполнено более сильное, чем в), условие
lim || k (/, s) — k (t0 s) ||£1 = 0.
Сформулированные утверждения полностью описывают опе раторы, действующие из £ в С. Следует, наконец, заметить, что операторы, действующие в пространстве С(£2), всегда можно рассматривать и как операторы, действующие из L o o ( £ 2 ) в С ( £ 2 ) .
Л и т е р а т у р а : [133].
6. Важные примеры линейных интегральных операторов.
В настоящем пункте описываются функциональные простран ства, в которых действуют классические интегральные операторы.
1. О п е р а т о р ы типа п о т е н ц и а л а . На функциях, оп ределенных на ограниченном замкнутом множестве £2 я-мерного пространства, рассматривается линейный интегральный опера тор К с ядром
k (tt s) |
q (t, s) |
|
|
\t — s\ |
|
|
|
где X— некоторое число, удовлетворяющее |
неравенствам 0 < |
||
< X < Пу a q(tyS) — непрерывная |
при |
t Ф s |
функция, удовлет |
воряющая при любом е > 0 условиям |
|
|
|
Нш| f — sfq(t, s) = 0, |
|
||
e->s |
|
|
|
lim | ^ — s r ^ ( < , s) = |
oo. |
|
|
t - > S |
|
|
|
Говорят, что оператор К имеет показатель Xf если
0 < m ^ q (ty s) ^ М < оо;
показатель X— 0, если
\\mq(ty s) = 0, t->s
и показатель Я + 0, если
lim <7(t, s) = оо.
t - > S
К операторам типа потенциала относятся функции Грина эллип тических дифференциальных операторов.
Оператор типа потенциала К с показателем X всегда опреде лен на пространстве Li и преобразует его в пространство Мар-
|
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
163 |
цинкевича |
где ф = tk/n, и, тем самым, в любое Lp с |
1/р > |
>Х/п.
В дальнейшем в связи с идеальным пространством Е будет
использоваться пространство Ек, которое состоит из всех изме римых на Q функций, для которых конечна величина ||X*(T)T_;I||E, где х*(т)— перестановка функции x(t).
Оператор К типа потенциала с показателем X действует из
каждого |
пространства |
£, |
вложенного в |
пространство Лоренца |
с ф = |
^i-Vn (в частности, из любого |
симметричного прост |
||
ранства Е с условием |
а) (см. § 4, п. 5, стр. 152), фундаменталь |
|||
ная функция которого удовлетворяет условию |
||||
|
|
Игл |
Ф(20 ^ 2 i—Vtt |
|
|
|
t->о |
ф(0 |
|
в пространство С и вполне непрерывен. Из любого симметрич ного пространства Е, фундаментальная функция которого удов летворяет условию а) и условию
2 l ~ V n < l im |
Ф(20 |
< 2 , |
*-»о |
ф (0 |
*->0 Ф(0 |
он действует в пространство Е%и непрерывен (но не вполне не прерывен) .
Оператор К типа потенциала с показателем X— 0 действует из каждого симметричного пространства Е, фундаментальная функция которого удовлетворяет условию
п— (D(21) < 2l~Vn,
в пространство С и вполне непрерывен. Из любого симметрич ного пространства Е с условием а), фундаментальная функция которого удовлетворяет условию
2i-tyrt < |
ijm ф(20 |
< 2 , |
|
|
ТТо Ф(0 |
ф(0 |
|
он действует в пространство Е% и вполне непрерывен. |
|||
Наконец, оператор |
К типа |
потенциала |
с показателем X + 0 |
действует из каждого симметричного пространства £, фундамен тальная функция (p(f) которого удовлетворяет условию
lim ф(2<) < 21—V»,
t—^ о Ф(0
в пространство С непрерывных функций и вполне непрерывен, а из симметричного пространства Е с условием а), фундамен тальная функция ф(0 которого удовлетворяет условию
ol-JL/n ^ Ф(20 ^-TTZ: ф(2<) ^ Г>
164 |
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
|
в каждое |
пространство |
с р, < X и также |
вполне непре |
рывен. |
|
|
Так называется |
2. О п е р а т о р Р и м а н а — Л и у в и л л я . |
|||
линейный интегральный оператор, действующий, например, на функциях, определенных на [0, 1], с ядром
k |
Г гЦ - з Г \ |
если |
0 |
^ |
t ^ |
1, |
|
О, |
если |
0 |
< |
s ^ |
1. |
||
|
Число г > О называется порядком оператора Римана — Лиу вилля.
Оператор Римана — Лиувилля действует в каждом симмет ричном пространстве Е с условием а), фундаментальная функ ция которого удовлетворяет условиям
|
1 < lim -2^ - < lim |
< 2; |
|
|
Ф (0 |
|
Ф(0 |
он не является вполне непрерывным. |
|
||
3. |
О п е р а т о р Харди. |
На функциях на [0, 1] определяется |
|
интегральный оператор с ядром |
|
|
|
|
k |
если |
|
|
если |
0 ^ t < s ^ 1. |
|
|
0, |
||
Он действует в каждом симметричном пространстве Е, фунда ментальная функция которого удовлетворяет условиям а) и
21-г < lim |
Ф (20 < П т |
ф(-^- < 2 , |
*-»о |
Ф (0 |
ф(0 |
итакже не является вполне непрерывным.
Ли т е р а т у р а : [53], [123], [136], [138].
7.Сингулярный интегральный оператор. Ядра сингулярных интегральных операторов имеют несуммируемые особенности. Простейший пример такого оператора дает преобразование
Гильберта |
х |
|
|
Кх = |
I |
x(s) |
ds, |
t — S |
где интеграл понимается в смысле главного значения. Оказывается, что этот оператор является ограниченным опе
ратором, действующим из Lp{—00, 00) в Lp(—00, 00) при 1 < < р < оо. Более того, он действует в любом симметричном пространстве с условием а), для фундаментальной функции ко торого справедливы неравенства
7^0 |
t->o Ф(0 |
§ 6. ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ |
165 |
Многомерным (п-мерным) сингулярным оператором назы вается интегральный оператор с ядром вида
*«• * ) ~ £1T==PL.
где q(t, т) как функция второго аргумента т является однород ной функцией нулевой степени, интеграл от которой по единич
ной сфере S равен нулю. Если интеграл от \q{t, х)\р по сфере S равномерно по t ограничен, то сингулярный оператор является ограниченным оператором из Lv (Rn) в Lv (Rn) при 1 < р < оо (1/р + 1/р'= 1) ( К а л ь д е р о н — Зиг му нд ) .
§6. Операторы, порожденные краевыми задачами
1.Эллиптическое дифференциальное выражение. Рассматри вается дифференциальное выражение порядка г с постоянными коэффициентами
|
A(D )= |
2 , |
aaDa, |
|
|
| a | < r |
|
|
|
где a = (ai, |
a„) — мультииндекс, | a | = aj + |
a2 + ... + a„, |
||
Da= |
... D*n\ Dk = id/dxk (k = |
l , 2 , n ) , x = (xu ...,x n) - |
||
точка /г-мерного пространства |
Rn, aa — заданные |
комплексные |
||
числа. |
|
|
|
|
Главной частью дифференциального выражения называется выражение
A '(D )= 2 aaD \
la |= r
Каждому дифференциальному выражению ставится в соот ветствие однородный многочлен от п вещественных переменных
(£ь |
• • •» |
£п) = |
I |
|
|
|
Л '(1)= 2 а«Г\ |
где |
f = |
... |
| a l=r |
?«. |
Дифференциальное выражение A(D) называется эллиптиче ским, если Л'(£) Ф 0 при любом \ Ф 0.
Если п > |
2, |
то |
порядок эллиптического выражения четен: |
||
г = 2т. При |
п = 2 этого может не быть. Например, оператор |
||||
Коши — Римана |
д |
|
д |
эллиптичен и порядка 1. |
|
- ^ - + г |
|
||||
Функция Л'(£' + |
т£") |
при фиксированных линейно независи |
|||
мых векторах |
|
и |
не обращается в нуль при вещественных т. |
||
Как многочлен от т она имеет г комплексных корней. Диффе ренциальное выражение A(D) называется правильно эллипти ческим, если г = 2т и при любых линейно независимых и