166 |
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
|||
многочлен |
А'(%' + т£77) имеет |
ровно т корней |
x f (£', £77), ... |
||
|
l 7') с положительной |
мнимой частью |
(и значит, столь |
||
ко же с отрицательной). |
эллиптическое |
выражение является |
|||
Если п > 2, то каждое |
|||||
правильно |
эллиптическим, |
при п = 2 это |
также имеет место, |
||
если коэффициенты A'(D) вещественны и г = 2т.
Выражение A(D ) при г — 2т называется сильно эллиптиче ским, если существуют комплексное число у и константа а > О такие, что
Re (уЛ7 (I)) > а | £ |2т при любом l ^ R n-
Если коэффициенты эллиптического выражения A'(D) веще ственны, то оно является сильно эллиптическим.
Пусть теперь £2 — ограниченная область в Rn с границей Г, представляющей собою бесконечно дифференцируемое многооб разие размерности п — 1. Предполагается, что £2 локально ле
жит по одну сторону от |
Г. Пусть в замкнутой области |
£2 = £2 U |
U Г заданы бесконечно |
дифференцируемые функции |
аа(х) *). |
Дифференциальное выражение
A (x ,D )= 2 aa(x)D*
ICt | < Г
называется эллиптическим, правильно эллиптическим, сильно
эллиптическим в £2, если при каждом фиксированном х0 |
£2 вы |
ражение 2 aa{x0)Da с постоянными коэффициентами |
соот- |
I«| <г |
|
ветственно эллиптично, правильно эллиптично, сильно эллип тично.
Ли т е р а т у р а : [3], [102].
2.Граничные дифференциальные выражения. Регулярная эл липтическая краевая задача. Выражение вида
B(s, D )= 2 bAs)D*,
I P | < m
где bji(s) — заданные на границе Г бесконечно дифференцируе мые функции, называется граничным дифференциальным выра жением.
Говорят, что система из m граничных дифференциальных вы ражений
B,(s, D )= 2 b,As)D р |
0 = 0, .... m - 1 ) |
l P |< my |
|
*) Бесконечная дифференцируемость границы и коэффициентов предпо ложена для упрощения изложения.
|
§ 6. ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ |
|
167 |
|||||||
накрывает дифференциальное выражение А(х, D) или |
удовлет |
|||||||||
воряет условию дополнительности по отношению к |
А(х, D), |
|||||||||
если выполнено следующее: пусть для |
каждой точки |
границы |
||||||||
s е Г через v обозначен |
орт нормали к поверхности |
Г, а через |
||||||||
g — какой-либо |
касательный |
вектор в этой точке s, |
тогда |
мно |
||||||
гочлены |
B'j (s, |
g + |
T V ) о т |
переменного х должны быть линейно |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
независимыми |
по модулю |
многочлена |
П (т — х+ (s, D), |
где |
||||||
хt (5, g) — все корни многочлена |
(s, g + |
1=1 4 |
|
' |
|
|||||
tv), имеющие положи |
||||||||||
тельную |
мнимую |
часть |
(другими |
словами, никакая |
линейная |
|||||
комбинация многочленов |
B/(s, g + tv) |
с ненулевыми |
коэффи |
|||||||
циентами не делится на этот многочлен). |
|
|
важную |
|||||||
Алгебраические |
условия |
дополнительности играют |
||||||||
роль и служат для согласования дифференциальных выражений
внутри области и на ее границе. |
|
(А,В) \ |
|
||
Будет рассматриваться краевая задача |
|
||||
А(х, D)u = f |
в |
Q, |
|
|
|
Bj(s,D )u = gj |
на |
Г |
(/ = 0, |
... , tn — 1). |
|
Система граничных выражений |
B?(s, D) (/ = 0, |
m — 1) |
|||
называется нормальной, если порядки mj этих операторов все
различны, не превосходят 2m — 1 и |
2 |
&/« (s) v^^O |
при любой |
||
|
IP |
\=rnJ |
|
|
|
s e Г и нормальном к Г векторе v. |
|
Л (х, D) |
правильно эл |
||
Если дифференциальное выражение |
|||||
липтично |
в £2, а система граничных операторов |
Bj(s,D) ( / = |
|||
= 0, . . . , |
m — 1) нормальна и удовлетворяет условию дополни |
||||
тельности, |
то краевая задача {А, В) |
называется |
регулярной |
||
краевой эллиптической задачей.
Для всякого правильно эллиптического дифференциального выражения А (х, D) регулярной краевой задачей является задача Дирихле, поставленная с помощью граничных выражений
B,(s, 0) = £ ,
где д — производная по внутренней нормали в точке s.
Ли т е р а т у р а : [3], [102], [115], [147].
3.Формула Грина и формально сопряженная задача. На финитных в области Q функциях справедливо тождество
J* Auv dx — J uA*v dx,
G G
где выражение
A* {x, D )v = 2 Da (aa (x) v)
168 ГЛ. Ill, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
называется сопряженным дифференциальным выражением
к A(x,D ). Иногда удобно исходное дифференциальное выраже ние записывать в виде
|
|
|
|
А (х, D) = |
2 |
|
Dy {ауй (х) D6), |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 П | в | < т |
|
|
|
|
|
|
|||
и тогда сопряженное выражение имеет вид |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
A*(x,D )= |
2 |
|
Dy{a6y(x)D6). |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1Yl, |
I <5| < m |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть A(x, D) — эллиптическое дифференциальное |
выраже |
|||||||||||||
ние |
и |
Bj(s, D) — нормальная |
система |
граничных |
выражений. |
|||||||||
Тогда |
можно |
(не |
единственным |
образом) найти |
нормальную |
|||||||||
систему |
граничных |
выражений |
Sj(s,D) |
(1 = |
0, ..., |
т — 1) по |
||||||||
рядков |
|
(таким |
образом, |
что |
порядки |
системы |
выражений |
|||||||
{В0, |
|
|
Вт-ь |
S0, |
Sm_\} |
пробегают |
|
все |
числа |
от |
0 до |
|||
2т — 1). |
По |
выражениям В} и Sj уже единственным образом |
||||||||||||
строятся |
нормальные системы граничных |
выражений |
B f |
и S f |
||||||||||
( / = |
0, |
|
т — 1), |
обладающие |
свойствами: порядок B f |
ра |
||||||||
вен 2т — 1 — p,j, порядок S f |
равен 2т — 1— тj и для любых |
|||||||||||||
бесконечно дифференцируемых в £2 функций справедливо то
ждество
m—1 ___ т —1 ____
J Auvdx— J uA*v dx = ^ J SjuBfvds — ^ J BfuSfvds.
Q Q /=о г /=о г
Это тождество называется формулой Грина, система выраже
ний B f (s, D) называется сопряженной системой к системе Bj(s, D). Сопряженная система определяется неоднозначно, но все сопряженные системы эквивалентны в следующем смысле:
если Bf (s, D) и B f (s, D) —две сопряженные к Bj(s,D) систе мы, то множества всех бесконечно дифференцируемых функций,
удовлетворяющих условиям |
B f u — 0 |
(/ = 0, . |
. m — 1) или |
|||
Bfu = 0 (/==0, |
m — 1) совпадают. |
|
(Л+, В+) к исход |
|||
Формально сопряженной краевой задачей |
||||||
ной называется задача |
|
|
|
|
|
|
А+ (х, D ) v = f |
в |
й, |
|
|
|
|
B f (s, D) v = gf |
на |
Г (/ = |
0, . . |
т |
— 1). |
|
Если исходная |
задача |
является регулярной |
эллиптической, |
|||
то и сопряженная является регулярной эллиптической. Сопря женной к задаче Дирихле является задача Дирихле для сопря женного дифференциального выражения.
Л и т е р а т у р а : [3], [102], [143], [147].
|
§ 6. ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ |
169 |
4. |
Неравенства коэрцитивности. Нетеровость эллиптических |
|
задач. Операторы, порождаемые на бесконечно дифференцируе
мых функциях |
и(х) выражениями А(х, D) |
и {Bj (si £))}, отобра |
|||
жают каждую такую функцию |
в набор |
из т + 1 функций f = |
|||
= Л(х, D)u и |
gj(s) = B^s, D)u |
(/ = 0, |
..., т — \) и опреде |
||
ляют оператор |
91 (Л,В): и-* {/,go,. . . , gm- 1}. |
|
|
||
Вопрос о разрешимости краевой задачи сводится к описа |
|||||
нию линейного |
множества правых-, частей |
(f, go,..., gV-i}, |
при |
||
надлежащих области значений |
оператора |
51 (Л,В). При |
такой |
||
постановке вопроса правые части могут быть только бесконеч но дифференцируемыми, однако для многих практических целей этого недостаточно. Поэтому в множестве наборов {/, g0, ...
gm-\] е С00 (Q) X с°° (Г) X ... ХС°°(Г)_вводят какую-либо нор
му, в пространстве функций |
и ^ С °°(Q)— другую норму, по |
|
полняют |
эти множества до |
банаховых пространств, оператор |
91 (Л, В) |
замыкают как оператор из одного пространства в дру |
|
гое и после этого пытаются описать областы значений полу ченного замкнутого оператора. _
Поскольку множества С°° (Q) и С°° (Г) входят во все есте ственные функциональные пространства, то выбор пространств, в которых исследуется краевая задача, чрезвычайно разнооб
разен. Здесь будут за основу взяты шкалы пространств Hlp(Q)
и Blp{T) (1 < р < оо) (см. гл. II, § 1, п. 5). Замыкание опе ратора 91 (Л, В) в различных пространствах будет обозначаться теми же буквами, это замыкание часто достигается переходом в выражениях для Л(х, D) и {Bj(s, D)} от обычных производных
к обобщенным.
Для решений регулярной эллиптической краевой задачи справедлива априорная оценка, получившая название «нера
венство коэрцитивности»: при любом |
и р е(1 ,о о ) |
\ |
|
/ |
т-1 |
|
|
l^ ||H2m+s(Q)^ C s , p(jl А ц \ |
Bj U \\B2m-mr l/p+s + II U |Ц |
(Q) |
|
(производные в выражениях Л и Bj понимаются как обобщен ные). Из неравенств коэрцитивности для данной задачи и для формально сопряженной задачи вытекает основное утверждение (см. § 1, пп. 6, 7) замыкание оператора 91 (Л, В) как оператора,
действующего из пространства H2pm+S (Q) в пространство
|
m—1 |
|
Яр (Q) X |
Г1 Blmmr ' lP+s (Г) |
(S > 0), |
|
/=0 |
|
является нетеровым оператором. |
91 (Л, В) конечномерно |
|
Нуль-пространство |
Л/(91) оператора |
|
и состоит из бесконечно дифференцируемых функций, следова тельно, его размерность не зависит от s ^ 0.
170 |
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
Область |
значений оператора |
51 (А, В) описывается следую |
щим образом: рассматривается |
нуль-пространство N (%+) фор |
|
мально сопряженного оператора |
Й(Л+, В+), состоящее также из |
|
бесконечно дифференцируемых функций. Область значений опе
ратора 51 (А, В) состоит из тех |
и только |
тех наборов |
||
|
|
|
m—1 |
|
ф = ff, Яо. . • •, |
gm-1>€= HI (Q) X |
П |
B T 'mr llp+s (Г), |
|
Д Л Я которых |
|
|
/=о |
|
|
т—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(ф, v) = |
J fV dx + |
J SjSfv ds = 0 |
||
|
Q |
/ = 0 Г |
|
|
при любой yejV (5l+) |
(здесь операторы S f те же, что и в фор |
|||
муле Грина, см. п. 3). |
|
|
задача разрешима, если |
|
Таким образом, исходная краевая |
||||
набор Ф правых частей удовлетворяет конечному числу усло вий ортогональности (Ф, vh) — 0, где vk — какой-нибудь базис в конечномерном пространстве N( 51+).
Нетеровость оператора 51(А,В), отвечающего эллиптической краевой задаче, установлена в тех же пространствах (при до статочно большом s) также и в том случае, когда система гра ничных выражений {Bj(s, D)} не обладает свойством нормаль ности. Здесь сопряженная задача уже не будет дифференциаль ной. Доказательство я-нормальности получается снова из неравенства коэрцитивности. Для доказательства конечности дефекта области значений либо устанавливается аналогичное неравенство для сопряженного оператора, действующего в со пряженных пространствах (с отрицательными индексами), либо строится правый регуляризатор (см. § 1, пп. 5, 6, 9, 10).
Ли т е р а т у р а : [3], [102], [115], [132].
5.Полный набор гомеоморфизмов, осуществляемых эллипти ческим оператором. Для регулярной эллиптической задачи мо жно ввести оператора ортогонального проектирования (в смысле обычного скалярного произведения функций в Q) параллельно
подпространству N( 51). Оказывается, что оператор Р действует
и непрерывен во всех пространствах Hlp(Q) (— оо < / < оо) *). Аналогично можно ввести оператор ортогонального проектиро вания Q+ (в смысле скалярного произведения (Ф, v), введенного
*) Если не оговорено противное, то под |
пространством |
Нр (й) (Hsp (Г)) |
с отрицательным s понимается сопряженное пространство ко |
всему простран- |
|
ству Н~° (а) (я - * (Г)) в смысле обычного |
скалярного произведения функ |
|
ций в Й (Г) (см. гл. II, § 1, п. 5). |
|
|