176 |
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
Условие накрывания или условие дополнительности состоит в том, чтобы строки m X N матрицы
(B%(s, i + тv))-(S&(s, g + Tv)X
где 51li (s, £) — алгебраическое дополнение к А% (s, |) в матрице
I)), |
были |
линейнотп независимыми как многочлены от т |
|||||||||
по модулю |
многочлена XI(т —т+ (s, £)), где т+ (s, £) — все корни |
||||||||||
многочлена |
Xo(5>£ + TV)> |
лежащие |
в |
верхней |
полуплоскости. |
||||||
Здесь v —- орт нормали к поверхности |
Г. |
|
|
|
|||||||
Краевой задаче |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2k |
Aik {х, D) ик = ft |
в |
Q |
(г = 1, . . |
N), |
|
||||
|
Ъ В /gis, D)uq = g, |
на |
Г |
( / =1, .... |
щ) |
|
|||||
|
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отвечает |
оператор 51 (Л, |
В), |
отображающий |
набор |
функций |
||||||
(и{, . . uN), в котором |
uk <=Hlp+tk(Q) |
(1 < / 7 |
< |
оо), |
в набор |
||||||
функций |
(ft, . . |
fN; gu |
• • |
gm)> в |
котором |
|
|
и |
|||
gk е В1~тк~11р(Г). |
При |
этом |
предполагается, |
что |
0 и |
||||||
l > m a x m k, и поэтому все числа / — mk — l/p>0. |
|
||||||||||
Один из основных результатов теории эллиптических систем состоит в том, что при выполнении условий эллиптичности и правильной эллиптичности системы и условий накрывания для граничных выражений оператор 51 (Л, В) является нетеровым
N |
m |
пространства |
k=\ |
Wl*tk (Q) в |
пространство |
как оператор из |
XI |
||||
XI Wl~8*(Q) X П |
Wl~m ~{lP(Г). |
Для |
оператора, |
порожденного |
|
краевой |
задачей |
для эллиптической системы, также имеются |
|||
теоремы о наборе осуществляемых им гомеоморфизмов. |
|||||
Л и т е р а т у р а : |
[118], [137], [141]. |
|
|
|
|
8. Индекс эллиптического |
оператора. Поскольку оператор |
||||
51 (Л, В), |
порожденный эллиптической краевой |
задачей, яв |
|||
ляется нетеровым, то возникает вопрос о вычислении его ин декса (см. § 1, п. 7). Индекс не изменяется при малых изме нениях коэффициентов эллиптической задачи, т. е. является ее топологическим инвариантом. В п. 6 для оператора, порожден ного одним эллиптическим выражением, были приведены до статочные условия того, что резольвента его вполне непрерыц-
§ 6. ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ |
177 |
на, и следовательно, оператор имеет индекс 0. Решение пробле мы о вычислении индекса операторов эллиптических задач было одним из замечательных достижений алгебраической топологии последнего времени. Оно требует привлечения большого топо логического аппарата и здесь изложено быть не может. Однако ниже этот вопрос излагается при некоторых упрощающих пред положениях, которые позволяют свести проблему к обозримым топологическим утверждениям.
Правильно эллиптическая система дифференциальных выра жений
3 j A ik{x,D)uk
рассматривается во всем пространстве Rn. Предполагается, что при больших значениях х ( \ x \ ^ k ) система переходит в сле дующую простую систему
(— Л + 1 Г « , |
= |
|
П |
|
|
где Д — оператор Лапласа^] |
• Матрица |
хуп (Aik(x, £)) |
будет невырожденной при | *| 2+ |£|2= k. Таким образом, воз никает отображение сферы S2n_1 2н-мерного пространства в группу GL(N, С) неособенных комплексных матриц порядка JVXM Всевозможные такие отображения распадаются на классы гомотопных друг другу отображений, т. е. переходящих друг в друга с помощью непрерывной деформации. Совокуп ность всех таких гомотопических классов приводится во взаим но однозначное соответствие с множеством всех целых чисел следующим образом: для каждого отображения Ф определяется его степень deg®, являющаяся целым числом; если степени двух отображений равны, то отображения гомотопны.
Степень отображения |
S2n~l — ■>GL{N> С), порожденного |
эллиптической системой, |
равна индексу нетерова оператора |
51 (Л), порожденного этой системой.
Для описания процесса вычисления степени отображения Ф следует предварительно заметить, что путем дописывания к си стеме новых независимых простых дифференциальных выраже ний можно число N увеличить, чтобы было N ^ п. В этом слу чае матрицу Ф(л\ g) = (Gik(xf g)) можно непрерывной дефор мацией преобразовать к матрице вида
178 |
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
где H = {Hik(x,l)) — унитарная матрица порядка п. Рассма
тривается, например, первая строка этой матрицы (Яп (лг, £),...
Hln(x,Q). В |
силу унитарности 2k| Hik (х, |) |2^ |
1. |
Таким |
|
образом, точка |
с координатами |
(Re Ни, 1т Нп, |
|
ReHln, |
Im Hln) = 4я (х, &) |
лежит на сфере |
S2""1 пространства |
R2n. Ис |
|
ходное отображение Ф(д;, £,) порождает отображение |
Чг (л:, |) |
|||
сферы S2n~l в сферу S2n~K Для такого отображения известно
понятие |
его степени, |
которая, |
грубо |
говоря, равна |
алгебраи |
|
ческому |
числу точек |
первой |
сферы, |
переходящих |
в |
одну и |
ту же точку второй сферы. Тогда |
|
|
|
|||
|
ind Я (А) = deg Ф = |
|
|
|
||
Сформулированное выше предложение об индексе оператора |
||||||
Я (Л) относится к оператору, |
порожденному системой |
диффе |
||||
ренциальных выражений, например, в пространствах |
ИРЦ/?") |
|||||
(см. гл. II, § 1, п. 5). |
|
|
|
|
|
|
Л и т е р а т у р а : [117].
Г Л А В А IV
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ |
1. |
Абстрактное |
гильбертово пространство |
|
1 . Понятие |
гильбертова |
пространства. Пусть |
Н — линейная |
|
система с |
умножением на |
комплексные числа, |
каждой паре |
|
элементов которой поставлено в соответствие комплексное чис
ло (х,у), |
обладающее свойствами: |
|
|
||
а) |
(х, у) = |
(у, х)у в частности, (х, х) вещественно; |
|
||
б) |
(*i + х 2, y) = (xi,y) + (x2, у)\ |
числа |
Х\ |
||
в) |
(Хх, у) = |
Х(х, у) для любого комплексного |
|||
г) |
(х, х) ^ |
0, причем (лг, х) == 0 только при х = |
0. |
|
|
Число |
(х, у) называется скалярным произведением. Если |
||||
Н — линейная |
система, допускающая лишь умножение |
на ве |
|||
щественные числа, то скалярное произведение предполагается вещественным.
Из аксиом а) — г) вытекают следствия:
1) |
(х9У\ |
У2)==(х> + |
. |
2) |
(х, Ху) = |
X (х9у); |
|
3) н е р а в е н с т в о Б у н я к о в с к о г о — Ш в а р ц а
К * ,y ) \ < V ( x , х)V(у> у)-
По скалярному произведению в Я можно ввести норму
\\x\\ = V W x ),
после чего ,Н становится линейным нормированным простран ством. Если Н бесконечномерно и полно по введенной норме, то оно называется гильбертовым пространством (комплексным или вещественным). Из определения видно, что всякое гильбер тово пространство является банаховым.
Если Н бесконечномерно, но не полно, то его часто назы вают предгильбертовым проаранством. Пополнение предгиль бертова пространства будет гильбертовым,
Л и т е р а т у р а : [1], [9], [39], [52].
180I Л. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
2.Примеры гильбертовых пространств. Как известно, в п-мер ном евклидовом пространстве скалярное произведение двух
векторов Х = {Ъи |
In } и у = Ь]и Л2> • ••> Цп} обычно на |
ходится по формуле |
п |
|
|
|
(я>у) = 2 |
|
i = 1 |
а в н-мерном унитарном (комплексном евклидовом) простран стве— по формуле
п
(х, у) = 2 h 'П/* г=1
Аналогично вводится скалярное произведение в ряде беско нечномерных пространств, после чего они становятся гильберто выми.
1. Комплексное пространство /2 становится гильбертовым, если положить
оо
(х, у) = 2
2. Пространство Ь2(а,Ь) комплекснозначных функций ста новится гильбертовым, если положить
|
|
|
ъ |
|
|
|
|
{X, у ) — J x(t)y(t)dt. |
|
||
|
|
|
а |
|
|
3. |
Комплексное пространство L2)9(ayb) функций, измеримых |
||||
на отрезке [а, Ь] и имеющих на этом отрезке суммируемый с ве |
|||||
сом р ( 0 ( р ( 0 > 0 почти всюду) |
квадрат модуля, будет гильбер |
||||
товым, если положить |
ъ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(х, у ) = J x(t)y{f)p(t)dt. |
|
||
4. |
Пространства |
W{ (G) |
С. Л. Соболева |
(см. гл. II, § 1, |
|
п. 5) будут гильбертовыми по отношению к скалярному произ |
|||||
ведению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Day (/)) dt. |
|
Здесь |
|
д1х |
|
|
|
|
Dax |
|
| а | = kx+ ... + |
kn, |
|
|
а/?1 |
|
|||
|
|
К п |
|
|
|