Материал: Функциональный анализ

186 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Оператор А* называется сопряженным оператором к А.

Это определение согласуется с приведенным в гл. I, §5, п. 9. Функция 1(х,у) от двух элементов х н у гильбертова про­ странства Н называется полуторалинейной формой, если она ли­

нейна по х и антилинейна по уут. е. если

/ (а{х{+ а2х2, у) = а{1(Xj, у) + а21(х2, у)

и

I (*> $\У\ + Р2У2) = [V (х, У\) + Ы (*. У2)-

Примером полуторалинейной формы является скалярное произведение (х, у) в Н.

Полуторалинейная форма называется ограниченной сверху, если

I / (х, у) К с || х |||| г/1|,

при этом наименьшее возможное значение константы с в этом неравенстве называется нормой полуторалинейной формы.

Если А — линейный ограниченный оператор, то форма

I (х, у) = (Аху у)

полуторалинейна и ограничена. Обратно, всякой ограниченной полуторалинейной форме соответствует единственный линейный ограниченный оператор Л, для которого справедливо предыду­ щее равенство. При этом норма полуторалинейной формы рав­ на норме оператора.

Полуторалинейная форма ограничена снизу, если при лю­

Форма /*(х, у)=1(у,х) называется сопряженной к форме 1(х,у). Если форме 1(х,у) отвечает оператор Л, то форме 1*(х,у) отвечает оператор Л*.

*) Последние утверждения справедливы лишь в комплексном гильберто­ вом пространстве.

Эти условия не являются, однако, достаточными для огра­ ниченности оператора, заданного матрицей. Примерами доста­

Эффективно проверяемые необходимые и достаточные усло­ вия ограниченности оператора, заданного в матричной форме, неизвестны.

В функциональном пространстве Ь 2 ( а , Ь ) наиболее распро­ страненным классом ограниченных линейных операторов яв­ ляются интегральные операторы вида

ъ

А х = J K ( t , s ) x ( s ) d s .

а

Для ограниченности интегрального оператора в гильберто­ вом пространстве Ь 2 ( а , Ь ) достаточно, чтобы существовало чис­ ло М такое, что

Достаточным условием ограниченности является также сум­ мируемость квадрата ядра K ( t > s ) по двум переменным:

(см. П. 7).

Ли т е р а т у р а : [1], [39], [50], [52].

2.Унитарные операторы. Линейный оператор U , отображаю­ щий все гильбертово пространство Н на все Н с сохранением нормы:

IIU x || = 1И1,

называется у н и т а р н ы м .

Примером унитарного оператора в координатном гильбер­ товом пространстве /2 служит оператор, переводящий элемент я в элемент у путем фиксированной перестановки координат эле­ мента х .

Вкомплексном пространстве L2(a,b) унитарным операто­

ром является оператор умножения на функцию е ш, с — дей­ ствительное число.

Впространстве L2(—оо, ос) унитарным является оператор сдвига

A s x = x ( t + 5).

Дёйствительно,

и - ' = и*

лизе, порождает унитарные операторы. Из них особенно важ­ ным является преобразование Фурье — Планшереля, задаю­ щееся для функций f е L 2 ( —оо, оо) формулой

оо

— оо

или более простой формулой (см. гл. II, § 1, п. 4)

gW = .p=- Jоо e ~ i t s f ( s ) d s ,

—оо

вкоторой интеграл нужно понимать как предел в среднем по t (в норме L 2 ( —оо, оо)) интеграла от — N до N при Я -*оо. Опе­

ратор является унитарным в Ь 2 ( —оо, оо). Обратный к нему

оператор задается формулой

оо

S r - ' g { t ) = f { t ) = - ^ j* e i i s g ( s ) d s .

—оо

Обобщением унитарного оператора является и з о м е т р и ч е с к и й оператор. Это линейный оператор, отображающий с сохране­ нием скалярного произведения, а следовательно, и нормы, под­ пространство Я 1 гильбертова пространства Я на подпростран­ ство #2 того же или другого гильбертова пространства. В слу­ чае, когда //1 = #2 = Я, изометрический оператор превращает­

ся в унитарный.

Ч а с т и ч н о и з о м е т р и ч е с к и м оператором называется линейный оператор в гильбертовом пространстве Я, который на подпро­

Л и т е р а т у р а : [1], [39], [48], [50], [52].