Материал: Функциональный анализ

зываются действительной и мнимой частью оператора А и яв­ ляются самосопряженными.

Если Re Л = у(Л + Л*) является отрицательным операто­

ром, то оператор Л называется диссипативным.

Линейный ограниченный оператор Л называется нормаль­ ным, если операторы Л и Л* коммутируют. В этом случае операторы Re Л и IшЛ также коммутируют.

Для любого линейного ограниченного оператора Л опера­ торы ЛЛ* и Л*Л являются самосопряженными и положитель­ ными.

Важную роль играет полярное представление оператора:

всякий линейный ограниченный оператор А в гильбертовом про­ странстве может быть представлен в виде A = UR, где R — положительный самосопряженный оператор, a U — частично изометрический оператор. Оператор R определяется единствен­

ным образом как Y А*А (определение корня квадратного из положительного оператора см. ниже в § 3, п. 1) и часто обозна­ чается через |Л | . Оператор U изометрически отображает за­ мыкание области значений оператора Л* на замыкание области значений оператора Л. Справедливо представление A* = RXU,

где U —тот же оператор, что и выше, a R{ = Y АА* .

Если оператор Л нормален, то в его полярном представле­ нии оператор U можно выбрать унитарным. Операторы |Л| и U коммутируют между собой и коммутируют с каждым опера­ тором, коммутирующим с Л и Л*.

Ли т е р а т у р а : [1], [24], [39], [43].

5.Самосопряженные вполне непрерывные операторы. Если самосопряженный оператор Л вполне непрерывен, то все про­ странство Н может быть разложено в ортогональную сумму

базис {хг}, состоящий из собственных элементов оператора Л, соответствующих ненулевым собственным числам K ф 0. Та­ ким образом, для любого

В частности, отсюда следует, что самосопряженный вполне не^ прерывный оператор, не аннулирующийся на всем пространстве,

192 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

имеет по крайней мере одно собственное число, отличное от нуля. Пространство Яо состоит из собственных векторов оператора Л, отвечающих собственному значению Я = 0. Выбирая в этом про­ странстве произвольный ортонормальный базис {^}, мы получим

ортонормальный базис {£'} + \е,} в пространстве Я, состоящий

из собственных векторов оператора Л.

Собственные числа и собственные векторы самосопряжен­ ного вполне непрерывного оператора могут быть получены сле­ дующим процессом: форма (Ах, х) на единичной сфере про­ странства Я достигает наибольшего по абсолютной величине значения на ‘ некотором элементе хх. Оказывается, что Ах\ =

=где

странство Я 1 инвариантно относительно оператора Л. Если опе­ ратор Л аннулируется на любом элементе из Я ь то процесс на этом останавливается; если же Ах Ф 0, то форма (Ах,х)Ф 0 и достигает на единичной сфере пространства Hi наибольшего

ратора Л, расположенные в порядке убывания, а ЯГ, ЯГ, .. . — отрицательные собственные числа, расположенные в порядке возрастания (кратные собственные числа повторяются столько раз, какова их кратность). Собственные числа обладают сле­

ЯГ+1 = maxm(2 1, г2, •••> гп)9

где m(zu z2........ 2„) — минимум формы (Ах, х) на элементах х, удовлетворяющих предыдущим условиям.

Самосопряженный вполне непрерывный оператор будет по­ ложительным тогда и только тогда, когда все его собственные числа неотрицательны.

Свойства самосопряженных вполне непрерывных операто­ ров являются обобщением свойств интегральных операторов с симметрическим ядром, рассматриваемых в теории интеграль­ ных уравнений. Обобщением интегрального уравнения является уравнение

х — [хАх = у.

Если А — самосопряженный вполне непрерывный оператор, и число l/p не совпадает ни с одним из его собственных чисел, то для решения написанного уравнения справедлива формула

Я

* — У+ И 2 f— ^ (У, Xt) Xi .

Если 1/р совпадает с одним из собственных чисел опера­ тора А, то решение существует лишь при том условии, что элемент у ортогонален всем собственным элементам, соответ­ ствующим собственному числу 1/ц. В этом случае одно из ре­ шений может быть получено по т.ой же формуле, если в ней отбросить члены, содержащие Я* = 1/ц.

Ли т е р а т у р а : [1], [45], [50], [52].

6.Вполне непрерывные операторы. Кроме основного опреде­ ления вполне непрерывного оператора, согласно которому опе­ ратор называется вполне непрерывным, если он переводит вся­ кое ограниченное множество в компактное, для гильбертова пространства существуют эквивалентные определения.

1.Линейный оператор А вполне непрерывен, если он пе­ реводит всякую слабо сходящуюся последовательность в силь­

но сходящуюся, т. е. если из хп сл-..> х0 следует Ахп -+Ах0 по

норме.

2. Линейный оператор А вполне непрерывен, если для лю­ бых последовательностей {хп} и {уп}, слабо сходящихся к х0 и г/о, справедливо равенство

рывен, то и А вполне непрерывен.