§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
201 |
||
и регуляризованного |
характеристического определителя |
|
|
det2 (/ - |
гА) = |
Ц (1~ z%i (Л)) ezXi(Л). |
|
Функция det2( / —- 2Л) |
является целой аналитической, |
и |
|
справедлива точная оценка |
|
|
|
|det2( /- z 4 ) |< e x p ( V * |z |8M |Q .
Функционал det2(/ — zA) |
непрерывен |
по норме пространства |
||||
©2, равномерно на каждом ограниченном множестве г. |
||||||
Пусть Rx{А) = |
(А — XI)-1— резольвента |
(см. гл. III, § 2, |
||||
п. 1) |
оператора |
Гильбера — Шмидта |
А. |
Функция |
det2 (/ — |
|
— 1/ХА) |
имеет нули в полюсах резольвенты RK (A) той |
же крат |
||||
ности. Поэтому функция |
det(/ — 1/Ы)Рх (А) |
будет в этих точ |
||||
ках иметь устранимые особенности. Весьма важным является
неравенство Карлемана
справедливое во всех регулярных точках h оператора А.
В частности, для вольтеррова оператора Гильберта — Шмидта
Ли т е р а т у р а : [20], [24].
8.Проекционные операторы. Самосопряженными операто рами, имеющими наиболее простую структуру, являются про
екционные операторы. Пусть L — подпространство простран ства Я. Оператором проектирования на подпространство L или, короче, проекционным оператором PL называется оператор, ста вящий в соответствие каждому элементу х его проекцию у на подпространство L:
Для элемента X G L, по определению, PLx = х.
Проекционный оператор самосопряжен, его квадрат равен ему самому, и следовательно, он положителен. Наоборот, если линейный ограниченный оператор Р обладает свойствами Р* = = Р и Р2 = Р, то он является оператором проектирования про странства Я на свою область значений.
Норма проекционного оператора равна 1.
Если L конечномерно, то PL конечномерен и, следовательно, вполне непрерывен. Если L бесконечномерно, то Рь не вполне непрерывен.
202 |
ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ Б ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
= |
Если L\ и L2 — ортогональные подпространства, то PLlPL.,= |
0, и наоборот. В этом случае операторы PL, и PL2 назы |
ваются ортогональными.
С в о й с т в а п р о е к ц и о н н ы х о п е р а т о р о в :
1)Для того чтобы сумма проекционных операторов PLl и РЬг была проекционным оператором, необходимо и достаточно, чтобы эти операторы были ортогональными. Если это условие выполнено, то
2)Для того чтобы произведение двух проекционных опера
торов PL) и PL2 было проекционным оператором, необходимо и достаточно, чтобы операторы PL, и PL были перестановочны. Если это условие выполнено, то
PLVPL2== PLXПI,-
Проекционный оператор Pi является частью проекционного оператора Рг, если
PlP2 = P2Pi = Pi-
3) Проекционный оператор Pi является частью проекцион ного оператора Р2 тогда и только тогда, когда подпространство L\ есть часть подпространства L2.
4) Для того чтобы проекционный оператор PL2 был частью
проекционного оператора P L,, |
необходимо и достаточно, чтобы |
||||||
для всех' х |
Н выполнялось неравенство |
|
|
|
|||
|
|
II P i , * || < |
| | P i , * |
II. |
|
|
|
5) Разность |
PL — PL2 двух |
проекционных операторов |
есть |
||||
проекционный |
оператор тогда |
и только тогда, |
когда |
PL |
есть |
||
часть Р^,. |
|
|
|
|
есть |
оператор |
|
Если это условие выполнено, то PLx — PL |
|||||||
проектирования на L{— L2 (ортогональное дополнение Ь2 до L{). |
|||||||
6) Ряд |
попарно ортогональных |
проекционных операторов |
|||||
п=1
всегда сильно сходится, и'сумма его есть проекционный опера тор Р. Подпространство L, на -которое этот оператор проекти рует, называется ортогональной «суммой подпространств Ln, на которые проектируют операторьгРл:
со
L = 2 + Ln.
n=1
Л и т е р а т у р а : [1], [39], [50], [52].
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
■03 |
9. Алгебры операторов. Алгебра всех ограниченных операто ров, действующих в гильбертовом пространстве Я, обозна чается через 3?{Н). Пусть 99?—некоторое подмножество 3?(Н). Коммутантом 99?' множества 99? называется совокуп ность всех операторов, коммутирующих с любым оператором из 99£. Коммутант содержит единичный оператор и является подалгеброй алгебры 3? (Я). Коммутант 90?" коммутанта 99£' содержит исходное множество операторов 99?. Оказывается, что
ЭК'" = W и 99?"" = 99?". |
|
то она называется |
Если 51 — некоторая подалгебра 3?(Я), |
||
*-алгеброй, если вместе с оператором |
51 |
и оператор А* е 51. |
Алгеброй Неймана называется всякая *-алгебра 5lcz3^{H) |
||
такая, что 51 = 51". Это определение |
эквивалентно следую |
|
щему: алгеброй Неймана называется *-алгебра с единицей, замкнутая в слабой операторной топологии.
Если множество 99? инвариантно относительно операции •*, то 99?' — алгебра Неймана, а 991" — наименьшая алгебра Ней мана содержащая 99?. Пусть для любого 99? через 99?* обозна чена совокупность всех сопряженных операторов к операторам
из 99i |
и 5ft = 99? U 99?*. Тогда |
говорят, |
что 5ft"— алгебра |
Ней |
|
мана, |
порожденная 99?. |
|
|
подалгебра |
51 П |
Центром алгебры Неймана 51 называется |
|||||
Л 5Г. Фактором называется |
алгебра |
Неймана, |
центр которой |
||
состоит из операторов, пропорциональных единичному. Фак торы представляют собою наиболее простые алгебры Неймана. Если 51 — фактор, то 51 U 51' порождает 3?{Н).
Если самосопряженный оператор А входит в алгебру Ней мана 51, то любая непрерывная функция /(А )е 51. Спектраль ная функция Е% также принадлежит 51. Для того чтобы опе
ратор |
А <=51 был положительным, |
необходимо |
и достаточно, |
|
чтобы |
он представлялся |
в виде А = S*S, где 5 е |
51. В поляр |
|
ном представлении A = |
U\A\ любого оператора |
А из 51 опе |
||
раторы U и \А \ принадлежат 51. |
своими проекторами. |
|||
Алгебра Неймана порождается |
||||
Л и т е р а т у р а : [44], [63].
10. Операторы во внешнем произведении гильбертовых про странств. Для гильбертова пространства Я можно построить
пространство HW (см. гл. I, § 1, п. 4), элементы которого яв
ляются линейными комбинациями |
одночленов вида х{А х 2А |
|
/ \ ... A x k (Xi&H). В этом пространстве можно |
ввести ска |
|
лярное произведение, положив его |
на одночленах |
равным |
(*!/A х2А ... A Xk, ухА у2 А ... |
А Ук) = det [(*j, г/,)]*/==| |
|
и доопределив линейно на всем пространстве. Полученное про странство .в бесконечномерном случае будет предгильбертовым,
204 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
его пополнение будет гильбертовым пространством Шк\ назы ваемым гильбертовым внешним произведением k экземпляров пространства Н.
Всякий линейный ограниченный оператор А в пространстве
Н порождает линейный оператор AW в пространстве #(*), опре деленный на одночленах формулой
А(х1А х2 А ... Ax k) = Ах{ Д Ах2 А ... А Ахк
и распространенный на остальные элементы по линейности и
непрерывности |
(см. гл. I, § 5, п. 8). |
Л<й> самосопряжен. |
Если А |
|||
Если А самосопряжен, то и |
||||||
вполне непрерывен, то и AW вполне непрерывен. Норма вполне |
||||||
непрерывного |
оператора |
Ак вычисляется по |
формуле |
\\Ак\\ = |
||
= Si (Л) |
... Sfc(i4), где Si (Л), ..., |
sk(A) — первые s-числа опе |
||||
ратора |
А. |
Отсюда |
вытекает |
известное |
н е р а в е н с т в о |
|
Г. Вейля |
|
|
|
|
|
|
|
det {{Axt, Ахi)) < s2(Л) ... |
s2(Л) det ((xt, x;.)), |
|
|||
где xu ... , xh — произвольный набор элементов из Я, а опре делители, стоящие слева и справа, являются определителями Грама.
Ли т е р а т у р а : [3], [20].
§3. Спектральное разложение самосопряженных операторов
1.Операции над самосопряженными операторами. Сумма двух ограниченных самосопряженных операторов есть снова самосопряженный оператор. Более того, любая линейная ком бинация самосопряженных операторов с вещественными коэф
фициентами является самосопряженным оператором. Сумма положительных операторов ecib также положительный опе ратор.
Произведение ограниченных самосопряженных операторов будет самосопряженным в том и только том случае, когда эти операторы перестановочны. Если при этом сомножители поло жительны, то и произведение положительно.
Совокупность самосопряженных операторов замкнута отно сительно слабой сходимости, т. е. предел слабо сходящейся (см. гл. I, § 5, п. 3) последовательности самосопряженных опе раторов есть самосопряженный оператор.
В совокупности самосопряженных операторов можно ввести соотношение порядка, полагая А ^ В, если А — В — положи тельный оператор. При этом неравенства между операторами обладают основными свойствами обычных неравенств между вещественными числами. Однако, если для двух разных веще
§ 3. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ |
205 |
ственных чисел одно всегда больше другого, то этого в общем случае нельзя сказать о двух различных самосопряженных опе раторах, так как возможен случай, когда форма ((Л — В)х,х) для одних х будет больше, а для других х меньше нуля. В этом случае операторы А и В называются несравнимыми. Так как существуют и сравнимые и несравнимые самосопряженные опе раторы, то говорят, что в множестве всех самосопряженных операторов имеется частичное упорядочение или полуупорядо чение. Наличие полуупорядочения позволяет ввести в множе стве самосопряженных операторов обычным путем ряд поня тий, как, например, ограниченные сверху или снизу множества операторов, нижние и верхние грани ограниченного множества операторов, монотонно возрастающие и монотонно убывающие последовательности операторов и др.
Важным свойством ограниченных последовательностей са мосопряженных операторов является следующее:
Если {Ап} — монотонно возрастающая последовательность самосопряженных операторов, ограниченная сверху самосопря женным оператором В, то последовательность {Ап} сильно схо дится к самосопряженному оператору А ^ В и
A = sup Ап.
п
Каждому самосопряженному оператору А соответствует полуупорядоченная алгебра К л всех ограниченных самосопря женных операторов, перестановочных с А. Алгебра К л , вообще говоря, некоммутативна. Эта алгебра содержит сам оператор А и любой многочлен
Р (Л) = а0+ а\А + CL2A2+ ... + ипАп
от Л с вещественными коэффициентами. Соответствие много членов от оператора многочленам от вещественной перехменной линейно и мультипликативно, т. е. если
Р (/) = aQ (/) + РУ? (/),
то
P(A) = aQ(A) + №(A),
и если
P(t) = Q(t)R(t),
то
P(A) = Q(A)R(A).
Более глубоким фактом является положительность этого
соответствия в том смысле, что если P(t) ^ |
0 на [m, М], где пг |
и М — нижняя и верхняя границы оператора |
Л, то Р(Л) ^ 0. |
Из положительности соответствия следует, что если монотонно возрастающая последовательность многочленов {Рп(/)}, ограни