Материал: Функциональный анализ

Если собственные векторы оператора А образуют полную систему в пространстве Я, то говорят, что оператор имеет чисто точечный спектр. В этом случае спектр оператора состоит из множества собственных чисел и предельных точек этого множе­ ства.

В общем случае пространство Я может быть разбито в орто­ гональную сумму инвариантных относительно А подпространств Hi и Я2 таких, что в Hi оператор А имеет чисто точечный спектр, а в Я2 не имеет собственных элементов. Спектр опера­ тора А в подпространстве Н2 называется непрерывным спектром. Непрерывный спектр и точечный могут пересекаться. Непрерыв­ ный спектр замкнут.

Точки непрерывного спектра, предельные точки множества собственных чисел и собственные числа бесконечной кратности образуют предельный спектр оператора А.

Предельный спектр самосопряженного оператора состоит из одной точки 0 лишь в том случае, когда оператор вполне не­ прерывен. '

Все собственные значения конечной кратности, не принадле­ жащие предельному спектру, образуют дискретный спектр. Го­ ворят, что в данном интервале спектр дискретен, если все точки спектра, лежащие внутри этого интервала, принадлежат ди­ скретному спектру *).

Пример . В пространстве Ь2[0, 1] интегральный оператор с симметрическим ядром /((/, т), обладающим тем свойством, что

существует при почти всех / е [0, 1], порождает самосопряжен­ ный оператор, называемый оператором Карлемана. Этот опе­ ратор может быть неограниченным. Точка 0 всегда является точкой предельного спектра оператора Карлемана.

Для того чтобы точка Ко была точкой спектра самосопряженного оператора А, необходимо и достаточно, чтобы существова­

ного спектра, необходимо и достаточно, чтобы существовала сла­ бо сходящаяся к нулю последовательность элементов хп, обла­ дающая предыдущими свойствами.

Пусть Д = (Я0 — 6, Ко+ б) — некоторый интервал и £д — его спектральная мера. Размерность инвариантного для А под­ пространства ЕаН совпадает с максимальной размерностью

L2,do всех функций f(X) на оси (— оо, оо), для которых

Для оператора А справедлива формула

оо

Ах — J Я/(Я)dEKu

—оо

и, следовательно, при изометрическом соответствии он переходит в оператор А умножения на независимую переменную X:

Af(X) = Xf(X),

определенный на всех функциях f ( X ) ^ L 2,do, для которых

Xf (X) <ЕЕЬ2, do-

Совокупность элементов ии и2, ... , ип называется порож­ дающим базисом• для оператора А, если линейная замкнутая оболочка множества всех элементов EAUk (k — 1, 2, . . . , п) сов­ падает с Н. Спектр оператора А называется п-кратным, если минимальное число элементов в порождающем базисе оператора А равно п. Соответствующий базис называется минимальным порождающим базисом.

Многочисленные примеры самосопряженных операторов с ко­ нечнократным спектром дают обыкновенные дифференциальные

Матрица а (Я) = (оц(Х)) эрмитова при каждом Я(—оо < Я < оо), непрерывна слева, и разность а(р)— о(Я) при р > Я — неотрица­ тельно определенная матрица. Пространство Я изометрично гильбертову пространству L2>do вектор-функций /(Я) = {/^(Я), ...

...,/„(Я)} (—оо < Я < оо), для которых

искалярное произведение введено по формуле

Поо

причем интегралы следует понимать в особом смысле (см. [1]). Оператор Л при изометрическом соответствии переходит сно­

ва в оператор умножения всех компонент вектор-функции f(k) на независимую переменную К:

П ОО

Ax = ^ J Ц н Ш Е хик.

fZ-—1■“ОО

В общем случае для самосопряженного оператора, действую­ щего в сепарабельном гильбертовом пространстве Я, простран­ ство можно представить в виде ортогональной суммы подпро­ странств Hh (k = 1,2,...) так, что каждое подпространство Ни инвариантно относительно оператора Л и в нем оператор А имеет простой спектр.

В заключение следует отметить, что иногда удобно пользо­ ваться несобственными порождающими элементами (см. [1,45]). В этом случае все формулы не изменяются, но функции о(к) могут иметь неограниченную вариацию на (— оо, оо).

Ли т е р а т у р а : [1].

7.Абсолютно непрерывная и сингулярная части оператора.

Пусть А — самосопряженный оператор и Ех — отвечающее ему разложение единицы. Элемент х называется регулярным относи­

зует подпространство Яа, называемое абсолютно непрерывным подпространством оператора Л; сингулярные элементы образуют

.сингулярное подпространство Hs оператора Л. Подпространства

На и Hs взаимно ортогональны и Я = Яа +

Подпространства На и Hs приводят оператор Л *). Сужение «оператора Л на На называется абсолютно непрерывной частью Л а оператора Л, сужение на Hs — сингулярной частью As опера­ тора А. Спектр оператора Аа называется абсолютно непрерыв­ ной мастью спектра оператора Л, спектр As — сингулярной частью спектра оператора Л. Собственные числа входят в син­ гулярную часть спектра. Как отмечалось в п. 5, пространство Hs может быть разложено в ортогональную сумму инвариантных