Материал: Функциональный анализ

Если оператор А имеет лебегов спектр, то во всех формулах можно заменить do(k) на с суммируемой на любом ко­ нечном интервале функцией р(Я).

Ли т е р а т у р а : [3], [14], [15].

§4. Симметрические операторы

1.Понятие симметрического оператора, индексы дефекта. Ли­ нейный оператор А с всюду плотной областью определения D(A) называется симметрическим, если

{Ах, у) = {х, Ау)

при любых х, у <= D (Л).

Всякий самосопряженный оператор является симметриче­ ским, но не наоборот. Область определения оператора Л*, со­ пряженного к симметрическому оператору Л, может быть шире, чем область определения оператора Л. На D{A), очевидно, Ах = Л*х, поэтому оператор Л* является расширением опера­ тора Л.

Симметрический оператор всегда допускает замыкание, и его замыкание является снова симметрическим оператором. Если симметрический оператор определен во всем пространстве, то он ограничен. Если область значений симметрического оператора совпадает со всем пространством, то он самосопряжен.

кроме того, оператор Л замкнут, то область значений 3№л0 оператора Л —Я0/ будет замкнутым множеством. Если 9йл0 совпадает со всем пространством, то точка Я0 будет регуляр­ ной точкой оператора Л. Ортогональное дополнение Шь0 к под­

Если для симметрического оператора дано связное множе­ ство точек регулярного типа, то во всех точках этого множества дефектные числа одинаковы. Все невещественные числа являют­ ся для симметрического оператора точками регулярного типа, поэтому дефектные числа п+ во всех точках верхней полуплоско­

ваются индексами дефекта симметрического оператора. Если на вещественной оси имеется хотя бы одна точка регулярного типа, то п+ = П-.

Замкнутый симметрический оператор будет самосопряжен­ ным в том и только в том случае, когда его индексы дефекта равны нулю. Пара чисел (п+, п_) (конечных или бесконечных) показывает степень отклонения симметрического оператора от самосопряженного.

Следует отметить, что дефектные подпространства %,0 со­ стоят из всех решений уравнения

А у = Х0у.

Таким образом, индекс дефекта п\0 совпадает с числом ли­ нейно независимых решений этого уравнения.

Ли т е р а т у р а : [1], [24], [45].

2.Самосопряженные расширения симметрических операто­ ров. Возникает вопрос о том, можно-ли всякий симметрический оператор расширить до самосопряженного. Ответ следующий:

для того чтобы симметрический оператор можно было расши­ рить до самосопряженного, необходимо и достаточно, чтобы ин­ дексы дефекта п+ и оператора были одинаковы.

Как указывалось выше, это, например, будет иметь место, если на вещественной оси имеются точки регулярного типа.

Следует отметить, что здесь шла речь о расширении опера­ тора в исходном гильбертовом пространстве Н. В п. 4 будут рассмотрены расширения с выходом из пространства Н.

Пусть Ао — замкнутый симметрический оператор. Всякое сим­ метрическое и, в частности, самосопряженное расширение опера­ тора А0 является сужением оператора А'0. Поэтому при по­

строении такого расширения возникает вопрос не о том, как его доопределить на новых элементах, а только о том, какова

его область определения, т. е. на к а к и х элементах из D(AO) его следует доопределить. Чтобы найти самосопряженные рас­

ширения оператора Л0, нужно в О(Л0) найти такие линейные

подмножества, содержащие D(A), на которых оператор Ло по­ рождает самосопряженный оператор.

Оказывается, что множество £)(Л*) имеет следующую струк­ туру:

й(А*) = й (А )№ ь ® Щ >

где X— какое-либо невещественное число. Сумма, стоящая спра­ ва, является прямой, т. е. любой элемент y ^ D ( A * ) представим единственным образом в виде

y = x + zl + zl ,

где х <= D (Л), z%<= и z%<= Щ.

Если индексы дефекта п+ и п_ равны, то любое самосопря­ женное расширение А оператора А0 может быть построено сле­ дующим образом: выбирается некоторый линейный оператор

где x<=D(A) и 2*6=9^.

Как уже отмечалось выше, значения оператора А будут' совпадать со значениями оператора Л*, т. е.

Ay = А0х + XzK+ kVzK.

Если индексы дефекта не равны и, например, п+< я_, то приведенная конструкция дает все максимальные симметриче­ ские расширения оператора Л0, т. е. такие симметрические расширения, которые не могут быть дальше расширены с со­ хранением симметричности.

Описанный здесь метод построения самосопряженных рас­ ширений принадлежит Дж. Нейману . Практически он являет­ ся мало эффективным, так как требует нахождения решений

уравнения А*у = Ху и построения изометрического оператора V. В следующем пункте рассматриваются другие методы по­

строения самосопряженных расширений.

Ли т е р а т у р а : [1], [24], [45].

3.Самосопряженные расширения полуограниченных опера-* торов. Симметрический оператор А0 называется полуограничен­ ным снизу, если при любом x e D (i4 0)

(А0х, х ) ^ а ( х , х).

Все вещественные числа, не превосходящие числа а, будут точками регулярного типа, поэтому индексы дефекта оператора A Q одинаковы.

При построении самосопряженных расширений оператора A Q без ограничения общности можно считать его положительно определенным, т. е. таким, что а > 0. В противном случае мож­ но перейти к оператору AQ+ kl с достаточно большим положи­

тельным k. Если A Q -j- kl будет самосопряженным расширением

этого оператора, то А0+ k l — kl будет самосопряженным рас­ ширением оператора А0.

Пусть оператор AQ положительно определен. В его области определения D ( A Q) м о ж н о ввести новое скалярное произведение по формуле

[*, у] = (АоХ, у).

Пополнение D(A0) по норме, порождаемой этим Скалярным произведением, будет гильбертовым пространством Я0. Оказы­ вается, что присоединяемые при пополнении элементы естест­ венным образом отождествляются с некоторыми элементами из Я, и поэтому Но можно рассматривать как линейное подмноже­ ство пространства Я. На пересечении этого подмножества Я0

с областью определения сопряженного оператора D(A*O) опе­

ратор Ло является самосопряженным. Таким образом, полу­ чается самосопряженное расширение Ад оператора Л0, являю­

щееся сужением сопряженного оператора Ло на Я(Л(А) = Я0 П

П D(A*O). Оператор Лц называют фридрихсовым или жестким расширением оператора Л0. Оператор Лц положительно опреде­ лен и имеет ту же нижнюю грань, что и оператор Л0:

{А^х, х ) ^ а ( х , х).

Жесткое расширение Лд является наиболее простым. Для его построения ничего не нужно знать, кроме формы (А0х,х), по­ рождаемой оператором Л0. В связи с этим метод Фридрихса построения самосопряженных расширений стал одним из ос­ новных в теории уравнений с частными производными. Для бо­ лее детального описания области определения жесткого расши­ рения приходится более детально изучать характер сходимости,

порождаемой нормой У(Л0я, х) на Я(Л0), и структуру области

определения оператора Ло (см. §§ 7 и 8).

Множество Но является областью определения корня квад­ ратного из оператора Ли:

H0 = D{Af).

Для любого положительного самосопряженного расширения А оператора Л0 область определения D(Alf2) содержит множест­ во Но. Жесткое расширение обладает следующим экстремаль­ ным свойством: для любого самосопряженного положительно определенного расширения А оператора Л0

ным самосопряженным оператором. На /?(Л0) оператор В равен нулю и, следовательно, его можно рассматривать как оператор,

Подпространство U является дефектным подпространством 5fto, оно состоит из всех решений уравнения А*и = 0 в Я.