Материал: Функциональный анализ

Справедливы следующие утверждения:

1) Область определения сопряженного оператора Ао разла­ гается в прямую сумму:

D (Ло) = D (Ло) 0 Л^ U 0 U .

2) Область определения любого положительно определенного самосопряженного расширения А оператора Ао разлагается в прямую сумму

D { A ) = D ( A 0) ® ( A ? + B ) U ,

где В — некоторый ограниченный самосопряженный положитель­ ный оператор, действующий в подпространстве U.

3) Для любого оператора В, обладающего описанными выше свойствами, сужение оператора Ао на множество £)(ЛО0

0 (Л ^ ! + B)il является самосопряженным положительно опреде­ ленным оператором.

Таким образом, знание жесткого расширения Л^ позволяет свести описание любого положительно определенного самосо­ пряженного расширения к описанию оператора В. Оператор В действует в более узком, чем Я, пространстве U. В теории гра­ ничных задач для уравнений в частных производных подпро­ странство U естественным образом взаимно однозначно отобра­ жается на некоторое пространство функций, заданных на грани­ це области, и оператор В связывается с операторами граничных условий.

С помощью оператора В можно описать и структуру об­ ласти определения корня квадратного из любого самосопряжен­ ного положительно определенного расширения Л оператора Л0:

D (Л1/2) = D (А!/2) ® R (В1/2) = Но© R (Вт).

Важность теории полуограниченных симметрических опера­ торов иллюстрируется следующим примером. Пусть в м-мерной области G евклидова пространства с достаточно гладкой грани­ цей задано самосопряженное дифференциальное выражение по­ рядка 2т:

где

а|

а = («1» • • • >a„), I а I = + а2 + ... + ап, Da = — ----------—

dxil

и аналогично определены р, |р| и /Ж Коэффициенты аа$ пред­ полагаются достаточно гладкими функциями х = (хи . .., хп) и аар s=s азВыражение L называется эллиптическим, если при

зывается эквивалентной метрике пространствао HP™ Соболева.

Пространство Но является подпространством W™ пространства

ИР™. Решение уравнения

A[1u = f,

где Лц — жесткое расширение оператора Л0 и f e L 2(G), назы­ вается обобщенным решением первой краевой задачи для урав­ нения La -j- ku = f.

Более подробно теория расширения иллюстрируется на при­ мере эллиптического выражения 2-го порядка в § 8.

Л и т е р а т у р а : [1], [24], [43], [153], [165], [170].

4. Обобщенные расширения и спектральные функции симмет­ рических операторов. Обобщенные резольвенты. В случае, когда индексы дефекта п+ и п- симметрического оператора А различ­ ны, этот оператор не допускает в данном гильбертовом про­ странстве Н самосопряженных расширений (см. п. 2). Однако действующий в Н симметрический оператор А с произвольными индексами дефекта (п+, п-) всегда может быть расширен до самосопряженного оператора Л+, действующего в более широком

= D(A+) ПН ф D(A+). Такие расширения А+ называют расши­ рениями II рода. Все прочие обобщенные самосопряженные рас­ ширения А+ суть расширения /// рода.

Однопараметрическое семейство ограниченных операторов

F x ( —o o < i < o o ) называют обобщенным разложением едини-

цы, если

В отличие от разложений единицы Ех, встречавшихся в § 3, операторы F уже не обязательно проекционные.

Обобщенное разложение единицы F% называют спектраль­ ной функцией симметрического оператора Л в Я, если для лю­ бых х <=D(A) и у е Я

ное описание всех спектральных функций симметрического опе­ ратора А устанавливается следующей теоремой.

Пусть Л+ — (обычное или обобщенное) самосопряженное расширение симметрического оператора Л(Я(Л)с:Я), дейст­

вующее в гильбертовом пространстве Я + (з Я), a Е% — спект­ ральная функция Л+:

оо

А+ = J X dEt.

— оо

Через Р+ обозначим проекционный оператор, (ортогонально)

рического оператора Л, и таким путем (из всевозможных А+) получаются все спектральные функции оператора А.

где F%— любая спектральная функция симметрического опера­ тора А. Однако обратное заключение справедливо в том и только том случае, когда Fx порождается (в описанном выше смысле) некоторым самосопряженным расширением А+ II рода.

оператор в Н) называется обобщенной резольвентой симметри­ ческого оператора Л, порожденной самосопряженным расшире­ нием А+. Подобно обычной резольвенте самосопряженного опе­ ратора (см. § 3, п. 4), Rz связана с соответствующей спектраль­

ной функцией Fx — P^Ex соотношением

оо

{Rs, у)= I '—х - гу)- (*>у ^ н)•

— оо

Для симметрических операторов с равными и конечными ин­ дексами дефекта имеются формулы, описывающие все обобщен­ ные резольвенты (и все спектральные функции).

Л и т е р а т у р а : [1].

§ 5. Теория возмущений

Эта теория изучает изменения спектральных свойств опера­ торов при слабых (в том или ином смысле) их изменениях.

1. Общие свойства. Пусть дано семейство самосопряженных операторов Л(е), зависящее от параметра е, и пусть D — мно­ жество х, для которых существует предел

Иm А(е) х = А0х.

е->0

(Предполагается, что X G D ^ ( E)) при 0 < е < е 0(х).) Если самосопряженный оператор А является замыканием оператора А0, то для спектральных функций £\(е) и /^'операторов Л(е) и А справедливо соотношение

£я = Нш£л(е) .

8->0

при любом Я, не принадлежащем точечному спектру операто­ ра А. Предел понимается в сильном смысле. Равномерная схо­ димость Ех(е) к Ех (по норме операторов) в указанных усло­ виях, вообще говоря, не имеет места. Ее может не быть даже, если потребовать, чтобы операторы Л(е) были ограниченными и равномерно сходились к оператору А.

Если в области определения D(A) самосопряженного опера­ тора А ввести новую норму ||x||i = ||х|| -{- \\Ах\\, то в этой норме D(A) будет банаховым пространством #i (см. гл. I, § 5, п. 10). Если все операторы Л(е) определены на D(A) и сходятся к А равномерно относительно нормы ||x||i:

|| А(е)х — Ах 1^ С81л;h {xt=D(A))>

где Се-> 0 при е-^0, то спектральная функция £\(е) равномер­ но сходится к функции Ех в любой точке X, не принадлежащей

ляющий ее от остальной части спектра, то в предыдущих усло­

отвечающие собственным числам ЯДе), могут не иметь предела при е -* 0. Если Хо— простое собственное число, то собственный

Пусть оператор Л имеет полную систему собственных эле­ ментов {еп} с соответствующими собственными числами Хп•

Если Хп — изолированное простое собственное число опера­ тора Л, то можно получить формулы для определения коэффи­ циентов разложения по степеням е собственного числа Яп(е) оператора Л(е) = Л + Ллв. Здесь приводятся лишь формулы первого и второго приближения: