Материал: Функциональный анализ

226 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

где

Эти формулы получили в физике название формул теории

возмущений.

Если оператор А имеет участки непрерывного спектра, то имеются аналогичные формулы, в которые, кроме сумм, входят еще и интегралы.

В случае /n-кратного собственного числа для получения ко­ эффициентов при степенях е приходится находить собственные функции и собственные числа га-мерных операторов.

Задачи теории возмущений являются частным случаем более общей задачи изучения поведения функции /(Л(е)) при измене­ нии е, где /(Я) — заданная функция. Функция £\(е) есть как раз функция такого типа (см. п. 2). Для разложения по степеням е таких функций естественно применить формулу Тейлора, пред­

Для производных функций от операторов по параметру имеются специальные формулы. Здесь приводится лишь форму­ ла для первой производной, которая справедлива в предположе­ нии, что оператор А является оператором Гильберта — Шмидта (см. § 2, п. 7).

Ли т е р а т у р а : [50], [160].

2.Конечномерные, вполне непрерывные и ограниченные воз­

бесконечной кратности сохраняются при конечномерных возму­

спектр А в интервале Д состоит из собственных значений конеч­ ной суммарной кратности рА) то спектр В в А состоит из соб­

если возмущение V — В — А вполне непрерывно. Однако при вполне непрерывных возмущениях не меняется предельный спектр самосопряженного оператора. В частности, если интер­ вал Д не содержит точек спектра Л, то спектр В в А может быть лишь дискретным.

Все приведенные выше утверждения сохраняют силу и при более общих предположениях. Достаточно, например, чтобы конечномерным (соответственно вполне непрерывным) был не оператор В — Л, а оператор (В — г/)-1 — (Л — г/)-1, где г — ре­ гулярная точка для Л и В. Следует заметить, что ранг операто­ ра (В — г/)-1— (Л — г/)-1 не превосходит числа т , если Л и В — различные самосопряженные расширения одного и того же

dim Е% (В) Н > dim ЕА (А)Н.

В частности, если Ао принадлежит предельному спектру опера­ тора Л, то сегмент [А0 + а, Ао + Р] содержит хотя бы одну точку предельного спектра оператора В.

дения вытекает, что в сегменте [Ао — v, А0 + v] спектр В состоит

Ли т е р а т у р а : [1], [50], [158].

3.Возмущения полуограниченных операторов. Для полуограниченных самосопряженных операторов утверждения теории возмущений удобно формулировать в терминах соответствую­ щих квадратичных форм (определения и обозначения см. в § 6,

п.2). Пусть А и В — полуограниченные снизу самосопряжен­ ные операторы; А[х, х\ В[х, х] — соответствующие квадратичные формы с областями определения D[A] и D[B].

Говорят, что А > В, е£ли D[A] си D[B] и А[х, х] ^ В[х, х] для любых х е D[A].

влетворяют условиям Хп{В) ^ Хп{Л).

Пусть оператор А положителен. Множество D[A], наделенное скалярным произведением

{%>У}А=== А [X, у\ “}” (X, у),

является полным гильбертовым пространством. Если на D[A] задана некоторая вещественная квадратичная форма V[x, х] и

W[x, x]\< C \xfA9

то в D[A] действует ограниченный самосопряженный оператор Q такой, что

]/ [ху х] = (,Qx, х)д.

Форма V[xyх] называется вполне непрерывной в D[A\ коль ско­ ро вполне непрерывен в D [А] соответствующий оператор Q.

Если форма V[x, х] вполне непрерывна в D[A] и С [Ху х] = А [Ху х] + V [Ху х],

то форма С [х, х] с областью определения D [C]=D [А] полуограничена снизу и замкнута. Связанный с С[х, х] самосопряженный оператор С имеет тот же предельный спектр, что и оператор

А.В частности, отрицательный спектр оператора С дискретен. В случае, когда «возмущающая» форма отрицательна, по­

следнее утверждение может быть дополнено. Пусть V[x, х] ^ 0 и для любых а > 0 форма

С [Ху х] = А [х} х] + aV [Ху х] (XGE D [Л]) полуограничена снизу, замкнута и отрицательный спектр опера­

С один и тот же.