Материал: Функциональный анализ

Индексы дефекта оператора Л0 равны 2п. Сопряженный опера­ тор задается равенством Аоу = 1(у) и определен на множестве

D (A I) всех функций, имеющих на [а, Ь] абсолютно непрерывные квазипроизводные до (2п — 1)-го порядка включительно и ква­ зипроизводную y&nl е L2[ayЬ].

Всякое самосопряженное расширение А оператора Л0 за­

дается равенством Ay = I(у) на функциях из D(Aо), удовлетво­ ряющих системе граничных условий

Резольвента любого самосопряженного расширения опера­ тора А0 есть интегральный оператор типа Гильберта— Шмидта (см. § 2, п. 7). Следовательно, резольвента любого самосопря­ женного расширения А является вполне непрерывным операто­ ром, спектр оператора А является дискретным, оператор А имеет полную систему собственных элементов.

Ли т е р а т у р а : [24], [45].

3.Сингулярный случай. Если интервал (а, Ь) бесконечен или функция 1/ро(х) не суммируема на (я, Ь)у то выражение 1(у) называется сингулярным. В этом случае картина получается значительно более сложной.

мого оператора А0 не всегда допускает описание с помощью граничных условий. Непосредственно из тождества Лагранжа

уже не удается сделать с помощью системы граничных усло­ вий. Условия, выделяющие область определения самосопряжен­

ного расширения из множества £)(Л0)> пишутся в неявной форме (см. [45]).

Резольвента всякого самосопряженного расширения яв­ ляется интегральным оператором с ядром Карлемана (см. § 3, п. 5).

Если индекс дефекта оператора Л0 равен 2п, то ядро яв­ ляется ядром Гильберта — Шмидта. В этом случае спектр лю­ бого самосопряженного расширения дискретен. В общем слу­ чае спектр состоит из дискретной и непрерывной части. Непре­ рывная часть спектра у всех самосопряженных расширений одинакова.

Несколько больше можно сказать в случае, когда выраже­ ние 1{у) на одном из концов интервала (а, Ь) регулярно. Пусть

расширение также описывается с помощью граничных условий на регулярном конце: область определения расширения состоит

из всех функций из D (Ло), удовлетворяющих условиям

Обратно, написанная система граничных условий выделяет

из D (Ло) область определения самосопряженного расширения оператора Л0, если ajk удовлетворяют последней системе ра­ венств.

Если выражение 1{у) сингулярно на обоих концах (а, 6), то ^интервал (а, Ь) можно разбить внутренней точкой с на два интервала: (а, с) и (с, 6), в каждом из которых 1(у) будет ре­

гулярным в конце с. Если обозначить через Ло” и Лоопера­ торы, порождаемые 1(у) на интервалах (с, Ь) и (а, с), и через

т= т++ ггг — 2я.

Вчастности, если индексы дефекта операторов Ло" и Ло” рав­ ны я, то оператор Л0 на (а, 6) будет самосопряженным. Обратно,

если Ло на (а, 6) самосопряжен, то, поскольку всегда яг+^>я и т" > я, операторы Ло" и Ло" имеют индексы дефекта я.

Л и т е р а т у р а : [24], [45].

и (—оо,0] соответствующие операторы Ло* и Ло" имеют индек­ сы дефекта, равные я.*

Если коэффициенты выражения 1(у) постоянны:

с постоянными коэффициентами, самосопряжен.

Ряд критериев устанавливает, что оператор А0 самосопря­ жен, если его коэффициенты в известном смысле близки к по­

к коэффициенту рп{х) ограниченной на (—оо,оо) функции ин­ декс дефекта оператора Л0 не изменяется. Отсюда, в частности, вытекает самосопряженность оператора Л0, порожденного на (—оо,оо) выражением

l ( y ) = ( - i ) n^ r + q(x)y,

где q{x) — ограниченная на (—оо,оо) функция.

Более сильные утверждения справедливы при п = 2, т. е. для выражения

1(у) = — у " + q(x) у.

Оператор Л0, порожденный этим выражением на (—оо, оо), будет самосопряженным, если функция q(x) ограничена только снизу или, более общо, ,если при достаточно больших \х\

Оператор Л0 также самосопряжен, если q ( x ) ^ L 2(—оо,оо). Другие критерии самосопряженности и несамосопряженности оператора Л0, порожденного самосопряженным дифферен­

циальным выражением 1(у), см. в гл. 9, § 3, п. 5.

Ли т е р а т у р а : [24], [45].

5.Характер спектра самосопряженных расширений. Как ука­ зывалось, в сингулярном случае спектр самосопряженных рас­ ширений может быть и дискретным, и непрерывным. Если

рассмотреть выражение 1(у) на [0, оо), то при выполнении условия 3) предыдущего пункта непрерывная часть спектра всякого самосопряженного расширения оператора А0 на [0, оо) совпадает со всей положительной полуосью X ^ 0. Точки дис­