Материал: Функциональный анализ

Если /?о(^)>0 и выполнены условия 1) предыдущего пунк­ та, причем аи а2у ..., an-i положительны, то в интервале (— оо, ап) может находиться только дискретная часть спектра.

в теории дифференциальных операторов. Особое значение он имеет в задачах квантовой механики. Для дифференциальных операторов квантовой механики он изложен в гл. IX.

Ли т е р а т у р а : [24], [45].

6.Разложение по собственным функциям. В регулярном слу­ чае для самосопряженного расширения А существует полная

"ортонормированная система собственных функций, по которой разлагается в ряд Фурье любая функция из L2(a,b). Если эта функция принадлежит области определения, самосопряженного расширения, т. е. является достаточно гладкой и удовлетворяет соответствующим граничным условиям, то ее ряд Фурье схо­ дится равномерно.

В сингулярном случае у самосопряженного расширения мо­ жет появиться непрерывный спектр и вместо разложения в ряды появляются разложения в интегралы, которые также называются разложениями по собственным функциям диффе­ ренциального оператора 1(у).

Ло, порожденного выражением 1(у), существует матричная функция

а {X) — (aJk (X)) (/, k = 1, 2, ... , 2п)

такая, что для любой функции f ( x ) ^ L 2(a,b) справедлива фор­ мула

242 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

где интеграл сходится в L 2, da-

Имеет место аналог равенства Парсеваля:

а—оо /, k=\

Кратность спектра оператора А не превосходит 2п. Ядро резольвенты оператора А задается формулой

где интеграл сходится в L^{a,b) по каждой из переменных х

иs при фиксированной другой.

Вслучае, когда выражение 1(у) регулярно на одном из концов интервала (а, £>), например на конце а, и соответствую­ щий оператор А0 имеет индекс дефекта п, предыдущие разло­

жения упрощаются. Всякое самосопряженное расширение в этом случае описывается с помощью системы из п гранич­ ных условий на конце а. В разложениях можно брать тогда не все решения и(х, Я) уравнения 1(у) = Ху, а только те, которые удовлетворяют на конце а соответствующим граничным усло­ виям. Из них линейно независимыми будут п решений. Мат­ рица распределения а (Я) будет порядка п. Так, для выражения второго порядка

ние уравнения 1{у) = Ху, удовлетворяющее граничному условию

{pu'-Qu)x=a = 0.

Вещественный коэффициент 0 соответствует данному самосо­ пряженному расширению.

Функция а(Я) может быть найдена следующим образом: пусть и\(х,Х) и u2(xtX)—два решения уравнения 1(у) = Ху та­ кие, что

их(а, Х) = 1, р (а) и\ (а, X) = О,

и2(а, X) = 0, р(а)и2(а, X) = — 1.

Так как индекс дефекта равен единице, то при каждом не­ вещественном X лишь одна комбинация вида и\(х,Х) + М {X)и2(х, X) принадлежит L2(a, b). По функции М(Х) на­

ходится функция а (Я):

Ли т е р а т у р а : [24], [45].

7.Примеры.

1.Пусть дифференциальное выражение

Нл) = — У"

рассматривается на интервале (0, оо). Линейно независимыми решениями уравнения —у" = iy будут

чами в спектральной теории дифференциальных операторов^ называются задачи о восстановлении дифференциального вы­ ражения данного порядка по тем или иным спектральным характеристикам самосопряженного оператора, порожденного этим выражением. Здесь рассматривается один вариант поста­ новки обратной задачи.

Пусть для некоторого дифференциального выражения вто­ рого порядка

Цу) = — y " + q { x ) y

известна спектральная функция сг(Я), соответствующая некото­ рому самосопряженному расширению А оператора Л0, порож­ денного выражением 1(у) на (0, оо).

Требуется найти коэффициент q(x) в выражении 1(у) и вид граничного условия, соответствующего оператору А.

Для этой задачи имеется несколько методов решения, один