§ 9. ГИЛЬБЕРТОВА ШКАЛА ПРОСТРАНСТВ |
261 |
(определение |
/ а см. в § 3, п. 3). |
Пространство Яа является |
гильбертовым по отношению к скалярному произведению |
||
|
(*, y ) a = ( j ax , |
J ay ) . |
При а < |
0 по этой же формуле |
вводится скалярное произ |
ведение в пространстве Я0, и пространство, полученное попол нением Но по соответствующей норме, обозначается' через На (а < 0).
Полученное |
семейство гильбертовых пространств {Яа} |
|
(—оо < а < оо) |
называется гильбертовой шкалой пространств. |
|
Гильбертова шкала пространств обладает свойствами: |
||
1) Если а < |
р, то Н $ а Н а, пространство Я е всюду плотно |
|
в пространстве На и |
|
|
|
I U L < I U I I p . |
|
2) Если а < |
р < у, то при |
Ну справедливо неравенство |
|
Y-P |
0-а |
3)Пространства На и Я_а являются взаимно сопряженными
по отношению к скалярному произведению в Я0. В частности,
j (*> у)о I < IIДС||аII у Н_а |
(х<=На, |
у е= Я_а). |
|
(Под функционалом |
(х,у) о понимается |
скалярное произведе |
|
ние в Я0, если х,у<= Н0, и его |
расширение по непрерывности, |
||
если х е Яа и у е Я_а.) |
|
|
|
Пусть Я0 и Я, —два гильбертовых пространства со скаляр |
|||
ными произведениями |
(х,г/)0 и |
(я, г/)[ и |
нормами IM|0 и 1|JC||I |
соответственно. Предполагается, |
что Н\ а |
Я0, Я! всюду плотно |
|
в Н0 и |
|
|
|
II* It,<11* lli |
(*еЯ,). |
||
Оказывается, что существует неограниченный самосопряжен ный положительно определенный оператор / в Я0 такой, что областью определения его служит пространство Я, и
|
|
II * Hi = 11/* Ко |
оператор |
/ |
называется порождающим для пары (Я0,Я i). |
По оператору / |
можно построить гильбертову шкалу прост |
|
ранств, включающую пространства Я0 и Я,. |
||
Оператор |
/, |
первоначально определенный на пространстве |
Я 1 и отображающий его на пространство Я0, может быть рас ширен на пространства На. Таким образом, оператор / можно считать расширенным до оператора 7, определенного на всех пространствах На (—оо < а < оо) и отображающего взаимно однозначно Яа на Яа_1. Любой оператор ] г (I > 0) порождает
252 |
ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
ту же гильбертову шкалу пространств и также может быть расширен дс оператора, определенного на всей шкале и ото бражающего На на Яа_/.
Ли т е р а т у р а : [3], [101].
2.Пример гильбертовой шкалы. Пространства W2- За про странство Н0 принимается пространство L2(Rn), где Rn — n-мерное пространство. Через й(£) обозначается преобразование Фурье функции и ( х ) ^ L2(Rn):
Пусть |
J — оператор, ставящий в соответствие |
функции |
и(х) |
||
функцию |
v (л;), преобразование |
Фурье которой |
имеет |
вид |
|
|
/И !) = д(|) = |
-1/1 + Ш 2 й(|). |
|
|
|
Гильбертова шкала, построенная по оператору /, |
может |
||||
быть описана так: пространства На при а ^ 0 состоят |
из |
всех |
|||
функций, для которых |
|
|
|
|
|
При а < 0 |
пространства На получаются |
пополнением |
L2(Rn) |
||
по написанной выше норме. |
обозначается |
через |
|||
Полученная |
шкала |
пространств |
|||
{Г2а (Я*)'} |
(СМ . гл. |
II, § |
1, п. 5), она является важной для мно |
||
гих задач анализа и теории уравнений в частных производных. Возникает вопрос о том, существует ли гильбертова шкала
пространств, содержащая пространства Соболева W\{G), опре деленные в области G я-мерного пространства. Ответ на этот вопрос неизвестен. Однако для каждого N можно построить
гильбертову шкалу пространств Н{ам\ содержащую все прост
ранства Wl2(G) при 0 ^ ^ N. Построение такой шкалы мож но провести с помощью продолжения на все пространство Rn функций, заданных в области G, с сохранением гладкости.
Нормы в пространствах |
будут при |
эквива |
лентны нормам в пространствах |
W^iG): при а = т , |
где /п — |
целое: |
|
|
§ 9. ГИЛЬБЕРТОВА ШКАЛА ПРОСТРАНСТВ |
253 |
При а = т + А,, где m — целое и 0 < %< 1:
тч
и |wm+\ — I |I и I2 + 2 | d ’u |2 1 dx +
|p |==m G G
При отрицательных индексах эффективного описания нор мы, нет, но она может быть определена как норма в сопряжен ном пространстве
HullП |
sup |
J и (х) v (х) dx |
(а > 0). |
IN а=1 |
G |
|
Таким образом, в любом наборе с ограниченными индек
сами |
а, пространства |
W? |
обладают свойствами пространств |
|||
гильбертовой шкалы. В частности: |
|
|||||
1. |
При а < |
р пространство |
Wl{G) |
содержится и всюду |
||
плотно в пространстве W®(G) и |
|
|
||||
|
|
11«11г а < С |
| | « | Ц |
(и е |
W l). |
|
2. |
При а < |
Р < у имеет место неравенство |
||||
|
II и II « < |
СII и ||У |
т ~а) || и Ig7a)/(v- a) |
(и s w l (G)). |
||
|
w 2 |
w 2 |
|
w2 |
|
|
Константы С в последних неравенствах зависят от вида об ласти G и от максимального модуля индекса норм фигурирую щих в них пространств. Последнее неравенство часто удобно применять в эквивалентной форме:
IIU Ц < С ( e - (p- a)/(Y- a) II и \\wa + e(v-(3)/(v-a) || и |Ц ) ,
где е —любое положительное число.
Ли т е р а т у р а : [3], [101], [102].
3.Операторы в гильбертовой шкале. Для гильбертовых шкал справедлива следующая интерполяционная теорема:^ пусть имеются две гильбертовы шкалы {На} и {Fa} и линейный опе ратор А, являющийся ограниченным оператором, действующий
из |
пространства |
# а„ в пространство Fa |
и |
из пространства Нр0 |
||
в |
пространство |
F$r |
Тогда |
оператор |
А |
является ограничен |
ным оператором, |
действующим из любого |
пространства # ао(й() |
||||
в |
пространство |
Fa^h |
где |
а0(р) = (1 "_ И')ао + ^Ро и «i(^) = |
||
= |
(1 — ц) aj + nPj. |
|
|
|
|
|
254ГЛ. IV, ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Всвязи с указанным обстоятельством большинство опера торов, возникающих в приложениях, естественно рассматри
вать не как операторы, действующие из одного пространства в другое, а как операторы, действующие из серии пространств одной шкалы в соответствующую серию пространств другой шкалы. Так, например, оператор у, ставящий в соответствие L-гармонической функции ее граничное значение (см. § 8), яв ляется ограниченным оператором, осуществляющим взаимно
однозначное отображение любого пространства |
шкалы W% (G) |
|||||||||
с а ^ О |
в пространство |
а---1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Wг 2 (Г). |
|
|
|
|
|
|
||||
Из сформулированной интерполяционной теоремы можно |
||||||||||
получить важное |
н е р а в е н с т в о |
Гайнца: пусть |
А и |
В — |
||||||
положительные |
самосопряженные |
операторы, |
действующие |
|||||||
в гильбертовых |
пространствах |
Н |
и |
Н\ |
соответственно. |
Если |
||||
Т — ограниченный оператор с |
нормой |
М, |
действующий |
из Н |
||||||
в Н1, такой, что TD(A)a D(B) и |
(*е=£(Л)), |
|
|
|
||||||
|
WBTxW^MJAxW |
|
|
|
||||||
то TD(Aa)cz D(Ba) и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
IВаТх I, ^ М 1-аМ“|| Лал:|| |
|
( 0 < а < 1 ) . |
|
|
|||||
В случае, когда Н = |
Н\ и Т = /, |
получается следствие: если |
||||||||
А и В — положительные |
самосопряженные операторы в |
гиль |
||||||||
бертовом пространстве Н такие, что |
D(B)I D D(A) |
и \\Вх \^ |
||||||||
< \\Ах\\ |
(*е=£>(Л)), то \\В«х\\ < |
||Л«*||, 0 < а < |
1. |
|
|
|||||
Ли т е р а т у р а : [36], [101], [102].
4.Теоремы о следах. Пусть пространства {На} образуют гиль
бертову шкалу. Рассматриваются функции x(t) (—оо < / < < оо) со значениями в гильбертовом пространстве Н{ и имею щие непрерывную производную /-го порядка в пространстве Я0 (в смысле нормы пространства Н0 (см. гл. III, § 4, п. 1)). В мно жестве Швсех таких функций вводится норма
оо
Пространство пополняется по этой норме, и ставится во прос о том, что можно сказать о значениях полученных функ ций и их производных порядка ниже / в любой точке веще
ственной оси, например, в точке / = |
0. |
Иначе этот вопрос можно еще поставить так: если последо |
|
вательность функций xn(t)d ^l |
является фундаментальной |
в норме этого пространства, то что можно сказать о сходимости значений этих функций и их производных в точке t = 0?
§ 10. ПРОСТРАНСТВА С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ |
255 |
Оказывается, что операторы, ставящие в соответствие функ
ции x(^)e$ft элементы xh(0) |
(k = |
0, 1, .. . , |
/ — 1), |
являются |
|||
непрерывными |
операторами |
из |
пространства |
SR в пространства |
|||
Я^, где |
= |
2k -I- 1 |
Таким |
образом, |
можно |
говорить |
|
1 ------2/— • |
|||||||
о значениях в точке самой функции и ее производных порядка
ниже / для любой функции из пополнения пространства -Л. Эти значения принадлежат соответственно пространствам Яak.
Обратно, |
если |
дан набор элементов х0, хь . |
x_z-1 таких, |
что xk е На^ |
то |
можно построить функцию |
для ко |
торой xk(0) = |
xk (А = 0, 1 1 ) . |
|
|
Предложения указанного типа получили название теорем о |
|||
следах (см. гл. II, |
§ 1, п. 5). |
|
|
Ли т е р а т у р а : [102], [104].
§10. Линейные операторы в пространствах
синдефинитной метрикой
= |
1. / пространства. Пусть Hi— гильбертово пространство, Н = |
|
Я+-}-Я_— некоторое |
его разложение в ортогональную сум |
|
му |
подпространств Я±, |
а Р± — соответствующие проекционные |
операторы (ортопроекторы): Р±Н = Н±. Оператор / = Р+ — Р_ является одновременно самосопряженным и унитарным опера
тором в |
Я, причем J2= /. |
В Н |
вводится полуторалинейная |
||
форма |
|
[х, у] = |
(Jx, у) |
(х, у е= Я). |
|
|
|
||||
Эрмитова |
форма |
[х, у] в |
случае, |
когда Р± ф 0, индефинитна. |
|
Пространство Я |
с формой |
[х, у] |
называется J-пространством |
||
или пространством с индефинитной метрикой. |
|||||
В зависимости от того, положительно, отрицательно или рав
но нулю |
число [х, х], вектор х |
Я |
называется соответственно |
||||
положительным, отрицательным или |
нейтральным. Линеал, т. е. |
||||||
линейное |
многообразие |
3 |
о Я, |
называется |
неотрицательным |
||
(положительным), если |
[х, |
х] ^ |
0 |
([х, х] > 0) |
для всех х е З ’ |
||
(х-ф- 0). Аналогично определяются неположительные (отрица тельные) и нейтральные линеалы. Положительные и отрица тельные линеалы называют дефинитными, неположительные и нейтральные — семидефинитными. Для всякого линеала 3 ка ждого из перечисленных выше типов существует содержащий
его максимальный линеал 3? того же типа.
Неотрицательный (неположительный) линеал 3 отобра жается проекционным оператором Р+(Р-) в Я+(Я_) взаимно однозначно и взаимно непрерывно. При этом 3 будет макси мальным неотрицательным (неположительным) тогда и только