Материал: Функциональный анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

256	ГЛ.	IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
тогда,	когда	Р+3 = Н+ (Р_2? = Н-). Ясно,	что в этом случае
3 замкнут,		т. е. является подпространством	в Н (замыкание и

все другие топологические термины понимаются по отношению


к гильбертовой норме в Н). При этом d im 3 =							dim Н+ (d\m3 —
= dim //_)— з а к о н			инерции.		Для	произвольных			же неот
рицательных		(неположительных)				подпространств			имеем
dim 3 ^	dim Н+ (dim//-).			всех	максимальных			неотрицатель
Совокупность £Ш+ = {3}
ных подпространств 3			/-пространства			Н находится во взаимно
однозначном		соответствии с множеством $ = {К}						всех	нерастя
гивающих линейных операторов					К (\|\|/С\|\| ^ 1 ) ,		отображающих
Н+ в //_. Это соответствие выражается						формулой		3 = {х+ +
+ Кх+}Х		• К 'называется угловым оператором						подпростран
ства 3	относительно		Н+.	Аналогично		определяются			совокуп


ность 9W- = {3'}		и угловой оператор К' максимально неполо
жительного подпространства 3 '			относительно Н~.
Векторы х,у е		Н называются J-ортогональными, если' [.х, у] —
— 0. Естественно		определяются	/-ортогональность вектора х
и линеала 3	и двух линеалов 3		и М; соответствующие обозна
чения: х[±.]у,	х [ ± ] 3 , 3[±.]М.		Пара подпространств {3,М},

3[1.\М, из которых одно неотрицательно, а другое неположи тельно, называется дуальной парой.

Подпространство 3 [±\ состоящее из всех векторов х ^ Н , /-ортогональных линеалу 3 , называется / -ортогональным до

полнением линеала

3 .

Линеал 3 0 = 3

[}3[А']

называется

изо

тропным линеалом

линеала

3 ,

векторы х ^ З 0 — изотроп

ными векторами линеала

3 .

Если Зо = {0}, то линеал

на

зывается невырожденным.

27i определяется

угловым

опера

Если

подпространство

3 е

тором /(,

то

3 [L] е

9№_

и 3

[±]

определяется

угловым

опера

тором К* (и обратно). Здесь 3

и 3 1±] составляют максималь

ную дуальную пару.

называется

проекционно полным,

если

Подпространство

Н = 3 ® 3 1±]. В этом

случае

необходимо невырожденно.

Если невырожденность любого подпространства 3

достаточна

для его проекционной полноты,

то х =

min {dim//+,

dim//_}<;

< оо. /-пространство Н,

у которого ранг индефинитности к ко

нечен ( х<оо) , называется пространством Понтрягина

обо

значается Пк

(в дальнейшем для определенности считается, что

х = dim #+).

подпространств

проекционная

полнота

Для дефинитных

эквивалентна

равномерной дефинитности, т. е. свойству

|[.х, х] | ^

^ ag (х, х)

(а# > 0, х е

3 ) .

Последнее условие для

9Й+

равносильно

требованию

\\К\\ <

где

К — угловой

оператор

	§ 10. ПРОСТРАНСТВА С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ					257
подпространства		9?,	и	аналогично	для 9? е 5Й_.	Если же
9 ?еШ1+ дефинитно,			но \|\|/С\|\| = 1, то		можно лишь утверждать,
что 9? ©	=	Н.
Два линеала 9?, М из Н называются кососвязанными, если
9£ А М[11 =	9 [1] П М =		{0}.	Нейтральные линеалы 9? и М косо-
связаны тогда и только тогда, когда					9? ® М — невырожденный
линеал.

/-пространства представляют частный случай гильбертовых пространств с более общей, так называемой G-метрикой: [х,у] = = (Gx, у) (х, j/ е Я ) , где G — произвольный ограниченный само сопряженный оператор в Н (оператор Грама). Еще более об щими являются линейные пространства Е (не наделенные ни какой топологией), на которых задана индефинитная эрмитова полуторалинейная форма [х, у]. В ряде вопросов, приводящих к таким пространствам, удается для формы [х,х] задать на Е


положительно определенную форму						(х,х) (мажоранту) со свой
ством	\|[х, х] \| ^ (х, х)			(х ^ Е)	и включить			таким образом Е
в некоторое гильбертово пространство Н с G-метрикой. Триви
альным случаем,			когда	существует мажоранта (х, х), является
случай	разложимости			пространства			Е:	£ = £+© £-,		где
£ +[JL]ZL,		Я+(£-) — положительный				(отрицательный)			линеал.
Здесь	достаточно		для	каждого	вектора		х = *+ +		{х±^Е±)
положить		(,) =	[+,+] — [_,_]. Однако					наличие мажоранты
не гарантирует существование					канонического разложения					Е =

—Е+ 0 Е-.

Ли т е р а т у р а : [159], [166].

2.Линейные операторы в /-пространствах. Линейный опера тор V с областью определения D(V) и множеством значений

/?(Е) в /-пространстве	Н = # + 4- # - называется плюс-опера
тором, если [Vx, Vx] ^	0 для всех x ^ D ( V ) с [х, х] ^ 0. Ясно,

что это определение содержательно лишь тогда, когда в fl(K)


имеются неотрицательные			векторы,		в	частности,	при£)(1/)П
П Н+ Ф 0.	Если для	всех	J T G D(K)			имеем [Vx,	Vx] ^ [х, х]
([Vx, Vx] =	[х, х]), то	такой	плюс-оператор V называется J-не
сжимающим (соответственно J-изометрическим). Аналогично
определяются минус-операторы				и	/-нерастягивающие			опера
торы. /-изометрический оператор				U	с	D(U)= Н	называется
J-полуунитарным и называется				J-унитарным в случае, когда
UH = Н.	/-унитарность равносильна					требованию:		UJU* =

=U4U = /.

Для любого линейного оператора Т с плотной в Н областью

определения D (Т) существует оператор T° = JT*J, называемый

J-сопряженным для оператора Т: [Тх, у] = [х, Т°у] для всех xezD(T), yz=D{TQ).

258 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Свойства /-сопряженного оператора Т° вполне аналогичны соответствующим свойствам обычного сопряженного оператора Т*. В частности, оператор Т° всегда замкнут.

Оператор U /-унитарен тогда и только тогда, когда UH — Н и U0= U~{. Отсюда следует, что /-унитарные операторы U и U~{ всегда ограничены. Этого нельзя сказать о произвольном плюс-операторе V, даже при D(V) = H. Однако в последнем случае для плюс-оператора V имеет место индефинитная квази-


ограниченность снизу, т. е. существует					константа		та
кая, что		[Vx, Vx]>\i{V)[x,		х]	(*€=//).

При	(jt(1/) > 0 плюс-оператор			V называется		строгим. В этом
случае	он	«коллинеарен»	/-несжимающему			оператору	V\ =
= II1/* V.	V — плюс-оператор		и D(V) П # + ф 0, то для ограничен
Если
ности V достаточно, чтобы был ограничен оператор P+F. Если
же D(V) = H = Uк, то для			ограниченности плюс-оператора V
достаточно,		чтобы он не аннулировал			ни одного положитель

ного вектора. В частности, /-несжимающие операторы, задан ные всюду в Пи (в том числе все /-полуунитарные операторы в Пх), ограничены. Если же D(V)czUK9 то /-несжимающий опе

ратор V ограничен тогда и только тогда, когда			он допускает
замыкание, т. е. у	него существует	замкнутое	расширение F.
/-несжимающий	оператор V с D ( V ) = H называется			двояко
J-несжимающим (другие названия: двусторонний J-несжима-
ющий, J-бинесжимающий), если V		ограничен	и V*	являет
ся /-несжимающим (это равносильно		тому, что	V0— /-несжи
мающий).		оператор	V был	двояко
Для того чтобы J-несжимающий
J-несжимающим,	необходимо и достаточно,		чтобы	(А_—
— P+V)H = Н. Если /-несжимающий		оператор V ограничен, то

для того чтобы он был двояко /-несжимающим, необходимо и достаточно, чтобы спектр оператора V°V был неотрицательным

и подпространство N(V°) нулей оператора		V0 было равномерно
отрицательным.	U симметричен относительно
Спектр /-унитарного оператора
окружности \Х\ = 1. /-унитарный оператор		U называется устой
чивым, если \|\|t/n\|\|^ C (п = 1, 2,	...). Для	устойчивости U не

обходимо и достаточно, чтобы Н распадалось в прямую сумму


Н — 3?\®2?2	подпространств		3?и 2?2,	составляющих		инва
риантную относительно U		максимальную			дуальную	пару
(см. п. 1).		называется		сильно устойчивым,
/-унитарный оператор U
если можно указать такую его			окрестность		\\Ui — U\|\| <	е, что
все /-унитарные	операторы U\		из этой окрестности устойчивы.

§ 10. ПРОСТРАНСТВА С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ

259

Для сильной устойчивости оператора U необходимо и доста точно, чтобы Я = 5 ?1®«272, где [2 и 2 £ — максимальная ду альная пара, инвариантная относительно 0, и

	o(U/2l)[)o(U/22) = 0 9
где o(U/2i) — спектр сужения U на 2 i (i =			1, 2). В этом слу
чае говорят,	что оператор /	имеет строго дефинитный		спектр.
Одной из	центральных	проблем теории	является	вопрос

о существовании у плюс-оператора V инвариантных подпро странств класса Ш+>а в случае положительного ответа—ха рактеризация спектра сужения V на такое подпространство.


О с н о в н а я	т е о р е м а .	Пусть	V — ограниченный плюс-
оператор, заданный всюду в Н. Если оператор P+VPвполне
непрерывен, то	существует	подпространство			2 0 е Ш+,	инва
риантное относительно V. Если, кроме				того, Vx Ф О для		х Ф О
с [ х ,х ] ^ 0 и для некоторого 2 \ е Ш+				имеем	V 2\ G ®!+,		т о и
для любого 2 е	ЗГО+ будет V 2 е ЗИ+		и, стало быть, V3?o =				2 0.

В частности, если U— /-унитарный оператор и P+UP- впол не непрерывен, то вполне непрерывен и P-UP+ и у оператора U существуют инвариантные подпространства как в классе 9Й+, так и в классе 2Я_. /-унитарные операторы U, для которых P+UP- вполне непрерывны, составляют подгруппу Г группы всех /-унитарных операторов в Я. Всякий оператор ( / s Г есть возмущение обычного унитарного оператора вполне непрерыв ным. Поэтому часть спектра оператора U, не лежащая на еди ничной окружности (неунитарный спектр), может состоять лишь из изолированных собственных чисел конечной алгебраической кратности (полюсов резольвенты). Каждому такому собствен ному числу X (|Я| ф 1) отвечает нейтральное корневое подпро странство 2?x(U) и кососвязанное с ним корневое подпростран ство j?£_i (U).

Для любого /-изометрического оператора при \х Ф X'1 кор

невые	линеалы 2%(V)	и 2 ]X(V)	/-ортогональны,	а, значит, при
\Х\ Ф	1 корневой линеал 2^(V)		нейтрален.	У е Г произ
Если неунитарный		спектр аНеун(Я) оператора

вольным образом разбить на две непересекающиеся части oi и Он, симметричные относительно единичной окружности, то ин

вариантные		относительно U подпространства 2 ± е			можно
выбрать таким образом, чтобы
		^неун (Я/«2?+) = 0{,	Оцеун (Я/2	—)=== О^ц.
Оператор		A (D (А) = Я)	называется	J-самосопряженным,
если А0=	А, что равносильно обычной самосопряженности опе
ратора JA.	Спектр /-самосопряженного оператора А				симметри

чен относительно вещественной оси. Если £ и £ — регулярные точки оператора А = А0, то его преобразование Кэли

260	ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
U =	(А —£/) (А — £/)-1 есть /-унитарный оператор. При этом

условие полной непрерывности Р+АР- достаточно для включения U е Г.

Если /-самосопряженный оператор ограничен (D ( A ) = H ), то в силу преобразования Кэли для него справедливы точные аналоги всех приведенных выше предложений об инвариантных подпространствах и спектре (с заменой неунитарного спектра невещественным). Соответствующие теоремы справедливы и для неограниченных /-самосопряженных операторов Л, если


только H+czD(A)			и вполне непрерывен оператор					Р+ЛР_ (по
следнее условие допускает некоторое ослабление).									Понтряги-
В	частном	случае,		когда Н = Пя (пространство
на),	условие	U е	Г (и	соответствующее		условие для			/-самосо
пряженных операторов)					в силу конечномерности			подпростран
ства	//+ автоматически				выполняется	для	всех	/-унитарных
(/-самосопряженных) операторов. Поэтому							у всех	этих опера

торов в Ifx существуют %-мерные неотрицательные инвариант ные подпространства, а стало быть, и (неотрицательные) соб ственные векторы (а возможно, и присоединенные векторы). Здесь видно отличие от обычных унитарных и самосопряжен ных операторов, которые в бесконечномерном гильбертовом пространстве могут вообще не иметь точечного спектра, а при наличии собственных векторов никогда не имеют присоединен ных векторов.

Для любого /-самосопряженного оператора А в Н линейная

оболочка	Л всех корневых линеалов	«2\(А) с 1 т Я > 0 ней
тральна,	а значит, dimAs^K в случае	Н — П*. Подпростран
ство Л	кососвязано с А' — линейной	оболочкой всех 3?\{А)

с 1шЯ<0, так что инвариантное относительно А подпростран ство Л ® Л' невырождено, а спектр сужения А на /-ортогональ


ное дополнение к Л ®Л' веществен.
	Для любого вещественного собственного числа А оператора
А = А0 в Пх				корневой линеал 9?\{А)		может быть	разложен
в	прямую		сумму 3?к(А) = &{			инвариантных	подпро
странств,			где	состоит только	из	собственных	векторов,
а	2?\ конечномерно.
	Таким образом, непростые элементарные делители (иначе говоря, жор-
дановы цепочки из присоединенных векторов)						возможны у оператора А
только в		конечномерном подпространстве			3?'^. Хотя разложение £^(Л ) =
=	2?'^ ®	3?" не		определяется однозначно, порядки {</,•} элементарных дели
телей (т. е. длины жордановых цепочек) А в 3						не зависят от выбора этого
разложения и

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: