Материал: Функциональный анализ

Оператор eAt определяется рядом (гл. III, § 3, п. 4)

который сходится по норме операторов. Оценка каждого члена ряда по норме дает неравенство

|| eAt ||<е*

Операторы eAt при различных t (—оо < t < оо) образуют однапараметрическую группу, ограниченных операторов

gAte A% — e A(t +х) e

Оценка нормы оператора eAt, приведенная выше, является грубой, так как она учитывает лишь норму оператора Л и не учитывает расположение его спектра. Более точная оценка со­ держится в следующем утверждении: если вещественные части всех точек спектра оператора А меньше числа а, то

\ \ е м ||

Обратно, из выполнения этого неравенства следует, что дей­ ствительные части точек спектра оператора А не превосходят а

лежал в замкнутой левой полуплоскости, и достаточно, чтобы он лежал в открытой левой полуплоскости.

Для ограниченности всех решений на всей оси —оо < t < оо необходимо, чтобы спектр оператора А лежал на мнимой оси. Это условие не является достаточным, что можно проверить на примере конечномерного оператора с кратными элеметарными Делителями.

решение может быть представлено в виде ряда из частных ре­ шений указанного вида. В частности, если собственные векторы

{еп} оператора А образуют базис в Е, то общее решение урав­ нения имеет вид

* ( 0 = 2 спек"*еп.

Ли т е р а т у р а : [22], [179], [185].

3. Случай гильбертова пространства. Пусть однородное уравнение с постоянным оператором рассматривается в гиль­

унитарный.

Для того чтобы все решения однородного уравнения в гиль­ бертовом пространстве были ограниченными на всей оси, не­ обходимо и достаточно, чтобы оператор А был подобен опера­ тору iB, где В — самосопряженный оператор, т. е.

спектр оператора А лежал в открытой левой полуплоскости, не­ обходимо и достаточно, чтобы существовал такой ограниченный самосопряженный положительно определенный оператор W, что оператор WA + A*W являлся бы , отрицательно опреде­ ленным.

Иначе говоря, необходимо и достаточно существование по­

при любом решении x(t) дифференциального уравнения.

Лит е р а т у р а : [22], [179].

4. Уравнение второго порядка. Для уравнения второго по­ рядка

■§г + * * “ 0

с ограниченным линейным оператором В в банаховом простран­ стве Е задача Коши состоит в нахождении решения по началь­ ным данным:

х(0) — х0 и *'(0) —

Оператор U(i) можно рассматривать как решение задачи Коши

= A ( t ) U , и ( 0 ) = 1

для дифференциального уравнения в пространстве ограниченных операторов, действующих в Е.

При каждом t существует ограниченный обратный оператор V(t) = t/_1(/). Этот оператор является решением задачи Коши для операторного дифференциального уравнения

которое называется сопряженным к предыдущему.

Если рассмотреть для исходного уравнения более общую за­ дачу Коши, в которой начальное условие задается не в момент времени t = 0, а в любой момент t0.

X (to) = *0, то ее решение можно записать в виде

x(t) = U(t)U- l (t0)x0 = U(t, t0)x0.

Всегда о ^ М. Точную верхнюю грань чисел о для всех ре­ шений уравнения называют старшим показателем os. Для него справедлива формула

t->ОО 1

Существенно важной характеристикой уравнения является особый показатель, определяемый формулой