§ 1. УРАВНЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ |
271 |
производной можно потребовать, чтобы оператор-функция A(t) при достаточно больших t удовлетворяла условию Липшица IIЛ(f) —i4 ( f i) ||^ e |f — ti\ с достаточно малым коэффициен том е.
В гильбертовом пространстве можно дать следующий крите рий отрицательности особого показателя. Если существует эрми
това форма (V(t)x, у) |
такая, что |
|
|
0 < а {(х9 х)<(1/ |
х ) < а 2(*, |
х) |
|
и |
|
|
|
±{V{t)x{t), |
* ( 0 ) < - p ( * ( f ) , *(*)), |
р>О, |
|
для любого решения x(t) однородного уравнения, то особый по казатель отрицателен.
Наоборот, для всякого однородного уравнения с отрицатель ным особым показателем можно построить форму (V(t)x, у) с указанными свойствами. Оператор V(t) может быть получен,
например, по формуле
оо
V{t)= J U*(x, t) U (т, t)dx. t
Ли т е р а т у р а : [22], [36], [179], [185].
6.Уравнение с периодическим оператором. Пусть в урав
нении
^= A ( t ) X
оператор-функция A(t) периодична с периодом со:
A(t + (o) = A(t) |
(0 < Х о о ). |
Эволюционный оператор U(t, 0) = U(t) обладает свойством
U (t + со) = U (t) U (со).
Оператор С/(со) называется оператором монодромии уравне ния с периодическим оператором.
Старший и особый показатели уравнения с периодическим оператором совпадают и равны логарифму спектрального ра диуса оператора монодромии (см. гл. III, § 2, п. 1), деленному на период
В частности, чтобы особый показатель был отрицательным, необходимо и достаточно, чтобы спектр оператора монодромии дежал внутри единичного круга.
272 |
ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
Если спектр оператора монодромии не окружает нуля, то уравнение с периодическим оператором приводимо. Оно может быть сведено заменой x = Q(t)y к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью оператора
(Логарифм оператора U определен в гл. III, § 3, п. 1.)
В гильбертовом пространстве можно дать оценки для пока зателей о экспоненциального роста решений через границы
формы Re (А (t)х, х) . |
|
Если |
Re (А (t) х, х) ^ а2 (0 (х, х), |
а! (^) (х, х) ^ |
|
то |
О) |
(О |
|
± / а , ( 0 ^ < а < - 1 / а 2(t) dt. |
|
О |
о |
Л и т е р а т у р а : [22], [179], [185].
7. Неоднородное уравнение. Для неоднородного уравнения
^ - = A(t)x + f(t)
решение задачи Коши с начальным условием х(0) = х0 можно записать с помощью эволюционного оператора U(t, т) для соот ветствующего однородного уравнения в виде
t
x(t)= U (t, 0) х0+ J U (t, т) f (т) d%.
о
Для неоднородного уравнения важным является вопрос об ограниченности его решений на (0, оо) при условии ограничен ности f(t) :
sup \\f(t) ||< оо. 0</ < ОО
Для того чтобы при каждой ограниченной функции f(t) ре шение задачи Коши с нулевым начальным условием JC(0) = 0 для неоднородного уравнения было ограниченным на полуоси (0, оо), необходимо и достаточно, чтобы старший показатель однородного уравнения был отрицательным. При выполнении последнего условия все решения неоднородного уравнения будут ограниченными на (0, оо).
Если дополнительно известно, что оператор-функция A (t)
ограничена на полуоси, |
то необходимое условие можно усилить: |
|
для ограниченности на |
полуоси |
(0, оо) решения задачи Коши |
с условием х(О) = 0 при любой |
ограниченной f(t) необходимо |
|
(и? конечно, достаточно), чтобы особый показатель однородного
§ 2 УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ |
273 |
уравнения был отрицательным. Существуют примеры неограни ченных на полуоси оператор-функций A(t) таких, что при любой ограниченной f(t) все решения неоднородного уравнения огра ничены, а особый показатель положителен*).
Критерии ограниченности решений задачи Коши на полуоси (— оо, 0) получаются из приведенных критериев заменой знака старшего или особого показателя на противоположный. Поэтому вопрос об ограниченности на всей оси всех решений неоднород ного уравнения при любой ограниченной функции f(t) бессмыс лен. Можно ставить вопрос о существовании хотя бы одного или только одного ограниченного решения при любой ограниченной
f(t). |
На |
последний вопрос в случае постоянного оператора |
A(t) |
= А |
имеется окончательный ответ: |
для того, чтобы каждой ограниченной f(t) (— оо < t < оо) |
||
отвечало одно и только одно ограниченное на всей оси решение неоднородного уравнения с постоянным оператором А, необхо димо и достаточно, чтобы спектр оператора А не пересекался с мнимой осью.
Нелинейное дифференциальное уравнение вида
d£. = |
A(t)x + f(t, х), |
где f(t, х) при каждом t, вообще говоря, — нелинейный оператор |
|
от х, можно рассматривать |
как линейное со свободным членом |
f(t, х(/)). Тогда формула для |
решения задачи Коши дает ура |
внение |
t |
|
|
x(t) = U(t, 0)х0+ |
J £/(*, т)/(т, x(x))dx. |
|
о |
Если известны оценки роста для эволюционного оператора U(tf т), в частности, если известен особый показатель а*, то из полученного интегрального уравнения можно получать оценки решений нелинейного уравнения. Таким способом получаются аналоги теорем Ляпунова о равномерной и асимптотической устойчивости решений нелинейного уравнения.
Ли т е р а т у р а : [36], [58].
§2. Уравнения с постоянным неограниченным оператором
1.Задача Коши. В этом параграфе рассматривается диффе ренциальное уравнение
*) Для неограниченных на полуоси оператор-функций Л(/) старший ц рсобый показатели определяются так же, как для ограниченных,
274 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
с линейным оператором Л, имеющим всюду плотную в банахо вом пространстве Е область определения D(A).
Решением уравнения на отрезке [О, Т] называется функция x(t), удовлетворяющая условиям: 1) значения функции x(t) принадлежат области определения D (А) оператора А при всех t е [О, Т]\ 2) в каждой точке t отрезка [О, Т] существует сильная производная x'(t) функции x(t)\ 3) уравнение x'(t) = Ax(t) удовлетворяется при всех t е [О, Т].
Под задачей Коши на отрезке [О, Т] понимают задачу о на хождении решения уравнения на [О, Г], удовлетворяющего на чальному условию
х (0) = х0<= D (Л).
Если для линейного уравнения с ограниченным оператором вопросы существования и единственности решения задачи Коши, непрерывной зависимости его от начальных данных всегда ре шались положительно и поэтому основное внимание уделялось поведению решений при t —►оо, то для уравнения с неограничен ным оператором перечисленные вопросы становятся централь ными.
Говорят, что задача Коши поставлена корректно на отрезке [0, Г], если: 1) при любом x0^ D ( A ) существует ее единственное решение и 2) это решение непрерывно зависит от начальных
данных в том смысле, что из |
x0,n 0(*о, п ^ £>(Л)) для соот |
ветствующих решений xn (t) |
следует хп(/)->0 при каждом |
<е [ 0, Т].
Всилу постоянства оператора Л из корректности задачи Коши на каком-либо отрезке [0, Т] следует ее корректность на
любом отрезке |
[0, 7\] ( Ti > 0 ) , т. е. корректность на всей по |
луоси [0, оо). |
— оператор, ставящий в соответствие каждому |
Пусть U(t) |
элементу л:0еО (Л ) значение решения x(t) задачи Коши х(0) = = Хо в момент времени t. Если задача Коши корректно постав лена, то оператор U(t) определен на D(A), линеен и ограничен. Поэтому он может быть по непрерывности расширен до линей ного ограниченного оператора, определенного на всем простран стве £, который также обозначается через U(t).
Семейство операторов U(t) |
образует сильно непрерывную |
|
при t > 0 полугруппу (см. гл. III, § 3, п. 5). |
||
Таким образом решения |
корректно поставленной Задачи |
|
Коши можно записать в виде |
|
|
x(t) = U(t)xо |
(x0e=D(A)), |
|
где U(t) — сильно непрерывная полугруппа ограниченных опе раторов. Оператор Л может быть расширен до производящего Оператора 17(0) полугруппы U(t),
§ 2. УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ |
275 |
Если Хо не принадлежит области определения D (Л) |
опера |
тора А, то функция U(t)xо может быть недифференцируемой и ее значения могут не принадлежать D(A). Функцию U(t)xo мо жно назвать обобщенным решением уравнения х' = Ах.
Как указывалось в гл. III, § 3, для сильно непрерывной по лугруппы
lim in II и (О II : СО< ОО, t->ОО
( |
У+ioo |
\ |
|
|
J |
e}tR(k)xо ^ Ч |
( Y > CO, t>0). |
||
~Ш |
||||
|
y—iоо |
J |
|
Если на каком-либо отрезке функция U(t)x абсолютно не прерывна, то внутри этого отрезка
у+г°°
U(t)x0= — -±r j extR{k)x0dl.
У— to o
Вчастности, последняя формула имеет место для решения задачи Коши при всех t > 0.
Если заранее неизвестно, что задача Коши корректна, то мо жно пытаться находить ее решения с помощью обратного пре образования Лапласа. Трудность заключается в том, что резоль вента не может убывать быстрее, чем 1/|Я|, и даже в наиболее благоприятных случаях последний интеграл не будет абсолютно сходящимся. Однако на некоторых элементах х0 резольвента быстро убывает на бесконечности, интеграл сходится и дает