§ 2. УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ |
281 |
Всякое обобщенное решение абстрактного параболического уравнения является бесконечно дифференцируемым, операторы AhU(t) ограничены при каждом £ > 0 и £ = 1, 2, ...
Для приложений важным является утверждение: если опера тор А имеет резольвенту при Re X > со и
то уравнение х' = Ах является абстрактным параболическим. Все обобщенные решения уравнения аналитичны в некотором секторе, содержащем положительную полуось, и справедливо не равенство
Н *'(О II < - ^ 1 1 * 0 II |
(0 < / < оо). |
Обратно, если задача Коши равномерно корректна и для соответствующей полугруппы U(t) выполнено неравенство
то для резольвенты справедлива оценка приведенного выше типа, и полугруппа допускает аналитическое продолжение в сектор, содержащий полуось t > 0.
Ли т е р а т у р а : [27], [36].
5.Обратная задача Коши. Обратной задачей Коши называ ется задача о нахождении решения уравнения х' = Ах на про
межутке [0, Т] по заданному конечному значению х(Т) = хт^
^ D ( A ) . |
уравнения |
Заменой аргумента обратная задача Коши для |
|
хг = Ах сводится к задаче Коши для уравнения хг = |
—Ах. |
Если задача Коши для уравнения корректна, то |
обратная |
задача Коши, вообще говоря, не корректна: для некоторых хт решение не будет существовать вообще, для других оно будет обрываться, не доходя до нуля; решения не будут непрерывно зависеть от начальных данных.
Если для уравнения прямая и обратная задачи Коши равно мерно корректны, то операторы U(t) определены и ограничены для всех t (—оо < t < оо) и образуют группу, причем U(—t) =
= u~4t).
Для того чтобы прямая и обратная задачи Коши с замкну тым оператором А были равномерно корректными, необходимо и достаточно, чтобы существовали постоянные М и со > 0 такиеу что
{п— 1, 2, 3, ... )
II Я я |
( I я, | - «)' |
282 |
ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
при |
всех действительных X с | Л,| > со. Спектр оператора А при |
этом лежит внутри полосы | Л, | <Г со.
Можно отвлечься от вопроса о существовании решения об ратной задачи Коши и рассмотреть только вопрос о единствен ности решения и его непрерывной зависимости от конечных
значений. Обратная задача Коши называется |
корректной |
на |
||||||
[О, Т] в классе ограниченных решений, если для |
всяких |
положи |
||||||
тельных М, е и to^(O t T) |
найдется |
такое |
б = |
б(е, М, /0), |
что |
|||
для любого ослабленного решения на [О, Т], |
удовлетворяющего |
|||||||
условиям |
|\x(t) || ^ |
М (0 |
t ^ Т) и ||х(Г) || ^ |
е, выполнено не |
||||
равенство |
\\x(t0) II ^ |
б. |
решения |
уравнения |
хг = Ах |
анали- |
||
Если все обобщенные |
||||||||
тичны в некотором секторе, то обратная задача Коши корректна
в классе ограниченных решений |
на любом |
отрезке |
[О, Т]. Этот |
|
факт вытекает из неравенства |
|
|
|
|
||х (Ш < М |и (0 )||1- ш(<°)||х(7’) f |
<w, |
|
||
где непрерывная функция со(^), |
0 ^ со(^) |
^ |
1, не |
зависит от |
выбора обобщенного решения. |
|
|
|
|
Ли т е р а т у р а : [36].
6.Уравнения в гильбертовом пространстве. Простейшим примером абстрактного параболического уравнения является дифференциальное уравнение х' = —Вх в гильбертовом про странстве Н с неограниченным самосопряженным положительно определенным оператором В.
Задача Коши для этого уравнения равномерно корректна и
соответствующая ей полугруппа U(t) может быть записана в виде
U(t) = e -Bt,
где функция e~Bt определяется с помощью спектрального разло жения оператора А (см. гл. IV, § 3, п. 4):
|
|
сю |
|
|
e-Bt = |
| e-kt dEv |
|
|
|
Р |
|
Полугруппа U(t) |
будет сжимающей, ||t/(f)|| ^ |
1. |
|
Все обобщенные |
решения |
x(t) = e~Btx0 (х0е |
Я ) я в л я ю т с я |
решениями ослабленной задачи Коши и допускают аналитиче ское продолжение в правую полуплоскость Re г > 0.
Можно изучить более детально поведение ослабленных ре шений при t —►0. Произвольная (не целая) степень оператора В
§ 2. УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ |
283 |
определяется с помощью спектрального разложения
Ва= J XadE%.
О
Если х(0) G D(Ba), а > 0, то для решения ослабленной задачи Коши справедливо неравенство
№т < - р а \ В ах(0)1
Вслучае а = V2 решения допускают более точную харак теристику: для того чтобы производная х'(t) решения x(t) имела на [О, Т] интегрируемую с квадратом норму
т |
00, - |
\w x rm d t < |
|
о |
|
необходимо и достаточно, чтобы х(0) |
e D (B l/2), |
Следует еще отметить полезное неравенство |
|
1-J. |
JL |
II* (О И<11* (0)11 т\\х(Т)\\т,
справедливое для любого обобщенного решения.
В гильбертовом пространстве могут быть полностью описаны производящие операторы ряда важных классов полугрупп. При этом описание делается в терминах, связанных с самим опера
тором, а не с его резольвентой. |
сильно непрерыв |
||||
1) |
Для того чтобы оператор А порождал |
||||
ную сжимающую полугруппу операторов, необходимо и доста |
|||||
точно, чтобы он был максимальным диссипативным оператором |
|||||
(см. гл. IV, § 6, п. 1). |
|
|
для |
||
Иначе этот критерийеще можно сформулировать так: |
|||||
того чтобы замкнутый оператор с всюду плотной областью оп |
|||||
ределения был производящим оператором сильно |
непрерывной |
||||
сжимающей полугруппы операторов, необходимо |
и |
достаточно |
|||
выполнение условий |
|
|
|
||
Re (Ах, х ) < 0 |
(xz=D (А)) и Re (А*х, * )< О (х е |
D (А*)). |
|
||
2) Если операторы А и А* имеют одинаковую всюду плот |
|||||
ную область определения и оператор Re А = А + Л* |
ограничен, |
||||
то оператор А является производящим оператором полугруппы |
|||||
U(t) |
класса (С0), |
для которой справедлива оценка ||£/(f)|| ^ |
еш, |
||
где со — верхняя грань оператора Re А. |
|
|
|
||
3) |
Для того чтобы оператор А являлся производящим опера |
||||
тором сильно непрерывной полугруппы изометрических преобра
284 ГЛ V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
зований (|| U(t) || = 1), необходимо и достаточно, чтобы он был максимальным диссипативным консервативным оператором с плотной областью определения. В этом случае А = iB, где
В— максимальный симметрический оператор.
4)Для того чтобы оператор А был производящим операто ром сильно непрерывной группы унитарных операторов, необхо димо и достаточно, чтобы А = iB, где В — самосопряженный
оператор. Группа операторов U(t) может быть представлена с помощью спектрального разложения оператора В в виде
оо
U (t) — eiBt = j e a t dEx.
Прямая и обратная задачи Коши равномерно корректны на всей оси. Обобщенные решения U(t)x0 являются дифференци руемыми лишь тогда, когда D (Л).
5) Если для максимального диссипативного оператора вы полнено условие
11ш (Ах, х) К р | Re (Ах, х) |,
то он является производящим оператором полугруппы, допу
скающей аналитическое продолжение в сектор |
| argz| < я/2— |
— arctg р. |
|
Для резольвенты оператора справедлива оценка |
|
в секторе | arg X| ^ я — arctg р — е при любом е > 0. |
|
Уравнение х' — Ах является абстрактным |
параболическим |
уравнением, свойства его решений аналогичны свойствам реше ний уравнения хг = —Вх с самосопряженным положительно определенным оператором В.
В последнее время многие из перечисленных критериев пере несены на некоторые классы банаховых пространств.
Ли т е р а т у р а : [27], [36], [174].
7.Неоднородное уравнение с постоянным оператором. Рас сматривается неоднородное уравнение
4 г = л* + м .
где f(t) — заданная непрерывная функция со значениями в Е. Так же как и для однородного уравнения, вводятся понятия ре шения, ослабленного решения, задачи Коши и ослабленной за дачи Коши.
§ 2. УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ |
285 |
Если U ( t ) — полугруппа операторов, отвечающая однород ному уравнению х' = Ах, то формальное применение метода вариации произвольной постоянной приводит к формуле
г
x(0 = t/(0 * (0 )+ [ U (t — s) f (s) ds. 6
Первое слагаемое справа есть решение однородного уравне ния. Второе слагаемое для сокращения в этом пункте называет ся разрешающим выражением.
Если ослабленная задача Коши для однородного уравнения х' = Ах корректна на D(A) и оператор А замкнут и имеет ре гулярные точки, то всякое ослабленное решение неоднородного уравнения представимо в указанном выше виде. Обратное утверждение для любой непрерывной f(t), вообще говоря, не справедливо. В предыдущих предположениях удается доказать, что разрешающее выражение дает частное решение неоднород ного уравнения, если выполнено одно из следующих условий:
1) |
Функция f(t) |
дважды непрерывно дифференцируема и вы |
|
полнено условие согласования /(0) <= D (Л); |
|||
2) |
функция f(t) |
имеет |
непрерывную первую производную |
f'(t), |
причем f'(t) ^ D ( A ) |
и функция Af'(t) непрерывна при |
|
t ^ 0; |
функция f(t) |
такова, что f(t) <=D(A2) и функция A2f(t) |
|
3) |
|||
непрерывна при t > |
0. |
|
|
Если выполнено условие 1) без условия согласования, то можно утверждать, что разрешающее выражение дает ослаблен ное решение неоднородного уравнения.
Если задача Коши для однородного уравнения равномерно корректна, то требования на f(t) смягчаются: разрешающее вы ражение дает решение неоднородного уравнения, если или функ ция f(t) — непрерывно дифференцируемая, или функция f(t) та кова, что f(t) е Ь ( Л ) и функция Af(t) непрерывна.
Если оператор А является производящим оператором анали тической полугруппы с Co-условием, то разрешающее выражение дает ослабленное решение неоднородного уравнения, если функ ция f(t) удовлетворяет условию Гельдера
l l / ( 0 - / ( s ) l l < C U - s | v
при некотором у > 0.
Если, кроме того, полугруппа, порожденная оператором Л, имеет отрицательный тип, то можно ввести дробные степени оператора Л, и разрешающее выражение будет давать решение неоднородного уравнения, если f(t) е D(Aa) и Aaf(t) ограничена на [0, Т] при некотором а > 0.