Материал: Функциональный анализ

циях, удовлетворяющих краевым условиям и имеющих ин­ тегрируемые с квадратом первые производные, допускает замыкание до максимального диссипативного оператора. Задача о нахождении решения системы

dv_

д х

i=1 *

удовлетворяющего краевым условиям и начальному условию и(0,х) = (р(х)еД (Л), равномерно корректна в L2(S). Соот­ ветствующая полугруппа будет сжимающей.

Ли т е р а т у р а : [36], [174], [190].

4.Уравнение Шредингера. В трехмерном пространстве /?з рассматривается уравнение

получаемый замыканием* оператора, определенного дифферен­ циальным выражением —Д + а(х) на финитных функциях, будет самосопряженным оператором в гильбертовом простран­ стве L2(RZ)- Прямая и обратная задачи Коши равномерно кор­ ректны на всей оси. Уравнение порождает группу унитарных операторов U(t) = e~iHt (см. гл. IX, § 1).

Ли т е р а т у р а : [36], [173].

5.Уравнение с запаздывающим аргументом. Здесь будет рассмотрен простейший пример такого уравнения

У' (f) — ay(t — 1) (0 < ^ < o o ).

Для нахождения решения этого уравнения при всех t > О необходимо задать функцию у на отрезке [—1,0]. После этого решение находится последовательным интегрированием на от­ резках [п, п + 1].

Пусть функция x0(s) = y(s) непрерывна, т. е. х0е С ( —1,0). Вводятся функция x(t,s) = y(t -f- s), рассматриваемая при каждом t как элемент пространства С(—1, 0), и полугруппа опе­ раторов U(t)x0(s) — x(t, s) = y(t + s).

Полугруппа U(t) сильно непрерывна и удовлетворяет Со- условию. Производящим оператором ее является оператор дифференцирования по s, заданный на всех непрерывно

дифференцируемых на [—1, 0] функциях x(s), удовлетворяющих краевому условию х'(0) = ах(—1). Функция удовлетво­ ряет уравнению

поэтому исходную задачу можно трактовать как задачу о на­ хождении решения этого гиперболического уравнения, удовле­ творяющего на прямых s = — 1 и s == 0 написанному выше нелокальному краевому условию. Эта задача равномерно кор­

§4. Уравнение с переменным оператором

1.Равномерно корректная задача Коши. Эволюционный опе­ ратор. При рассмотрении дифференциального уравнения

мкнут и имеет плотную в Е область определения. Сначала де­ лается упрощающее предположение, что эта область определе­

функции A(t)Xo имеют определенную гладкость, то говорят, что оператор A (t) имеет такую же гладкость на D(A).

Из этих условий вытекает, что оператор-функция A (t)* A~l (s)

x(tt s) уравнения х' = A (t)x на отрезке [s, Г], удовлетворяющего заданному начальному условию

x(s, s) = xQе D(A).

Задача Коши называется равномерно корректной, если:

совокупности переменных в треугольнике Гд; 3) решение непрерывно зависит от начальных данных, т. е.

из сходимости XQ Tl^ D ( A ) к нулю следует равномерная в Гд сходимость к нулю соответствующих решений xn(tts).

Если задача Коши равномерно корректна, то можно ввести

по непрерывности на все пространство Е. Полученный ограни­ ченный оператор U(t, s) называется эволюционным.

Эволюционный оператор равномерно корректной задачи Коши обладает свойствами:

1.Оператор U(tfs) равномерно ограничен и сильно непре­ рывен в треугольнике Гд.

2.Справедливо тождество4

Лит е р а т у р а : [36].

2. Устойчивая аппроксимация эволюционного оператора. Од­ ним из методов исследования уравнения х '(t) = A(t)x яв­ ляется переход от него к некоторой последовательности урав­ нений

W = A^ X

с ограниченными операторами An(t), в определенном смысле приближающейся к исходному уравнению.

Пусть операторы An(t) на D(A) равномерно по / е [0, Г] сильно сходятся к оператору A(t), удовлетворяющему усло­ виям предыдущего пункта. Пусть Un(t,s) —эволюционные опе­

то говорят, что оператор A(t) устойчиво аппроксимируется опе­ раторами An{t).

чиво аппроксимируется операторами An(t), которые при каж­

= A(t)x равномерно корректна, и U((,s) .является отвечающим ей эволюционным оператором.

Имеет место полезное утверждение о повышении гладкости решения. Если, кроме предыдущих условий, выполнено еще

Одним из методов доказательства равномерной корректно­ сти задачи Коши является построение устойчивой аппроксима­

и непрерывно дифференцируем на D(A)y то задача Коши для уравнения х' = А (t)x равномерно корректна.

Ли т е р а т у р а : [36].

3.Ослабленная задача Коши, корректная на D ( A ) . Ослаб­

непрерывно дифференцируемая и удовлетворяющая уравнению

прерывна по совокупности переменных ty s в полуоткрытом треугольнике 4) решение непрерывно зависит

вводится ограниченный эволюционный оператор такой, что при

ние ослабленной задачи Коши, обладающее свойствами 2)—4), перечисленными в определении ослабленной задачи Коши, кор­ ректной на D (А).

Здесь будет описан метод доказательства существования решений ослабленной задачи Коши, основанный на так назы­ ваемом «замораживании» коэффициента. Предполагается, что при каждом t0е [0, Т] задача Коши для уравнения

Щ- = А Ы х

с «замороженным» коэффициентом A(t0) в определенном смыс­ ле корректна. Пусть ей отвечает полугрупповой оператор

ный, приходят к интегральному уравнению, которому должен удовлетворять искомый эволюционный оператор