Материал: Функциональный анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§ 5. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

301

и является прямым обобщением формулы Даламбера для ре шения уравнения колебания струны.

Если в предыдущих условиях рассмотреть неоднородное уравнение

-g - =	5 2* + f(0	(0
где f(t) — непрерывно	дифференцируемая функция или такая

функция, что определена и непрерывна Bf(t), то задача Коши

для этого		уравнения при x0^ D ( B 2)	и	е D (В)	имеет	един
ственное решение, определяемое по формуле
* (0 =	4- w	(0.+ и (-01 Xo + j W (t) +	и (-*)] в-'х'о +
		t
		+ Т $ W ( t - s ) - U { s - t ) ] B - ' f				(s)ds.
		о
К	сожалению, для операторов в		банаховом		пространстве

не найден удовлетворительный ответ на вопрос о том, когда оператор А будет квадратом производящего оператора В сильно непрерывной группы. Поэтому теория абстрактных ги перболических уравнений интенсивнее развивалась для урав нений в гильбертовом пространстве. Пусть для уравнения

§— А(1)х

вгильбертовом пространстве оператор A(t) при каждом t яв ляется самосопряженным отрицательно определенным. Тогда

оператор В (t) = i(—A(t))4* будет при каждом t производя щим оператором группы унитарных операторов. Если область определения оператора A(t) не зависит от t и он непрерывно дифференцируем на Ь(Л), то задача Коши для уравнения х"== = A(t)x имеет единственное решение при любых XQ&D(A) и

ХЬЩ D ((—Л)1/2).

Ли т е р а т у р а : [36].

2.Уравнение эллиптического типа. Рассматривается урав

нение

^ г = Ах	(0 < * < Г ) ,
где А — замкнутый оператор	с плотной в Е областью опреде
ления и
	(я < 0 )-

Последнее неравенство позволяет определить дробные степени оператора А (см. гл. III, § 3, п. 3) и, в частности,

302 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

оператор —Л1/з, который будет производящим оператором ана

литический полугруппы	V (t), удовлетворяющей С0-условию (См.
там же, п. 5).
Задача Коши для эллиптического уравнения не является
корректной.
Общий вид решения уравнения можно найти с помощью
такого приема: заменой	и — ~ (х — Л~1/2х	w = (х + А~х,2х')
уравнение сводится к системе уравнений
^ • = - Л	1/2« и ^ - =	Л>'2ш.

Для первого уравнения системы корректна задача Коши, для второго корректна обратная задача Коши, поэтому решение можно записать в виде

x(t) = V (t) u0 + V ( T - t ) wT,

где u0 и wT— заданные элементы из Е. Функцию x(t) такого вида называют обобщенным решением исходного уравнения.

Обобщенное	решение является аналитической функцией от t
при 0	Если элементы и0 и wT ^ D ( A ^ ) t то обобщен

ное решение обладает следующими свойствами: оно имеет не прерывную первую производную на отрезке [0, Т] и вторую про

изводную на интервале (0, Г); значения x (t)^ D (A ) на	(0, Г);
функция Al'm(t) непрерывна на [0, Г]; уравнение х" — Ах	удов

летворяется на <0, Г). Такое решение в дальнейшем называется

ослабленным.

Формула для решения показывает, что для уравнения разре шима краевая задача с начальными условиями:

[ *

( 0 ) - Л - 1/2* '(0 )] = Ыо

4 - ^ ( ° )

+ ^ _1/2^ ( 0 ) ]

= “ 'o-

М о ж н о

р а зв и т ь

теори ю

об щ и х

к р а е в ы х

з а д а ч в и д а

f U (*) =

<*„*(0) +

а12хг(0) +

Рц* (Т) +

р12*' (Т) = fu

Z-2(*) =

<*21* (0) +

щ2х' (0) +

р21* (Г) +

р22*' (Т) = /2,

где

щ>,

Р ; / — ко м п л ек сн ы е

ч и с л а,

ft — за д а н н ы е эл ем ен ты

(i,

}

= \ ,

2).

ха

С ущ ествен н ую р о л ь

при

и зучени и так и х

з а д а ч

и гр ает

рактеристический определитель

д_

а11Л1/2-а1!/+р„К (Г) A-W-bnV (Г)

a„V (Г) Л“ 1/2+а„К (Г)+риЛ—!/2-Ьр1г/ I

”

ЧиЛ-^-в^+ЭиК (Г) Л-</2-р!гГ (Г) а,,!/ (Г) Л -‘/2+аиК (D+g,H-1/2+IW I

эл ем ен там и которого я в л яю тся

ко м м у ти р у ю щ и е д р у г с д р у го м

огр ан и ч ен н ы е о п ер ато р ы .

§ 5. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА		303
Однородная краевая задача	Lx(x) — 0, Ь2(х) = 0 для	урав
нения х" — Ах имеет ненулевое	решение тогда и только тогда»

когда характеристический определитель А как оператор в про странстве Е не имеет обратного.

Если А' —сопряженный А оператор, то в сопряженном про странстве Е' можно рассмотреть сопряженное уравнение

Если	обозначать		через	(у, х)	результат применения		функцио
нала	у ^ Е '	к элементу X G £,			то справедлива	формула Грина
т			(у), х)]	dt = (iff, Xj^ (Ут>хт)		(]Уо>*^о)
J \{У> Е (х))		(L					(Уо>^о)>

где L (х) = х" — Ах и U (у) = у" — А'у.

Граничные выражения Ь\(у) и Ь2{у) называются сопряжен ными к выражениям Ьх(х) и L2(x), если для любой пары глад ких функций, удовлетворяющей условиям Li (х) = L2(x) = 0 и

L\ {у) — lk (у) — О, правая часть в формуле Грина равна нулю. Предполагается, что область определения D(A') плотна в Е'. Тогда в классе сопряженных граничных выражений мож

но найти такие, что характеристический определитель ДСЛ'), составленный для этих условий, как оператор в Е' будет со пряжен к характеристическому определителю А (Л), составлен ному по исходным граничным выражениям: Д(Л') = [Д(Л)]'.

Если D(Af) плотна в Е\ то для того чтобы однородная со пряженная краевая задача имела ненулевое решение, необхо димо и достаточно, чтобы область значений /?(Д) оператора А не была плотной в пространстве Е.

Проведено сравнительно полное исследование корректности рассматриваемого класса краевых задач.

Рассматривая уравнение х" = Ах на полуоси [0, с»), можно одно из краевых условий ставить на бесконечности. Так, на

пример,	для всякого х0^ Е существует единственное		ограни
ченное на полуоси [0, оо)		обобщенное решение уравнения х" =
= Ах,	удовлетворяющее	начальному условию х(0) =	х0. Оно
задается формулой x (t)=		V(t)x0.

Для решения неоднородного уравнения

£ j i = A x + f(t)

имеется формула

х (0 = Г ( 0 «о + г ( Т — /) wT + J Jг v (I * — т |) A~l/2f (т) й т . .

304ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Впоследнее время получен ряд интересных результатов для эллиптического уравнения с переменным оператором Л.

Ли т е р а т у р а : [36], [182], [183], [187].

3.Полное уравнение второго порядка, параболический слу чай. Поведение решений и характер задач, которые естественно ставить для полного однородного уравнения второго порядка

%= A ( t ) ^ - + B(t)u,

где A(t) и B(t) —линейные операторы с плотными в Е облас тями определения, зависят от того, какой из членов, стоящих справа, является главным. Если таким будет второй член, то

уравнение может	быть гиперболическим	или эллиптическим
в зависимости от	свойств оператора B(t).	Если главным яв

ляется первый член, то свойства решений тесно связаны со свойствами решений уравнений первого порядка с оператором A(t). Этот случай и рассматривается в настоящем пункте. Под чиненность второго слагаемого справа первому при этом ха

рактеризуется свойствами оператора A x(t) = B(t)A-{(0)							в срав
нении с оператором A(t).						D(A), не
Если	оператор A(t)	имеет область определения
зависящую от t, непрерывно дифференцируем на D(A)							и удов
летворяет условию
	\ \ я		л л т <	~
при	и ^е[0, Т],	а	оператор	Л ^ ) ограничен		и	сильно
непрерывно дифференцируем по t, то задача					Коши	х(0) — х0>
х '(0) =	для уравнения	х" = A (t)x' -}- B(t)x			имеет	единствен
ное решение при любых		х0, х'0е D (Л).

В дальнейших формулировках для простоты операторы Л

иВ считаются постоянными и уравнения имеют вид

^= А ^ + В х .

Рассматриваются следующие возможности:

I. Оператор А х= ВА~Хподчинен оператору Л, т. е. \\Ахх\\ ^

^с||Ля|| при ^ е О(Л).

II. Оператор А х подчинен Л, и для достаточно малых ц справедливо неравенство

Ц Л,хКФ ч(х) + т\|\|\|Лх\|		(хеО (Л )),
где Фц(х) — выпуклый	ограниченный	функционал	на Е.
III. Оператор Ai	подчинен оператору Л с		порядком а
( а < 1).

§ 5. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

305

Имеют место утверждения:

1) Если операторы А и А\ являются производящими опе раторами аналитических полугрупп и выполнено II, то для

всяких х0^	D(B)f\ D(A) и		x'0^ D ( A ) существует единствен
ное решение	задачи	Коши	для	уравнения х" = Ах' + Вх. Для
Хо<=£)(Л) и	X'q^ E	существует		единственное ослабленное ре

шение задачи Коши, аналитическое в секторе, содержащем по ложительную полуось.

2) Если выполнено только I, то те же утверждения спра

ведливы		для	уравнения		х" =	Ах' + гВх	при достаточно ма
лом	е.
3) Если операторы А и А\ удовлетворяют условиям
II R%И ) II <		М ( 1 + 1ЛIГ Р, IIR*. (А ) \|\|< м (1 +					1 Я \| г р‘	(Re Я > ш)
P +	P i > l	и	выполнено		III с	a < p +	Pi— 1,	то при любых
х0^	D(B)[] D(A)			и x'0^=D(A)		существует единственное ослаб
ленное решение				задачи	Коши	для уравнения		х" =	Ах' + Вх.
Это решение бесконечно дифференцируемо при t > 0.
Если сб =			р +	pi — 1,	то предыдущие		утверждения		справед
ливы для		уравнения х" = Ах'				ъВх при достаточно			малом е.
Л и т е р а т у р а :				[36].

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: