Материал: Функциональный анализ

Г Л А В А VI

НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Вэтой главе рассматривается уравнение

х= Ах,

где А — оператор (вообще говоря, нелинейный), определенный

Первый из них принято называть оператором Урысона, вто­ рой — оператором Гаммерштейна.

Первый вопрос, возникающий при изучении указанного урав­ нения, это вопрос о существовании решения. Э^от вопрос часто формулируют в такой форме: существует ли неподвижная точка при преобразовании А ?

Оператор А может оказаться определенным на части Т про­ странства £ — тогда речь идет о неподвижных точках этого Оператора, принадлежащих Т.

Если требуется найти решение, обладающее дополнительным: свойством, то выделяется подмножество Г0 сг Г элементов, об­ ладающих этим свойством, и неподвижная точка ищется в Г0. Например, в задачах, где ищутся неотрицательные решения, полагают Т0 = Т f| КУгде К — соответствующий конус неотри­ цательных элементов Е (см. гл. VIII).

Второй вопрос — это вопрос о единственности решения, т. е. единственности (в Т0) неподвижной точки преобразования А.

Для нелинейных уравнений во многих случаях основной ин­ терес представляют теоремы неединственности, т. е. теоремы о существовании двух и более решений. Например, в различных

задачах теории устойчивости и теории волн заранее известно одно (тривиальное) решение задачи, и основной целью являет­ ся разыскание других (нетривиальных) решений.

В тех случаях, когда решение не единственно, ставится во­ прос о количестве решений или об оценке этого количества свер­ ху и снизу.

Часто приходится рассматривать уравнение

х = А{х; А),

где оператор А(х; X) зависит от числового параметра X (в неко­ торых задачах параметр также может являться элементом не­ которого пространства).

Для уравнений с параметром возникает ряд новых задач, связанных с изменением количества решений при изменении па­ раметра.

Особый Интерес представляют те критические значения пара­ метра А, при которых решения разветвляются или сливаются.

Простейший пример ^уравнения с параметром дает задача о собственных числах и собственных элементах линейного опера­ тора, т. е. задача о решениях уравнения

х = у Ах,

где А — линейный оператор. Здесь при всех X ф 0 имеется три­ виальное решение х = 0. Те значения Ху при которых появляют­ ся другие решения, и называются собственными числами. Ана­ логично для нелинейного оператора X называется собственным числоМу если уравнение Ах = Хх имеет решение х Ф 0, х назы­ вается собственным элементом оператора А.

§1. Нелинейные операторы и функционалы

1.Непрерывность и ограниченность оператора. Пусть опера­ тор А определен на множестве Т банахова пространства Еу а его значения принадлежат банахову пространству Eit Оператор А

называется непрерывным в точке х0е Г, если из \\хп — xoll -*0 (хп е Т) следует, что \\Ахп — Ах0\\ -* 0.

Оператор А называют слабо непрерывным в точке хо, если из слабой сходимости последовательности хп к х0 следует слабая сходимость Ахп к Ахо.

Иногда рассматриваются операторы А усиленно непрерывныеу преобразующие слабо сходящиеся последовательности, эле­

щиеся последовательности элементов в последовательности, сла­ бо сходящиеся.

Если пространство Е\ — числовая прямая, то операторы со значениями в пространстве £i называются функционалами.

Оператор А органичен на Ту если

sup ||А х I < оо. хе=Г

В отличие от линейных операторов из ограниченности нели­ нейного оператора на некотором шаре не вытекает его непре­ рывность. Из непрерывности оператора А на некотором множе­ стве Т вытекает его ограниченность в окрестности каждой точки (локальная ограниченность), однако непрерывный в каждой точке замкнутого шара оператор А может не быть ограничен­ ным на всем шаре (если пространство Е бесконечномерно). При­ мером такого оператора может служить оператор, определенный на всем пространстве /2 равенством

Ах = (%р = £2, %пу ...))•

Этот оператор непрерывен в каждой точке пространства /2, но не является ограниченным ни на одном шаре S(0, г) при г > 1.

Если множество Т компактно, то непрерывный на этом мно­ жестве оператор А является ограниченным.

Оператор А вполне непрерывен на Г, если он непрерывен и каждую ограниченную часть множества Т преобразует в ком­ пактное множество пространства Е\.

Оператор А удовлетворяет на Т условию Липшица, если

\\Ах{— — х2\\ (хХу х2^ Т ) .

Оператор Л, удовлетворяющий условию Липшица, непрерывен.

. Л и т е р а т у р а : [6], [29], [31], [32], [34], [39], [58].

2. Дифференцируемость нелинейного оператора. Операторы, определенные на множествах числовой прямой, называются аб­ страктными функциями. Пусть x(t) (а ^ t ^ Ь) — абстрактная функция со значениями в банаховом пространстве Е. Производ­ ная x'(t) функции x(t) определяется как предел при Д^-*0 ко­ нечноразностного отношения:

Если рассматривается предел по норме пространства £, то производная называется сильной, если рассматривается предел в смысле слабой сходимости в пространстве £, то производная называется слабой.

Оператор А, действующий из банахова пространства Е в ба­ нахово пространство Еи дифференцируем по Фреше в точке XQ>

§ 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ

в точке х0. Говорят, что оператор равномерно дифференцируем.

при всех h ^ E . Другими словами, А'(хо) называется производ­ ной Гато, если A'{xo)h является сильной производной в точке- t = 0 функции А (х0 ib Щ переменной t со значениями в про­ странстве Е\:

Производная Фреше оператора А, если она существует, яв­ ляется также и производной Гато. Если в окрестности точки хэ существует производная Гато А'(х), непрерывная в точке х0 как операторная функция от х, то она является производной Фреше.

Выражение A'(x0)h называют дифференциалом Фреше (соот­ ветственно дифференциалом Гато) оператора А в точке Хо-

Если оператор А вполне непрерывен, то его производная Фреше А'(х0) является вполне непрерывным линейным операто­

ром.

Если оператор А имеет на выпуклом множестве Т производ­

Оператор А называется асимптотически линейным, если он определен на всех элементах х с достаточно большой нормой и если существует такой линейный оператор Л'(оо), что

Оператор А'(оо) называют производной на бесконечности опе­ ратора А.

Л и т е р а т у р а : [6], [29], [31], [32], [34], [39], [58].

3.Оператор Урысона в пространствах С и Lp. Пусть функ­

определен на всех функциях из шара 5 (в, г) пространства С, и его значения принадлежат С. Оператор А вполне непрерывен на 5(0, г).

Если существует непрерывная производная Kx(t, s, х), то оператор А дифференцируем по Фреше в каждой внутренней точке Xo(t) шара S(6,r). Его производная Л'(хо) определяется формулой

Оператор Л'(оо) выражается при этом формулой 1

A' (oo) h(t)— j Коо (ty s)h(s)ds.

о

Для рассмотрения оператора Урысона на всем пространстве С или в пространстве Lv необходимо, чтобы функция K(tfSy х) была определена при всех значениях 0 ^ s ^ 1, — оо < л; <; < оо. Если эта функция по переменной х растет быстрее' любой степенной (например, содержит экспоненциальные нелиней­ ности), то оператор Урысона не будет определен ни на каком