Материал: Функциональный анализ

Если ядра этих интегральных уравнений имеют слабую осо­ бенность (типа 0((t — s)-*) с р < 1), то решения U(t,s) инте­ гральных уравнений существуют, и при определенных усло­ виях удается доказать, что U(t,s) является эволюционным оператором, отвечающим исходной задаче Коши.

На описанном пути получены, например, следующие резуль­ таты.

Пусть оператор A (t) удовлетворяет условиям: 1) при ReX ^ О

где константы М и Р не зависят от t и 0 < р ^ 1 ;

\\A-l(t)[A(s)-A(t)]x0l ^ c \ t - s r \ \ x 0\\.

Если Р>-§- и l)* то ослабленная задача Коши для

уравнения x' = A(t)x корректна на D(A).

Если, кроме того, уравнение с «замороженным» коэффици­ ентом при всяком to является абстрактным параболическим и полугруппа UA(t,){t) ограничена равномерно по /0, то уравне­ ние x'=zA(t)x является абстрактным параболическим. Задача Коши для него равномерно корректна.

В частности, условия последнего утверждения выполнены, если

И * * М ( 0 ) К - п и х р (ReA>0),

где М не зависит от t, и удовлетворяются условия 2) и 3) с ка­ ким-либо р > 0.

Ли т е р а т у р а : [36], [186].

4.Абстрактное параболическое уравнение с оператором, имеющим переменную область определения. Если A ( t ) — диф­

ференциальный оператор, то его область определения состоит из достаточно гладких функций, удовлетворяющих некоторым краевым условиям. Предположенная выше независимость об­ ласти определения D(A(t)) от t означает в приложениях не­ зависимость от t коэффициентов в граничных условиях, по­

298ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

5.Неоднородное уравнение с переменным оператором. Для неоднородного уравнения

*' = л ( о + т

где U(tt T)— эволюционный оператор, отвечающий однородному уравнению х' = A (t)x.

Если задача Коши для однородного уравнения равномерно корректна и оператор А (/) непрерывен на D(A), то всякое ре­ шение неоднородного уравнения представимо в написанном выше виде.

Если, кроме того, оператор A(t) непрерывно дифференци­ руем на D{A) и функция f(t) имеет непрерывную производную,

то разрешающее выражение J U (t, %)f(x)dx дает решение не-

S

однородного уравнения.

Аналогичное утверждение справедливо в случае, когда опре­ делена и непрерывна функция A(t)f(t) (без требования диф­ ференцируемости оператора A(t)).

Формула для решения неоднородного уравнения также об­ основывается и в тех случаях, когда существует эволюционный оператор U(t,s), дающий решение ослабленной задачи Коши. Так, например, в условиях теоремы существования п. 4 разре­ шающее выражение дает ослабленное решение неоднородного уравнения, если функция f(t) удовлетворяет условию Гельдера

спроизвольным показателем у > 0.

Ли т е р а т у р а : [36].

6.Абстрактное параболическое уравнение в семействе под­ пространств. До сих пор дифференциальные уравнения рассмат­ ривались в фиксированном банаховом пространстве. В прило­

жениях, когда оператор А —дифференциальный, это означает, что область изменения пространственных координат не изме­ няется со временем или, иначе, что область изменения (tyx) является цилиндрической. Однако многие дифференциальные уравнения эволюционного типа изучаются и в нецилиндриче­ ских областях. В абстрактней схеме это соответствует тому, что решение x(t) при каждом t принадлежит своему банахову про­ странству E(t). В разработке теории таких уравнений лишь сделаны первые шаги, один из которых описывается ниже.

300ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

5)продолжение резольвенты E^(A(t)) сильно дифференци­ руемо по t и

в секторе | arg Я | ^ я — <р (ф < п/2).

При этих условиях, являющихся прямым обобщением усло­ вий п. 4, удается также построить эволюционный оператор U(t, s) с обычными свойствами и отображающий подпростран­ ство E(s) в подпространство E(t).

Ли т е р а т у р а : [180].

§5. Уравнения второго порядка

1.Уравнение гиперболического типа. Простейшим примером такого уравнения является

Решением уравнения здесь будет называться функция x(t) со значениями в D(B2), дважды непрерывно дифференцируе­ мая, удовлетворяющая уравнению на отрезке [0, Т] и обладаю­ щая тем свойством, что функция Bx'(t) определена и непре­ рывна на [0, Т].

Для гиперболического уравнения ставится задача Коши, т. е. задача о нахождении его решения, удовлетворяющего за­ данным начальным условиям

статочно, чтобы оператор В был производящим оператором сильно непрерывной группы (см. гл. III, § 3, п. 4) операторов