§ 3. КОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ |
287 |
где v = (vi, |
vm)—вектор-функция от t и х, х = (хи |
хп)— |
||||
точка «-мерного пространства Rn, |
|
|
|
|
||
|
A {D) — 2 |
AaDa, |
|
|
||
|
|
\ а \ < г |
|
|
|
|
а — (аи . . ап) — мультииндекс, | а | = |
<xt + а2 4- ... + |
а„, Da= |
||||
= £»“> |
Dk = i - |
( й=1, |
2, |
. . . , n) , |
Aa — заданные |
|
матрицы с |
Xk |
коэффициентами |
порядка |
т у п . |
||
постоянными |
||||||
Число г называется порядком системы. Задача Коши для рас
сматриваемого уравнения состоит в нахождении его |
решения |
|
v = v(tt x), |
удовлетворяющего условию v (0, х) = ф(х), |
где век |
тор-функция |
ф(х) задана во всем пространстве Rn. Здесь будет |
|
предполагаться, что ср е/,2(/?п), и решения ищутся такими, что
v е L^iRn) при каждом t ^ |
0. |
Если через v (t, р) (р = |
(ри ...» Рп)) обозначить результат |
обратного преобразования Фурье, примененного к функции v(t,x) по переменной х (см. гл. II, § 1, п. 4), то для v получит ся уравнение
ИГ ~ A (p)v
и начальное условие
5(0, р) = ф(р),
где ф— обратное преобразование Фурье от ф.
Рассмотрения исходной задачи Коши в пространстве Lz(Rn) и полученной задачи Коши для системы обыкновенных диффе ренциальных уравнений с параметром р в пространстве LziRn) функций от р равносильны, в силу равенства Парсеваля (см. там же).
Решение задачи Коши для системы обыкновенных диффе ренциальных уравнений при каждом р задается формулой
v{t, p)=^etA (Р,Ф(р).
Таким образом возникает задача об исследовании семейства
операторов U(t) умножения на |
матрицу etA |
вектор-функции |
от р в пространстве Lz(Rn). |
U(t) умножения на etAW был |
|
Для того чтобы оператор |
||
ограниченным в Тг(^л), необходимо, чтобы для собственных чисел pi(р), .... Цт (р) матрицы А (р) выполнялись неравен ства
Rep; (p )< c ( / =1, ..., т).
Для исходной системы это условие называется условием корректности по Петровскому.
288 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Корректность по Петровскому не является достаточной для
ограниченности оператора |
U(i). |
Простейший |
пример этого дает |
||||||||
система, |
полученная из |
|
- |
0 |
струны |
д2и |
= |
|
|||
уравнения колебании |
|
|
|||||||||
= |
Для |
нее соответствующие матрицы А(р) и etAW имеют |
|||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
cos pt |
|
-~п — \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Л О ) = |
(р2 _ о |
) ^ |
2±= ip} |
и е‘А т = |
— |
р sin pt |
' |
|
■ |
||
|
|
|
|
|
|
cos pt 1 |
|
||||
Достаточным |
условием для |
ограниченности |
V (/) |
является |
|||||||
параболичность по Шилову: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
R eiiiipX : — с\ p\h + b |
( /= 1, |
|
пг)% |
|
|
|
|
|||
где ft > |
0, с > 0 и 6 — константы. |
|
|
|
|
|
|
||||
Если система параболична по Шилову, то семейство U(t) |
|||||||||||
операторов умножения на etA {Р) |
является |
бесконечно |
диффе |
||||||||
ренцируемой |
при |
^ > 0 |
полугруппой ограниченных |
в |
L2(Rn) |
||||||
операторов.
Условие параболичности по Шилову обеспечивает «хоро шие» свойства полугруппы U(t) при / > 0, однако оно не га рантирует «хорошего» поведения полугруппы U(t) при ^-*0. Например, для системы с матрицей
норма полугруппы |
etAW оценивается величиной c(t)/№, |
где |
Р = max [k/2 — 1,0], |
и таким образом при й > 2 полугруппа |
не |
является ограниченной, хотя условие параболичности по Ши лову выполнено при любом k.
Если показатель параболичности h совпадает с порядком
г системы, то задача Коши равномерно корректна в простран стве L2(Rn).
Имеются необходимые и достаточные условия равномерной корректности задачи Коши в L2(/?n), которые в виду их гро моздкости здесь не приводятся.
Тот факт, что такие простые системы, как система, отвечаю щая уравнению колебаний струны, приводят к неограниченным в L2(Rn) операторам etA^ \ наводит на мысль о том, что норма L2(Rn) не является естественной для таких систем. И, дейст вительно, для уравнения колебаний струны естественной явля ется норма, квадрат которой совпадает с интегралом энергии.
*) Можно показать, что это выполнено, если Rep* (/?)->•—оо при
I р К°°.
§ 3. |
КОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ |
289 |
В образах Фурье эта норма имеет вид |
|
|
оо |
J1/2 |
W |
J |
b 2b , i 2+ |52| |
|
-оо |
J |
|
и не эквивалентна норме в £2(^ 71) • Им^еет место следующий важный факт: для каждой кор
ректной по Петровскому системы существует гильбертова нор ма, вычисляемая по вектор-функции v и некоторым ее произ водным, в которой задача Коши является равномерно кор ректной.
Для того чтобы существовала некоторая норма (описанной структуры), в которой полугруппа £/(£) = аналитична в секторе, содержащем положительную полуось, и удовлетво ряет в нем неравенству
1Н Ч Ш < М <?®151 (|arg£|<<Po)>
необходимо и достаточно, чтобы для собственных чисел m b ) матрицы А (р) выполнялось неравенство
Reр ;(/>)< — I Im Pi(р) | tg фо + b |
(г = 1, .... т) |
(6 — константа).
Л и т е р а т у р а : [14], [36], [177], [181].
2. Краевые задачи для параболических систем. В ограничен ной области & /г-мернФю пространства с достаточно гладкой границей Г рассматривается уравнение
~ = |
D)v, |
где v — т-мерная вектор-функция от t и х> и |
|
А(х, D )= |
2 Aa{x)D\ |
|
I СЬI < г |
Аа(х) — квадратные матрицы |
порядка т X ту элементы кото |
рых являются достаточно гладкими функциями от х в замкну
той области 9. |
дифференциальное вы |
Главной частью A(x,D) называется |
|
ражение |
|
А'(х, Д )= 2 Aa(x)Da. |
|
I« I = г |
|
Рассматривается соответствующая |
полиномиальная матри |
ца А'(х,р). |
Пусть г = 2s — четное число. Если матрица А'(х,р) |
||
при каждом |
и |
порождает |
в конечномерном про |
странстве диссипативный оператор, так что |
|||
|
Re (А' (х, р) й, |
й)т < 0 |
(й ф 0), |
290 |
ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
то оператор А(х, D) называется сильно эллиптическим, а ис ходная система — сильно параболической.
Оператор Л0, порожденный дифференциальным выражением A(x,D) на гладких функциях, удовлетворяющих условиям пер вой краевой задачи
ds хи
= 0,
dns~ l г
допускает замыкание А в L2{&), для которого оператор А — со/ при некотором со является максимальным диссипативным опе ратором. Отсюда вытекает, что задача о нахождении решения
системы, удовлетворяющего условиям |
первой |
краевой задачи |
и начальному условию v (0, х) = ф(х) е |
/)(А), |
равномерно кор |
ректна в пространстве Ь2{&). Для соответствующей полугруппы справедлива оценка \\U{t) || О®*.
Аналогичное обстоятельство имеет место и в пространстве Lp(&) (р > 1); при этом полугруппа U(t) является аналити ческой.
Ли т е р а т у р а : [36], [116], [140], [184], [188].
3.Симметрические гиперболические системы. Пусть в систе ме, рассматривавшейся в предыдущем пункте, A(x,D) является дифференциальным выражением первого порядка:
п
А(х, D) = Y i Ai {x)-j^ + B{x)v.
i= 1 *
Матрицы Ai(x) и В(х) предполагаются теперь вещественными и симметрическими.
Для дифференциального оператора первого порядка одно родные краевые условия естественно задавать в виде урав нений
|
|
{и, |
Wj) |г = |
0 |
( / = 1 , 2 , . . . , |
/), |
|
|
||||
где Wj(x)— непрерывные |
векторные |
поля, |
заданные на |
гра |
||||||||
нице |
Г области |
Иначе |
говоря, |
вектор и(х) |
при |
х ^ Г |
дол |
|||||
жен |
принадлежать |
некоторому |
подпространству |
N(x) |
всего |
|||||||
m-мерного |
пространства; |
N (х) |
ортогонально |
векторам Wj(x). |
||||||||
Вводятся предположения: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 ) |
условие диссипативности |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
в + в |
|
dAj |
< 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxt |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
i—1 |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
ранг |
матрицы |
А ^ ( х ) = |
^i А |
{ (x)nt(x) |
не |
изменяется, |
|||||
когда |
х пробегает границу Г; |
|
|
|
|
|
|
|
||||